Г.Ю. Риниченко - Лекции по математическим моделям в биологии 2011 (1123215), страница 16
Текст из файла (страница 16)
формулу (4.8)). В этом случае коэффициенты правых частей уравнений (4.4) пропорциональны друг другу а Ь с и система имеет своими состояниями равновесия все точки прямой ах+Ьу=О. Остальные интегральные кривые представляют собой семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом я'=с/Н, по которым изображающие точки либо приближаются к состоянию равновесия, либо удаляются от него в зависимости от знака второго корня характеристического уравнения (з — — а + Ы (рис.
4.7). В этом случае координаты состояния равновесия зависят от начального значения переменных. Рис. 4.7. Фазовый портрет системы, один из характеристических корней которой равен нулю, а второй отрицателен. МОДЕЛИ ИЗ ДВУХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 95 Корни Лю, Лз — комплексные сопряженные В этом случае при действительных х и у мы будем иметь комплексные сопряженные с, ю) (4.10).
Однако вводя еще одно промежугочное преобразование, можно и в этом случае свести рассмотрение к действительному линейному однородному преобразованию. Положим Л,=а, +юЬ,, Лю, — — а, — юЬ, (4.16) 9=и+юг, где аю, Ью и и, г — действительные величины. Можно показать, что преобразование от х, у к и, г является при наших предположениях действительным, линейным, однородным с детерминантам, отличным от нуля.
В силу уравнений (4.10), (4.16) имеем: ю(и, ююг — +ю — =(а, +юЬю)(и+ююю), ю(ю ююю ююи, й — — ю' — =(а, — юЬ,)(и — ююю), ююю ююю откуда юли — = а,и — Ьююю, ююю (4.17) й — =аг+Ьи. ю ю Разделив второе из уравнений на первое, получим: ю(г аюг+Ь,и ю(и а,и — Ьююю которое легче интегрируется, если перейти к полярной системе координат (г, (ю). После подстановки и = гсов (а, т = г з(п аю получим гю(г а, откуда ! — г г = Сеюю (4.18) Таким образом, на фазовой плоскости (и, г) мы имеем дело с семейством логарифмических спиралей, каждая из которых имеет асимптогическую точку в начале координат.
Особая точка, которая является асимптотической точкой всех интегральных кривых, имеющих вид спиралей, вложенных друг в друга, называется ю;Ьоюоюсам (рис. 4.8). ЛЕКЦИЯ 4 96 Рис. 4.8. Фазовый портрет системы вокрестиости особой точки типа фокус на плоскости координат(и,ч). Рассмотрим характер движения изображающей точки по фазовым траекториям. Умножая первое из уравнений (4.17) на и, а второе на ь и складывая, получаем: 1ар д з г — =ар, еде р=и +т .
2 й Пусть а1 < О (а| — — Ве 2 з). Изображающая точка тогда непрерывно приближается к началу координат, не достигая его в конечное время. Это означает, что фазовые траектории представляют собой скручивающиеся спирали и соответствуют затухающим колебаниям переменных. Это — устойчивый фокус. В случае устойчивого фокуса, как и в случае устойчивого узла, выполнено не только условие Ляпунова, но и более жесткое требование, а именно: при любых начальных отклонениях система по прошествии времени вернется как угодно близко к положению равновесия. Такая устойчивость, при которой начальные отклонения не только не нарастают, но затухают, стремясь к нулю, называется абсолютной устойчивостью. Если в формуле (4.18) а| > О, то изображающая точка удаляется от начала координат и мы имеем дело с неустойчивым фокусом. При переходе от плоскости (и, т) к фазовой плоскости (х, у) спирали также останутся спиралями, однако будут деформированы.
Рассмотрим теперь случай, когда а1 = О. Фазовыми траекториями на плоскости (и, т) будут окружности и' + т' = сопзг, которым на плоскости (х, у) соответ- ствуют эллипсы: Ьу' + (а — а )ху — сх' = сопзп Таким образом, при а| — — О через особую точку х = О, у = О не проходит ни одна интегральная кривая. Такая изолированная особая точка, вблизи которой интегральные кривые представляют собой замкнутые кривые, в частности, эллипсы, вложенные друг в друга и охватывающие особую точку, называется центром. МОДЕЛИ ИЗ ДВУХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ Таким образом, возможны шесть типов состояния равновесия в зависимости от характера корней характеристического уравнения (4.7).
