Г.Ю. Риниченко - Лекции по математическим моделям в биологии 2011 (1123215), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Эта «быстрая» переменная изменяется значительно быстрее, чем у, и за время Ту успеет достичь своего стационарного значения. Значит, для переменной х дифференциальное уравнение можно заменить алгебраическим: Р(х,у,г )юО или х = х(у, ге). Таким образом, благодаря учету иерархии времен, исходную систему из трех дифференциальных уравнений удается свести к одному дифференциальному уравнению для переменной со «средним характерным временем» вЂ” у: = Щх(у. ув). 7. ге).
1у г|( В химической кинетигге метод такой редукции системы был впервые предложен Боденштейном и носит название метода квазистационарных концентраций (КСК). Обычно он применяется для систем химических реакций, промежуточные продукты которых являются частицами с высокой реакционной способностью. К ним относятся каталитические процессы, свободнорадикальные и цепные реакции.
В процессах с участием активных промежуточных частиц разность скоростей образования уо и расхода ур этих частиц мала по сравнению с самими величинами скоростей. Концентрации активных промежуточных веществ оказываются квазистационарныии. Режим называется квазиспизционарньгм. Дифференциальные уравнения для промежуточных со- единений со(г ' =у — у', )=1,2,...,| в р можно заменить алгебраическими: )", =)",, у=1,2,...,|. Из 1 алгебраических уравнений можно выразить 1 квази- стационарных концентраций промежуточных химических соединений. По мере расходования исходных веществ, квазнстационарные концентрации промежуточных соединений будут меняться.
Но если время установления квазистационарного режима мало, то квазистационарный характер режима не будет нарушаться в течение всего процесса. Самйнов Николай Николаевич (т 696- 1 996) — советский химик, один из основополоиников химичеоюй физики, лауреат Нобвлеемай премии по химии (1 966, совместно с Сирилом Хинюелвудом). Разработал количественную теорию химичеамх цепных реакций, теорию теплового взрыва, го)юнип газовых смесей. ЛЕКЦИЯ 6 124 Теорема Тихонова ззу/Гзх « !. (р(х, у) = Аг(х, у), где А» 1, а функция Р(х, у) имеет тот же порядок величины, что и функция 6(х, у). Первое уравнение системы можно представить в виде з(х — = Аг(х, у).
з(г фрйнк-Каменбцкий давид Альбертоаич (1 91 0-1 970) — совет- ский физик-теоретик. АйтОР Оснсвсполагмо- щих Работ в Области бмзи«и горения и взры- ва, химической кинети- ки, химичмзкм тюно- лсгии, Встрсфиэнюз, фиан«и плазмы. тиконов Андрей Иикзн лвавич (1906-1993)— Русмззт сОВетОьй математик, Оснсаспспсж ник «рупного направи. ния в асимптотическом анализе — таории дифференциальных уравнений с малым параметром при старвмй производной. Работа над геофиэичес«ими проблемами поиска полезных исюпаемых привела А Н. Тихонова ««онцепцнн Обратных и некорректных задач и разработке методов Конечно, такое рассмотрение не правомерно для начальных стадий процесса, когда 111 меняются от нуля до своих квазистационарных значений.
Этот период носит название периода индукз(им Разработке метода КСК и оценке длительности периода индукции посвящены работы С. Бенсона, Н. Н. Семенова, Д. А. Франк-Каменецкого. Аналогичная ситуация имеет место в биохимических ферментативных процессах, где процессы образования и распада фермент-субстратиого комплекса происходят значительно быстрее, чем процессы расходования субстрата и образования продукта. Математически строгое обоснование применения метода квазистационарных концентраций (редукции системы в соответствии с иерархией времен) и формулировка условий его применимости дана в работе А.
Н. Тихонова (1952). Рассмотрим простейший случай двух дифференциальных уравнений — = (Р (Х, у), — = Зг' (Х, у). з(х з(у (6.1) гзу з(Г Пусть у — медленная, а х — быстрая переменная. Соответственно, величина функции (р(х,у) существенно больше величины функции С(х, у).
