Г.Ю. Риниченко - Лекции по математическим моделям в биологии 2011 (1123215), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Предельный цикл. В фазовом пространстве такому типу поведения соответствует притягивающее множеспю (аттрактор), называемое предельным циклом. Предельный цикл есть изолированная замкнутая кривая на фазовой плоскости, к которой из ее окрестности в пределе при г — >+ 1'или пРи г — > — ) стремнтсЯ фазовые траектории.
Предельный цикл представляет собой стационарный режим с определенной амплитудой, не зависящий от начальных условий, аопределяющнйся только организацией системы. Существование предельного цикла на фазовой плоскости есть основной признак автоколебательной системы. Очевидно, что при автоколебательном процессе фаза колебаний может быть любой. ЛЕКЦИЯ 8 162 БИОЛОГИЧЕСКИЕ РИТМЪ1 1О ГЕОФИЗИЧЕСКИЕ РИТМЫ 1г ч1 1О 1О и гоп 10 1О 10 10 10 ПК ° .1 10 1О лу г л пегд .) ч 1О 10 10 Рис. 8.1.
Космофизические, геофизические и биологические ритмы. Справа — шкала периодов, слева — шкала частот. Остановимся на общих характеристиках автоколебательных систем. Рассмотрим систему уравнений общего вида: Йх — = Р(,х, у), с(г — = Д(х, у). С1У 111 (8.1) Если Т (Т ) 0) — наименьшее число, для которого при всяком 1 х(1+Т) =х(1), у(1+т)= у(1), то изменение переменных х = х (1), у = у (1) называется периодическим изменени- ем с периодом Т. КОЛЕБАНИЯ В БИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ 163 Периодическому изменению соответствует замкнутая траектория на фазовой плоскости, и обратно: всякой замкнутой траектории соответствует бесконечное множество периодических изменений, отличающихся друг от друга выбором начала отсчета времени.
Если периодическому изменению на фазовой плоскости соответствует изолированная замкнутая кривая, к которой с внешней и внутренней стороны приближаются (при возрастании г) соседние траектории, эта изолированная замкнутая траектория есть устойчивый предельный цикл. Простые примеры позволяют убедиться, что система общего вида (8.1) допускает в качестве траекторий предельные циклы.
Например, для системы — =у+х11 — (х +у )], с(х 2 2 с(1 — = — х+у11 — (х +у )) с(у 2 2 гй (8.2) траектория х'+ у' =1 является предельным циклом. Его параметрические уравнения будут х = соя(г — г~). у = зш (г а уравнения всех других фазовых траекторий запишутся в виде соя(г — г ) х= о -2(г — г ) 1+Се О з1п(г — г ) 0 — 2Π— г ) 1+Се о Значениям постоянной интегрирования С > О соответствуют фазовые траектории, накручиваюшиеся на предельный цикл изнутри (при г — ь ), а значениям 1 < С < Π— траектории, накручиваюшиеся снаружи.
Математическое определение устойчивого предельного цикла выглядит следующим образом. Предельный цикл называется устойчивым, если существует такая область на фазовой плоскости, содержащая этот предельный цикл, — окрестность ц что все фазовые траектории, начинающиеся в окрестности ц асимптотически при г —,1+ приближаются к предельному циклу. Если же, наоборот, в любой сколь угодно малой окрестности е предельного цикла существует по крайней мере одна фазовая траектория, не приближающаяся к предельному циклу при г — ь +, то такой предельный цикл называется неустойчивым. Такие циклы разделяют области влияния (бассейны) разных притягиваюших множеств. лвкция в 164 На рис.
8.2 изображены устойчивый предельный цикл (а) и неустойчивые (б) и (в). Неустойчивые предельные циклы, подобные изображенному на рис. 8.2б, такие, что все траектории с одной стороны (например, изнутри) приближаются к ним, а с другой стороны (например, извне) удаляются от них при à — ь, называют «полуустойчивыми» или двойными. Последнее название связано с тем, по обычно такие циклы при подходящем изменении параметра системы расщепляются на два, один из которых устойчив, а другой неустойчив.
Рнс. 8.2. Устойчивый (а) н неустойчивые (б н в) предельные циклы на фазоаой плоскости. Устойчивость предельного цикла и устойчивость соответствующих периодических движений определяется знаком характеристического показателя т "= — /КЪФ), ~(~))+ 0„'((д(~), ~(~)Ий, о где х = (с(г), у = р(г) — любое периодическое решение, соответствующее рассматриваемому предельному циклу, Т вЂ” период решения. Предельный цикл устойчив, если 6 < О, и неустойчив, если Ь > О.