Вид фазовых траекторий на плоскости (х, у) для этих шести случаев изображен на рис. 4.9. Ке Л„> О) Ке Л„<0) Рис. 4.9. Типы фазовых портретов в окрестности стационарного состояния для системы линейных дифференциальных уравнений (4.4). Устойчивый узел (Л„ Л, действительны и отрицательны) Устойчивый фокус (Л„Л, комплексны, Центр (Л„Л, чисто мнимые) Неустойчивый узел (Л„Л, действительны и положительны) Устойчивый фокус (Л„Л, комплексны, Седло (Л„Л, действительны и разных знаков) ЛЕКЦИЯ 4 98 Бифуркациоииая диаграмма Введем обозначения: а Ь гг = — (а+И); А= с (4.11) Тогда характеристическое уравнсние запишется в аиде лг+сг2+А=О (4.12) Рассмотрим плоскость с прямоугольными декартовыми координатами сг, А и от- метим на ней области, соответствующие тому или иному типу состояния равно- весия, который определяется характером корней характеристического уравнения 2ьг = — гг+ /Р— 4Ь (4.13) Условием устойчивости состояния равновесия будет наличие отрицательной действительной части у Л1 н ~г.
Необходимое и достаточное условие этого — выполнение неравенств <т> О, А > О. На диаграмме (4.15) этому условию соответствуют точки, расположенные в первой четверти плоскости параметров. Особая точка будет фокусом, если 4 и Яг комплексны. Этому условию соответствуют те точки плоскости, для которых сг' — 4А < О, т. е. точки между двумя ветвями параболы о' = 4А. Точки полуоси <т= О, Ь > 0 соответствуют состояниям равновег сия типа центр. Аналогично„4 и Лг — действительны, но разных знаков, т.
е. особая точка будет седлом, если Л < О, и т. д. В итоге мы получим диаграмму разбиения плоскости параметров сг, Ь на области, соответствующие различным типам состояния равновесия (рис. 4.10). Если коэффициенты линейной системы а, Ь, с,с( зависят от некоторого параметра, то при изменении этого параметра будут меняться и величины д А. При переходе через границы характер фазового портрета качественно меняется. Поэтому такие границы называются бифуркационными — по разные стороны от границы система имеет два качественно различных фазовых портрета и, соответственно.
два разных типа поведения. Пять типов состояния равновесия грубые, их характер не изменяется при достаточно малых изменениях правых частей уравнений (4.4). При этом малыми должны быть изменения не только правых частей, но и их производных первого порядка. Шестое состояние равновесия — центр — негрубое.
При малых изменениях параметров правой части уравнений он переходит в устойчивый или неустойчивый фокус. МОДЕЛИ ИЗ ДВУХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Седло ч Л, > 0, Л, < 0 Л,>О,Л=О Рис. 4ЛО. Бифуркационная диаграмма для системы линейных уравнений (4.4). На диаграмме видно, как могут проходить такие изменения. Если исключить особые случаи — начало координат, — то легко видеть, что седло может переходить в узел, устойчивый или неустойчивый при пересечении оси ординат. Устойчивый узел может перейти либо в седло, либо в устойчивый фокус, и т.
д. Отметим, что переходы устойчивый узел — устойчивый фокус и неустойчивый узел — неустойчивый фокус не являются бифуркационными, так как топология фазового пространства прн этом не меняется. Топология (голос — место, логос — слово, наука) — «геометрия положения» — это часть геометрии, изучающая свойства формы и взаимного положения фигур, то есть свойства, не зависящие от размеров (длин, углов, площадей), а также от прямолинейности. Топологию называют «качественной геометрией», «резиновой геометрией».
Более точно: топологические свойства фигуры — это такие ее свойства, которые сохраняются при всевозможных взаимно-однозначных и взаимно-непрерывных отображениях. Например, свойство кривой быть замкнутой является топологическим. У эллипса и у окружности одни и те же топологические свойства, т. к. окружность гомеоморфна эллипсу, то есть может быть взаимно-однозначно и взаимно-непрерывно отображена на эллипс. Качественная теория дифференциальных уравнений, элементы которой мы используем в данном курсе, также является одним из разделов теории топологических пространств. Более подробно мы поговорим о топологии фазового пространства и бифуркационных переходах в лекции 6.
При бифуркационных переходах меняется характер устойчивости особой точки. Например, устойчивый фокус через центр может переходить в неустойчивый фокус. Эта бифуркация называется бифуркацией Андронова-Хопфа по име- ЛЕКЦИЯ 4 100 нам исследовавших ее ученых. При этой бифуркации в нелинейных системах происходит рождение предельного цикла, и система становится автоколебатель- ной (см. лекцию 8). Пример. Система линейных химических реакций — "з — з Х вЂ” 'з-+у — "~ — Э (4.14) и описывается системой уравнений 1 2 сзх ссг (4.15) ссу — = зс х — /с у. з Стационарные концентрации получим, приравняв правые части нулю: (с, у= ~з )с, х= —, )сз (4.16) Запишем уравнение для фазовых траекторий системы. Разделим второе уравнение системы (4.16) на первое. Получим: с(у сс,х — азу (4.17) с(х 'с1 'сзх Уравнение (4.17) определяет поведение переменных на фазовой плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