Это означает, что отношение приращений Ау и Ьх за короткий промежуток времеви Ьг много меньше единицы: Скоросгь изменения х значительно превосходит скорость изменения у, поэтому правую часть первого уравнения можно записать в виде БЫСТРЫЕ И МЕДЛЕННЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ 125 Разделив левую и правую часть уравнения на А и обозначив е = 1/А„получим полную систему уравнений, тождественную исходной: дх ду Š— =Г(х,у), — =б(х,у), дг сй (6.2) г(х,у)=О, — =б(х,у).
ду дг (6.3) В отличие от полной системы (6.2), система (6.3) называется вырожденной. Фазовый портрет такой системы представлен на рис. 6.2. Рис. 6.2. Фазовый портрет системы (6.3). Фаэовые траектории в любой точке фазовой плоскости за исключением еокрестности кривой с(х, у) = 0 имеют наклон, определяемый уравнением — =Е =Е«1, ду б(х, у) дл Р(х, у) т. е.
расположены почти горизонтально. Это области быстрых движений, при ко- торых вдоль фазовой траектории х быстро меняется, а у остается постоянным. Достигнув по одной из таких горизонталей е-окрестности кривой Р'(х, у) = О, изо- бражакицая точка потом будет двигаться по этой кривой. где е « 1 — малый параметр. Если характер решения не изменится при устремлении малого параметра е к нулю (условия этого обстоятельства и составляют содержание теоремы Тихонова), можно устремить е к нулю и получить для «быстрой» переменной х вместо дифференциального уравнения — алгебраическое: ЛЕКЦИЯ 6 126 Скорость движения по горизонтальным участкам траектории дхй(г = 1/л= А, т. е.
очень велика по сравнению со скоростью движения в окрестности кривой Г(х, у) = О. Поэтому общее время достижения некоего состояния на кривой Р(х, у) определяется лишь характером движения вдоль этой кривой, т. е. зависит лишь от начальных значений медленной переменной у и не зависит от начальных значений быстрой переменной х. Отметим, что квазисгационарные значения быстрых переменных являются функциями не окончательных стационарных значений медленных переменных, а лишь их мгновенных значений. В этом смысле говорят о том, что быстрая переменная «подчинена» медленной. ох (6.4) дл, — '=й;(х„л~,...,х,,х„„...,к,„), д=г+1,...,Ф.
(6.5) Назовем систему (6.4) присоединенноо а систему (6.5) — вырожденной. Решение лавкой системы (6.4-6.5) стремится к решению вырожденной системы (6.5) при л — э О, если выполняются следующие условия: а) решение полной и присоединенной системы единственно, а правые части непрерывны; б) решение х, =(а1(х„х,, ...,х„), ...,х, =(а,(х,,х,,...,х ) представляет собой изолированный корень алгебраической системы й;(х„х„...,х,,х„,,...,х„) =О, р=1,...,г (в окрестности этого корня нет других корней); в) решение х,, з,, ..., х, — устойчивая изолированная особая точка присоединенной системы (6.4) при всех значениях хо ох„,, ...,х„; г) начальные условия х,',х~~, ...,х,' попадают в область влияния устойчивой особой точки присоединенной системы (то есть все фазовые траектории из этой области сходятся к особой точке присоединенной системы). Число начальных условий вырожденной системы меньше, чем полной: начальные значения быстрых переменных не используются в вырожденной системе.
Согласно теореме Тихонова, если выполняется условие в), результат не зависит от начальных условий для переменных присоединенной системы. Таким образом, необходимым условием редукции является наличие малого параметра в уравнениях (6.4). Теорема Тихонова устанавливает условия редукции системы дифференциальных уравнений с малым параметром (условия замены дифференциальных уравнений для быстрых переменных — алгебраическими). Запишем систему Ф уравнений, часть из которых содержит малый параметр е перед производной: БЫСТРЪ|Е И МЕДЛЕННЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ 127 Представляет интерес система двух дифференциальных уравнений вида (6.2)„ в которой особая точка расположена на неустойчивой ветви кривой Е(х, у) = О.
