Г.Ю. Риниченко - Лекции по математическим моделям в биологии 2011 (1123215), страница 15
Текст из файла (страница 15)
МОДЕЛИ ИЗ ДВУХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЪНЫХ УРАВНЕНИЙ 89 Построив главные изоклины и найдя точку их пересечения (х, у), координаты которой удовлетворяют условиям Р(х, у) = О, Д(х. у) = О, мы найдем точку пересечения всех изоклин фазовой плоскости, в которой направление касательных к фазовым траекториям неопределенно. Это — особая точка, которая соответствует стационарному состоянию системы (рис.
4.2). Система (4.1) обладает столькими стационарными состояниями, сколько точек пересечения главных изоклин имеется на фазовой плоскости. Каждая фазовая траектория соответствует совокупности движений динамической системы, проходяших через одни и те же состояния и отличаюшихся друг от друга только началом отсчета времени. х Рис.
4.2. Главные нзоклины системы на фазовой плоскости. Таким образом, фазовые траектории системы — это проекции интегральных кривых в пространстве всех трех измерений х, у, г на плоскость (х, у) (рис. 4.3). Рис. 4.3. Траектории системы в пространстве (х, у, Г). ЛЕКЦИЯ 4 90 — =0; — =О. с(х ду тзу тй Устойчива или нет особая точка, определяется тем, уйдет илн не уйдет изображающая точка при малом отклонении от стационарного состояния. Применительно к системе из двух уравнений определение устойчивости на языке ц Бвыглядит следующим образом. Состояние равновесия устойчиво, если для любой заданной области отклонений ат состояния равновесия (Е) можно указать область кй'Е), окружающую состояние равновесия и обладающую тем свойством, что ни одна траектория, которая начинается внутри области 4 никогда не достигнет границы е (рис.
4.4) Рис. 4.4. Иллюстрация к определению устойчивости области е и авиа плоско- сти (х, у). Для большого класса систем, грубых систем, характер поведения которых не меняется при малом изменении вида уравнений, информацию о типе поведения в окрестности стационарного состояния можно получить, исследуя не исходную, а упрощенную линеаризаванную систему. Подробно процесс линеаризации будет рассмотрен в лекции 5. Квыи Оластви Пуи (Саисьу Аадивйп Ззклэ, 1789-1 857) — великий Фрамзузский матема. тик. Раэрабстал ссисвм матвматическстс аиалиэа, ветер мииик ссновспслатаюаик рабат в сбласти алтебрм, математической Физики и прутик сбластей Если условия теоремы Коши выполнены, то через каждую точку пространства (х, у, г) проходит единственная интегральная кривая.
То же справедливо, благодаря автономности, для фазовых траекторий: через каждую точку фазовой плоскости проходит единственная фазовая траектория. Устойчивость стационарного состояния Пусть система находится в состоянии равновесия. Тогда изображающая точка находится в одной из особых точек системы, в которых по определению МОДЕЛИ ИЗ ДВУХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 91 Линейные системы Рассмотрим систему двух линейных уравнений: л(х с(у — = ах+ Ьу, — = сх+ ду.
дг дг (4.4) Здесь а. Ь, с, а — константы. х, у — декартовы координаты на фазовой плоскости. Общее решение будем искать в виде х = Аел', у = Вел'. Подставим эти выражения в (4.4) и сократим на ела: л1А = аА+ ЬВ, (4.6) л1В = сА + л(В.
Алгебраическая система уравнений (4.6) с неизвестными А, В имеет ненулевое решение лишь в том случае, если ее определитель, составленный из коэффициен- тов при неизвестных, равен нулю: Раскрывая этот определитель, получим характеристическое уравнение системы: Я~ — (а+г()Я+(ад — Ьс) =О. (4.7) Решение этого уравнения дает значения показателя л1 ь при которых возможны ненулевые для А и В решения уравнения (4.6). Эти значения суть а+г( сл 2 (4.8) л, л1' х=спе '+с„е ли ла у=с„е ' +сне (4.9) Для анализа характера возможных траекторий системы на фазовой плоскости используем линейное однородное преобразование координат, которое позволит привести систему к каноническому виду: — =А~, — = )зу, с(~ с(г) (4.10) аг аг Если подкоренное выражение отрицательно, то Я1 з комплексно-сопряженные числа. Предположим, что оба корня уравнения (4.7) имеют отличные от нуля действительные части и что нет кратных корней.
