Г.Ю. Риниченко - Лекции по математическим моделям в биологии 2011 (1123215), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Примером является бифур- нроооийс«ийивтвиакация слияния устойчивого узла с седлом, в результате чего апрактор исчезает. Подробнее мы рассмотрим эту бифурка- титоионогии,твои и диффвренциаиьных цию ниже. уравнений, теории Часто кроме бифуркационных диаграмм для наглядности ооове зотов«наива строят фазопараметричеекие диаграммы. В этом случае по одним координатным осям откладывают значения параметров, а по другим — динамические переменные или связанные с ними величины. Получают некоторую гиперповерхность, точки которой соответствуют определенным динамическим режимам, меняющимся с изменением параметров.
Бифуркации на таких диаграммах могут проявляться в образовании складок поверхности или в расщеплении ее на несколько частей. Резкие значительные изменения переменных состояния динамической системы, вызванные малыми возмущениями в правых частях уравнений, в частности, малыми изменениями параметров, часто называют катастрофами.
Теория катастроф была развита топологом Рене Томом (Т)тош, 1972). В основу ее была положена разработанная ранее теория особенностей Уитни. Показано, что существует небольшое количество элементарных катастроф, с помощью которых можно локально описать поведение системы. С основами теории катастроф можно познакомиться по книге В. И. Арнольда «Теория катастроф».
ЛЕКЦИЯ 6 Модельные системы Для описания событий, происходящих вблизи бифуркационной границы, удобно использовать системы самых простых уравнений, обычно — полиномиальных, которые описывают качественные особенности процесса. Такие системы называются модельными и активно используются в теории бифуркаций и в теории катастроф. Например, для системы, которая может быть описана одним автономным дифференциальным уравнением, модельная система имеет вил пх — = ах+ Д(х). пг Здесь Д(х) — нелинейная функция. Условием вырождения (бифуркации) является равенство нулю коэффициента а, то есть отсутствие в правой части линейного члена. В качестве модельной системы, описывающей бифуркацию коразмерности х, обычно выступает полиномиальная система (< й уравнений, зависящая от /с малых параметров. При нулевых значениях параметров в системе возникает вырождение, а при вариации параметров происходит бифуркация.
В простейшем случае в качестве параметров выступают вещественные части собственных чисел. Размерность модельной системы 1 совпадает с количеством собственных чисел, вещественные части которых обращаются в нуль при бифуркационном значении параметра сх Рассмотрим основные бифуркации — катастрофы. Седло-узловая бифуркации (складка) Пусть в системе при а < а* существуют два состояния равновесия: устойчивый узел Д и седло 5 (рис. 6.5, а).
При а = а* происходит слияние узла и седла с образованием негрубого состояния равновесия, называемого седло-узел. (рис. 6.5, б). Рис. 6.5. Бифуркация седло-узел. БЫСТРЫЕ И МЕДЛЕННЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ 135 При сг> а* положение равновесия исчезает (рис. 6.5в). Переменная х с течением времени стремится к бесконечности. Поскольку в результате бифуркации атграктор (узел) исчезает, границы бассейнов должны качественно перестроиться.
Следовательно, данная бифуркация является кризисом (катастрофой). Простейшая модельная система, описывающая данную бифуркацню, имеет вид х=а+х', а>0. (6.17) Уравнение (6.17) имеет в области действительных чисел два стационарных состояния х=;~ — а, х,= — ч — а ! только при а< О. При а> 0 уравнение (6.17) не имеет действительных корней (рис. б.ба) Линеаризуем уравнение (6.17) в окрестности стационарного состояния.
Для отклонения от стационарного состояния ~ = х — х имеем: — = 2хБ. с(г Собственное значение для первого, положительного, корня Я,= 2.1-а. Собственное значение для второго, отрицательного, корня Я,= †2 . Таким образом, х, — неустойчивое состояние, х, — устойчивое. Прн сг= 0 имеем х, = х, = О, и собственное значение в этой точке равно нулю. Бифуркация имеет коразмерность 1, так как вьщеляется одним условием А(ст) = О, На рис. б.ба изображена фазопараметрическая диаграмма системы (6.17). Если бифуркацня седло-узел происходит вдвупараметрнческой системе, то в фазопараметрическом пространстве ей соответствует особенность (катастрофа) типа складка вдоль линии 1* на плоскости параметров (рис.
6.66). Рнс. 6.6. Фазопараметрнческая диаграмма бифуркации седло-узел: а — с одним управляющим параметром (прн сг> 0 в системе нет устойчивых равновесий, прн а< 0 в системе два равновесия, устойчивое н неустойчивое) б — бифуркации седло-узел с двумя управляющими параметрами (катастрофа типа складка). 1* — линия бифуркации на плоскости параметров аь а> ЛЕКЦИЯ 6 136 ии т — = Д(и, х). й их — = Р(и,х) = — и+х. йг (6.18) Здесь г» 1, характерное время изменения переменной х будем считать порядка единицы. Изоклина Р ж О имеет устойчивую ветвь — аттрактор в форме «складки».
При медленном уменьшении и в соответствии с первым уравнением (6.18) при достижении и = О произойдет срыв изображающей точки, которая либо уйдет на, либо перескочит на другой устойчивый аттрактор. Заметим, что в реальных моделях такая устойчивая ветвь всегда присутствует. Катастрофа типа «складка» появляется в моделях, описывающих релаксационные колебания, «ждущие» режимы и триггерные системы (парамегрическое переключение).