Такая система совершает релаксационные колебательные движения. Вопрос о релаксационных колебаниях мы обсудим в лекции 8. Теорема Тихонова явно или неявно применяется при исследовании практически любых моделей биологических систем, в этом мы убедимся в дальнейшем (лекции 7-12). Фермент-субстратная реакция Михаэлиса-Ментен Классическим примером является модель базовой ферментативной реакции, схема которой была предложена Михаэлисом и Ментен в 1913 году: Е+Б~~ЕБ — '-' — +Е+ Р (6.6) т ) аз — = — «ее+к с, 1 -1 де — = — х,ее+(х, +/с,)с, дс — =/с,ез — (х, +к,)с, дт (р — = Йзе.
дт (6.7) В системе (6.7) учтены следующие процессы: ° Субстрат 8 (переменная з) расходуется, образуя комплекс Е$ (бимолекулярная реакция, константа реакции /с|), и его концентрация увеличивается при обратной реакции — распаде комплекса на субстрат и фермент (/с|); ° Фермент Е (переменная е) расходуется на образование комплекса ЕБ (Е|), его концентрация увеличивается при распаде комплекса на субстрат и фермент (обратная реакция с константой х |) и при реакции образования продукта (/сз). ° Комплекс ЕЯ (переменная с) образуется из фермента Е и субстрата Б (бимолекулярная реакция, константа Ц) и распадается на субстрат Я и фер- Схема означает, что субстрат Б соединяется с ферментом Е в комплекс ЕБ, в котором происходит химическое превращение и который затем распадается на фермент Е и продукт Р. По закону действующих масс, скорость реакции пропорциональна произведению концентраций.
Обозначим концентрации реагентов малыми буквами: з = (Я вЂ” субстрат, е = ٠— фермент (энзим), с = (ЕЯ вЂ” комплекс, р = [Р) — продукт. Для изменений концентраций во времени получим систему кинетических уравнений: ЛЕКЦИЯ 6 128 р(г) =Ус, )с(гЗо(г'. о В соответствии со схемой реакций (6.6-6.7) общее количество фермента, свободного и связанного в комплекс, сохраняется: е(1) + с(г) = ео.
Это условие позволяет второе дифференциальное уравнение системы (6.7) для фермента в свободной форме заменить алгебраическим уравнением сохранения фермента. Модель сводится к двум дифференциальным уравнениям, описывающим кинетику концентраций субстрата и фермент-субстратного комплекса: Ь вЂ” = — /с е,з+ (1о,х+ Й, )с, Нс — = /с,е,з — (/с,з+ /с, + /о,)с (6.9) с начальными условиями з(0) = зо, с(0) = О. Введем безразмерные переменные н параметры: у(г') = с(г) г'= )о,е,б (6.10) е Е= —. о оо Запишем уравнения (6.9) в безразмерном виде (в дальнейшем штрихи у безразмерного времени опускаем): пх Ну — = — х+(х+К вЂ” 1)у, и — =х — (х+К)у, ой й (6.1 1) х(0) = 1, у(0) = О. Поскольку реакция превращения фермент-субстратного комплекса необратима, уже из схемы реакций (6.6) ясно, что с течением времени весь субстрат мент Е (обратная реакция с константой Е1) и продукт и фермент при образовании продукта (/оз).
° Продукт Р образуется при необратимом распаде комплекса на продукт и фермент (~сг). Для полной математической формулировки задачи Коши необходимо задать начальные условия: з(0) = зо, е(0) = ео, с(0) = О, р(0) = О. (6.8) Последнее уравнение, описывающее образование продукта, как и в системе Лотки (5.13), отделяется от первых трех уравнений. Поэтому если система первых трех уравнений решена, концентрация продукта может быть рассчитана по формуле БЫСТРЫЕ И МЕДЛЕННЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ 129 будет превращен в продукт, и в стационарном состоянии концентрации субстрата и фермент-субстратного комплекса станут равны нулю: х =О, у =О. Этот же результат можно получить, приравнивая правые части уравнений (6.11) нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