Тогда общее решение системы (4.4) можно представить в виде линейной комбинации экспонент с показателями л1ь л(з. ЛЕКЦИЯ 4 92 и допускающее более удобное представление на фазовой плоскости по сравнению с исходной системой (4.4). Введем новые координаты с, у по формулам ~=ггх+,Оу, г)=ух+Бу. (4.1 1) Из курса линейной алгебры известно, что в случае неравенства нулю действительных частей Ль Л~ исходную систему (4.4) при помоши преобразований (4.11) всегда можно преобразовать к каноническому виду (4.10) и изучать ее поведение на фазовой плоскости (~, г(). Рассмотрим различные случаи, которые могут здесь представиться. Корни Лм Лз — действительны и одного знака В этом случае коэффициенты преобразования (4.11) действительны, мы переходим от действительной плоскости (х, у) к действительной плоскости (С, г().
Разделив второе из уравнений (4.10) на первое, получим: (4.12) (~ Л,~' Интегрируя это уравнение, находим: Л2 где а= — '. Л,' г)= сЦ (4.13) Рис. 4.5. Особая точка типа узел на плос- кости канонических координат (С, я). Условимся понимать под Лз корень характеристического уравнения сбольшим модулем, что не нарушает общности нашего рассуждения. Тогда, поскольку в рассматриваемом случае корни Ль Лз — действительны и одного знака, то а > 1, и мы имеем дело с интегральными кривыми параболического типа. Все интегральные кривые (кроме оси ц, которой соответствует с = ° ) касаются в начале координат оси с; которая также является интегральной кривой уравнения (4.11).
Начало координат является особой точкой. Выясним теперь направление движений изображающей точки вдоль фазовых траекторий. Если Ль Лз — отрицательны, то, как видно из уравнений (4.10), 141, 1у! убывают с течением времени. Такая особая точка, через которую проходят интегральные кривые, подобно тому, как семейство парабол у = сх' (а > О) проходит через начало координат, носит название узла (рис. 4.5). МОДЕЛИ ИЗ ДВУХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 93 Состояние равновесия типа узел при Ль Лг < 0 устойчиво, так как изображаюшая точка по всем интегральным кривым движется по направлению к началу координат.
Зто устойчивый узел. Если же Ль Лг > О, то !с!, !г!! возрастают с течением времени и изображающая точка удаляется от начала координат. В этом случае особая точка — неустойчивый узел. На фазовой плоскости (х, у) общий качественный характер поведения интегральных кривых сохранится. Угол наклона этих касательных к интегральным кривым будет определяться соотношением коэффициентов сг,,(( у ив уравнениях (4.11).
Корни Лн Лг — действительны и разных знаков Преобразование (4.11) от координат х, у к координатам с, г) опять действительное. Уравнения для канонических переменных снова имеют вид (4.10), но теперь знаки Ль Лг различны. Уравнение фазовых траекторий имеет вид Л где а= Л г (4.14) Интегрируя (4.14). находим г)= с!ь"! '. (4.15) Рис. 4.6. Особая точка типа седло на плоскости канонических координат(С, и).
Это уравнение определяет семейство кривых гиперболического типа, где обе оси координат — асимптоты (при а = 1 мы имели бы семейство равнобочных гипербол). Оси координат и в этом случае являются интегральными кривыми — это будут единственные интегральные кривые, проходяшие через начало координат. Каждая из них состоит из трех фазовых траекторий: из двух движений к состоянию равновесия (или от состояния равновесия) и из состояния равновесия. Все остальные интегральные кривые суть гиперболы, не проходящие через начало координат (рис.4.6). Такая особая точка носит название седло.
Линии уровня вблизи горной седловины ведут себя подобно фазовым траекториям в окрестности седла. ЛЕКЦИЯ 4 94 Рассмотрим характер движения изображающей точки по фазовым траекториям вблизи состояния равновесия. Пусть, например, )1 > О, хз < О. Тогда изображающая точка, помещенная на оси 4, будет удаляться от начала координат, а помещенная на оси у — неограниченно приближаться к началу координат, не достигая его за конечное время.
Где бы ни находилась изображающая точка в начальный момент (за исключением особой точки и точек на асимптоте и = О), она в конечном счете будет удаляться от состояния равновесия, даже если в начале она движется по одной из интегральных кривых по направлению к особой точке. Очевидно, что особая точка типа седло всегда неустойчива.
Только при специально выбранных начальных условиях на асимптоте ц = 0 система будет приближаться к состоянию равновесия (это не противоречит утверждению о неустойчивости системы). Всякое реальное движение будет удаяять систему от состояния равновесия. Переходя обратно к координатам х, у, мы получим ту же качественную картину характера движения траекторий вокруг начала координат. Пограничным между рассмотренными случаями узла и седла является случай, когда один из характеристических показателей, например (ь обращается в нуль, что имеет место, когда определитель системы — выражение аН вЂ” Ьс = 0 (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
