Г.Ю. Риниченко - Лекции по математическим моделям в биологии 2011 (1123215), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Линейный анализ устойчивости этой точки показывает, что она представляет собой устойчивый узел. Проанализируем качественно, как ведут себя со временем переменные х(г) и у(г). Вблизи г = 0 имеем Ихны/ < О. Это означает, что х уменьшается от своего начального значения хо = 1. В то же время с/у/с/1 > О, у растет от уо = О до величины у = х/(х+ К), при которой правая часть уравнения для Ну/с/г обращается в нуль. После этого величина у будет уменьшаться до нуля. Таким образом, концентрация фермент-субстратного комплекса у проходит через максимум.
В это время величина х (концентрация субстрата) монотонно уменьшается. Относительная концентрация свободного фермента е/ео сначала убывает, а затем снова возрастает до величины е/ес —— 1, поскольку с течением времени субстрат исчерпывается и все меньшая доля фермента оказывается связанной. Кинетические кривые изображены на рис.
6.3. Рис.6.3. Кинстика изменения безразмерных переменных в уравнении Михаэлиса— Ментен: а — с учетом области переходных процессов на малых временах (полная система (6.11), б — без учета области переходных процессов (редуцированная система (6.13). Значения параметров: К = 1.01, Л = 1, малый параметр а = 0.1. ЛЕКЦИЯ 6 130 Предположим, что концентрация субстрата значительно превышает концентрацию фермента: лс» еа.
Тогда из соотношений (6.10) следует, что г « 1. Если условия теоремы Тихонова выполняются (для уравнений Михаэлнса-Ментен это можно показать), мы имеем право заменить второе нз уравнений (6.11) алгебраическим и найти «квазистацнонарную концентрацию» фермент-субстратного комплекса: хя у« х«+К (6.12) По терминологии Тихонова, мы получим вырожденную систему: с(х — = — х+(х+ К вЂ” 1)у, дт (6.13) у =, х(0) =1. х+К Подставив выражение для у в дифференциальное уравнение для х, получим: их х — = — х+ (х+ К вЂ” 1), или й х+К т(т х+ К х(0) = 1. В размерном виде зто — классическая формула Михаэлиса — Ментен для кинетики изменения субстрата в ферментативной реакции: (6.14) Таким образом, формула (6.14) верно отражает изменение концентрации субстрата, но ничего не может сказать об изменении концентраций свободного фермента и фермент-субстратного комплекса, которые на малых временах ведут себя немонотонно (см.
рнс. 6.3). Величина К называется константой Михаэлиса и имеет размерность концентрации, она соответствует концентрации субстрата, при которой скорость,и(5) равна половине максимальной. При л « К„скорость пропорциональна концентрации: —,иаз1К„. Максимальная скорость ферментативной реакции,иа — — ктеа зависит линейно от константы скорости стадии распада ферментативного комплекса, которую называют лимитирующей стадией.
В эксперименте для оценки параметров ферментатнвной реакции используют кривую зависимости скорости реакции от концентрации субстрата (рис. 6.4, формула (6.14)). БЫСТРЫЕ И МЕДЛЕННЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ 131 Ио газо 1 2 о к Рис. 6.4. Закон Михазлнса-Ментеи. Зависимость скорости реакции как функция начальной коицеюрации субстрата Б. ро — максимальная скоросп, К вЂ” константа Михаэлвса В ферментативных реакциях возможны гораздо более сложные типы динамического поведения: два или несколько устойчивых стационарных состояния, автоколебания, кввзистохастические режимы.
Эти типы поведения мы рассмотрим в следующих лекциях. Они связаны с изменением характера фазового портрета системы, который содержит не одну стационарную точку, как это мы видели в лекциях 4, 5, а носит более сложный характер. Для того чтобы понять, как возможны такие усложнения в поведении системы, рассмотрим понятие бифуркации. Бифуркации динамических систем Мы рассматриваем динамические модели биологических процессов, то есть считаем, что система может быль описана системой дифференциальных уравнений: — = г(х,сг). И~ (6.15) ои Здесь х — вектор переменных, а — вектор параметров. Пусть Х(сг) — стационарное решение — особая точка системы, координаты которой представляют собой решение системы алгебраических уравнений.