Если же и = О, уравнения первого приближения не решают вопроса об устойчивости периодического движения. Для нахождения предельных циклов не существует таких простых аналитических методов, как для нахождения стационарных точек и исследования их устойчивости. Однако исследование фазовой плоскости системы позволяет ответить на вопрос, есть в данной системе предельный цикл или нет. Сформулируем несколько теорем, определяющих наличие предельного цикла по топологическому строению фазовой плоскости.
Они могут быть полезны как при аналитическом, так и при компьютерном анализе системы. КОЛЕБАНИЯ В БИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ 165 Теорема 1. Пусть на фазовой плоскости существует область, из которой фазовые траектории не выходят и в которой нет положений равновесия (особых точек). 7огда в этой области обязательно существует предельный цикл, причем все остальные траектории обязательно наматываются на него. На рис. 8.3 изображена такая область С, из которой фазовые траектории ие выходят.
Это означает, что фазовые траектории либо входят, пересекая границу, внутрь области, либо сама граница является траекторией. Легко видеть, что такая область не может быть односвязной. Поскольку траектории наматываются на предельный цикл изнутри, это означает, что внутри этого предельного цикла иа фазовой плоскости существует либо неустойчивая особая точка, либо неустойчивый предельный цикл, очевидно, не принадлежащие рассматриваемой области С. Таким образом, если найти на фазовой плоскости такую двусвязную область, что направления фазовых траекторий на всей границе обращены внутрь этой области, то можно утверждать, что внутри этой области имеется предельный цикл. Рис.
8лй Иллюстрация к теореме 2. Рис. 8хи Иллюстрация к теореме 1. Жирная кривая — предельный цикл. Теорема 2. Если существует на фазовой плоскости некоторая замкнутая область, токая, что все фазовые траектории, пересекающие границу этой области, входят в нее, и внутри этой области находится неустойчивая особая точка, отличная от седла, то в этой области обязательно имеется хотя бы один предельный цикл 1рис. 8.4). Приведем также некоторые критерии отсутствия замкнутых фазовых траекторий 1в том числе предельных циклов). 1.
Если в системе не существует особых точек, то в ней не может быть и замкнутых фазовых траекторий. 2. Если в системе существует только одна особая точка, отличная от узла, фокуса и центра (например, седло), то такая система не допускает замкнутых фазовых траекторий. ЛЕКЦИЯ 8 3. Если в системе имеются только простые особые точки, причем через все точки типа узел и фокус проходят интегральные кривые, уходяшие на бесконечность, то в такой системе нет замкнутых фазовых траекторий. В случае, когда критерии 1 — 3 выполнены, можно суверенностью утверждать, что в системе нет предельных циклов. Однако невыполнение этих критериев еще не позволяет сделать вывод о наличии в системе предельных циклов и, следозвифо ' дле"са"дд вательно, автоколебаний.
Апаисандроаич рвщ зввя) р „- Движения, отображаемые устойчивым предельным циклом, е *иа а аиа «, обладают следующими свойствами: оизамл а) устойчивость по отношению к малым изменениям санизи, радиофизииз мой системы, и и призладнои иезани- б) независимость периода и амплитуды движения от нани, создатель нового чальных условии. иииаанийиадинаи Именно эти свойства отражают характерные черты реаль- ных автоколебательных процессов. Наличие предельного цикла с отрицательным характеристическим показателем в фазовом портрете динамической системы является необходимым и достаточным условием существования автоколебаний в системе. Неустойчивый предельный цикл также может содержаться в фазовом портрете грубых систем. Однако такой предельный цикл не соответствует реальному периодическому процессу, он играет лишь роль «водораздела», по обе стороны которого траектории имеют различное поведение.
Например, на рис. 8.5 неустойчивый предельный цикл представляет собой сепаратрису, отделяющую область тяготения траекторий к устойчивой особой точке, с одной стороны, и к устойчивому предельному циклу, с другой. Рис. 8.5. Фазовый портрет системы, имеющий устойчивый и неустойчивый (пунктир) предельные циклы. Рождение предельного цикла. Бифуркации Андронова-Хопфа Существование предельных циклов возможно лишь в системе типа (8.1), правые части которой представлены нелинейными функциями. На бифуркационной диаграмме 4.10 мы видели, что при пересечении оси абсцисс происходит смена устойчивости фокуса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