Модели, имеющие бифуркации типа «складка», используются при описании автоволновых процессов и диссипативных структур. Трехкратное равновесне (сборка) Бифуркация состоит в слиянии трех состояний равновесия — узлов Дь Дг и седла Да между ними (в рождении двух устойчивых узлов и седла между ними — из устойчивого узла), как показано на рис. 6.7, 6.8. Бифуркация имеет коразмерность 2 и требует для своего описания как минимум двух параметров. Модельной системой для нее служит уравнение х=а,+а,х+х'. (6.19) Система имеет три особых точки.
Линейный анализ показывает, что при аз > О и любом а1 система имеет единственное состояние равновесия Да с отрицательным собственным значением, то есть асимптотически устойчивое. При а~ < О существует область значений и1 (заштрихованная область на бифуркационной диаграмме (рис. 6.8а), где система имеет три состояния равновесия Дь Дз и До, причем Дс — неустойчивое состояние равновесия, а Дь Дз — устойчивые. Такие системы (триггерные) широко применяются для описания бистабильных режимов, их модели будут подробно рассмотрены в лекции 7. Поясним, как можно пользоваться образами теории катастроф при изучении математических моделей на примере модели второго порядка, содержащей переменные х и и: и — зто фактически управляющий параметр и, бифуркационному значению которого и = а«соответствует и = О.
Пусть х — «быстрая» переменная, но исключить ее нельзя, поскольку система не удовлетворяет условиям теоремы Тихонова (см. выше), так как быстрый процесс не везде устойчив. «Складка» соответствует модели БЫСТРЪ|Е И МЕДЛЕННЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ 137 Рис.6.7. Трансформации фазового портрета при бифуркации «рождение двух узлов и седла между ними из устойчивого узла»: а — фазовый портрет в незаштрихованной области (рис.
6.8 а); б — фазовый портрет на границе 1,; в — фазовый портрет на границе 16 г — фазовый портрет в заштрихованной области представлен двумя устойчивыми узлами и седлом между ними. Рис. 6.8. Бифуркация трехкратного равновесия (катастрофа типа сборка): а — бифурка- ционная диаграмма, б — фазопараметрическая диаграмма. Границы области бистабильности образованы линиями 1~ и 1ж соответствующими бифуркациям седло-узел, на которых два из состояний равновесия сливаются и исчезают. Линии 1~ и 1з сходятся в точке А (са — — аь = О). Бифуркация в атой точке, называемая трехкратным равновесием, имеет коразмерность 2. Для уравнения (6.19) в точке А фазовый портрет представляет собой седло. Структура, изображенная вфазопараметрическом пространстве на рис.6.8б, называется ЛЕКЦИЯ 6 138 сборкой. Верхний и нижний лист «сборки» соответствуют устойчивым состояниям равновесия, а средний — неустойчивому.
На ребрах «сборки» имеют место катастрофы типа «складка». Модели, содержащие катастрофу типа «сборка», используются при описании релаксационных автоколебаний малой амплитуды, колебательных режимов со смещением средней точки и диссипативных структур ступенчатого типа. Слияние четырех или пяти особых точек приводит к катастрофам типа «ласточкин хвост» (рис. 6.9) и «бабочка». Фазовые пространства при этом — четырех- и пятимерные. Отметим важное различие катастроф типа «складка» и «сборка». «Складка» не описывает поведение системы на больших временах. Изображающая точка уходит из рассматриваемой области фазового пространства, где справедлива формула (6.18). Катастрофа «складка» не локализуема, то же относится к катастрофе «ласточкин хвост» с четной коразмерностью (рис.
6.9). Рис. 6.9. Бифуркация «ласточкии хвост». В случае «сборки» изображающая точка остается вблизи прежнего стационарного состояния. «Сборка» локализуема, как и катастрофа «бабочка» с четной коразмерностью. Бифуркации, приводящие к возникновению незатухакицих колебаний и квазистохастических режимов, мы рассмотрим в лекциях 8 и 10. Литература к лекции б 1. ТЬош К. Бнисгцга) БгаЬ1111у апс1 МогрЬойепез(в. г(.-У., Веп)аппп, 1972. 2. Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон Н. Н., Майер А. Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М., Наука, 1966.
БЫСТРЪ|Е И МЕДЛЕННЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ 139 3. Арнольд В. И. Теория катастроф. М., Наука, 1990. 4. Базыкин А. Д.. Кузнецов Ю. А., Хибник А. И. Портреты бифуркаций. М., Знание, 1989. 5. Бенсон С. Основы химической кинетики. М., Мир, 1964. 6. Березовская Ф. С., Карев Г. П. Дифференциальные уравнения в математических моделях, М., МИРЭА, 2000. 7. Варфоломеев С.
Д., Гуревич К. Г. Биокинетика. М., Фаир-Пресс, 1998. 8. Лобанов А. И., Петров И. Б. Вычислительные методы для анализа моделей сложных динамических систем. М., Издательство МФТИ, 2000. 9. Семенов Н. Н. Цепные реакции. Л., ОНТИ, 1934; 2-е изд. М., Наука, 1986. 10. Семенов Н.
Н. О некоторых проблемах химической кинетики и реакционной способности. М., Наука, 1954. 11. Тихонов А. Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных. Маль сб. 32 (3), 1952. 12. Франк-Каменецкий Д. А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. М., Наука, 1987. 13. Том Р. Структурная устойчивость и морфогенез.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