Естественно, что значения переменных в стационарном состоянии зависят от параметров: (6.16) Г(х,а) =О. Зафиксируем некоторые значения параметров а= а* и рассмотрим фазовые портреты системы при данном значении параметра, а также при а > ао и а < а'". Фазовые портреты топологически эквивалентны, если существует невы- рожденное непрерывное преобразование координат, которое переводит все элементы одного фазового портрета в элементы другого. Для того чтобы представить себе такое преобразование на поверхности, представим себе, что поверх- ЛЕКЦИЯ 6 1Зг ность резиновая, ее можно сжимать и изгибать, но нельзя перекручивать. При таких преобразованиях все начальные точки будуг однозначно переходить в точки деформированной «резиновой» поверхности.
Незамкнутые кривые будут переходить в незамкнутые, замкнутые — в замкнутые, связность множеств не будет нарушаться. Такое преобразование происходит с фазовыми кривыми при невы- рожденном непрерывном преобразовании координат. Недаром говорят, что топология — это «резиновая геометрия». Если фазовые портреты при значениях гх> а» и и < а«топологически не эквивалентны, это означает, что при а = сг «происходит качественная перестройка системы.
Тогда ૠ— бифуркгл)ионное значение параметра. Простейший пример бифуркационного значения параметра — нулевое значение собственной константы скорости роста в уравнении экспоненциального роста (2.7): — = гх. При г > 0 стационарное значение х = 0 — неустойчиво, при г < 0 — устойчиво. г* = 0 — бифуркационное значение параметра. Напомним, что биологический смысл величины г — разница коэффициентов рождаемости и смертности. Если рождаемость преобладает — популяция растет, если преобладает смертность — вымирает.
Переход от выживания к вымиранию — качественная перестройка системы. С понятием бифуркации мы также столкнулись в лекции 3, когда рассматривали смену режимов в дискретном уравнении Ферхюльста при увеличении параметра роста. Там режим монотонного роста сменялся режимом двухточечного цикла, следующее бифуркационное значение параметра приводило к четырехточечному циклу, каждая дальнейшая бифуркация вела к удвоению предельного пнкла и, наконец, наступал хаос.
Бифуркационную диаграмму для системы двух линейных автономных уравнений мы рассматривали в лекции 4 (рис. 4.10). На ней мы видим бифуркационные границы двух типов: линии — оси координат 0 < х «, — у <, которые отделяют области с разным типом особой точки или разным типом устойчивости, и точку (О, 0) — начало координат, где соприкасаются несколько различных областей. Отметим, что границы «устойчивый узел — устойчивый фокус» и «неустойчивый фокус — неустойчивый узел» не являются бифуркационными, т. к. переход «узел+.з фокус» (без смены устойчивости) приводит к топологически эквивалентному фазовому портрету (его можно получить, «изгибая» плоскость).
Для оценки «сложности» бифуркации вводится понятие «коразмерности». Коразмерность к совпадает с числом параметров, при независимой вариации которых эта бифуркация происходит. В системе происходит бифуркация коразмерности )с (сойт к, Йтенз(ои — размерность), если в ней выполняются lс условий типа равенств. Значение й = 0 соответствует отсутствию бифуркации в данной точке. На рис.
4.10 линии представляют собой бифуркации коразмерности1 БЫСТРЫЕ И МЕДЛЕННЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ (а= О или Ь = О), а начало координат — бифуркацию коразмерности 2 (а = О и А = О). Бифуркации разделяют на локальные и нелокальные. Все рассмотренные нами ранее бифуркации, а также другие бифуркации смены устойчивости или исчезновения предельного множества в результате слияния с другим предельным множеством (как мы это увидим при параметрическом переключении триггера в лекции 7) — локальные.
Они диагно- т „р, стируются с помощью линейного анализа ляпуновских пока- Ото Рмоввхне е, 1023-2002) — француззателей (характеристических, или собственных, чисел). Недо- й калъные бифуркации нельзя определить на основе линейного раве«вовпаогиаигеа- раичеохой и диффеанапиза окрестности стационарного состояния, здесь требу- ре ци~ ь,опт~ т «- ется нелинейный анализ системы.
К нелокапьным бифурка- " ~взвив теории «атаочюф. циям относятся образование сепаратрисных петель, касание аттрактором сепаратрисных кривых или поверхностей. Бифуркации аттракторов принято подразделять на мягкие 1:;, (внутренние) бифуркации и кризисы (жесткие бифуркации). Внутренние бифуркации приводят к топологическим изменениям самих притягивающих множеств, не затрагивая их бассейнов притяжения — областей, из которых фазовые траектории сходятся к данному аттрактору. Кризисы — бифуркации аттракторов, сопровождаю- дрттвиьд види«мир Игор вич Овзтщиеся качественной перестройкой границ областей притя- 20то) й жения (бассейнов) аттракторов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
