А.Н. Матвеев - Атомная физика (1121290), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Теория возмущенийт. е. матричные элементы энергии возмущения должны быть м алы ми посравнению с разностями соответствующих невозмущенных уровней энергии. Следующая поправка к собственному значению энергии находится врезультате решения уравнения (41.9в).Подставив в это уравнение величинынулевого и первого порядков из(41.10), (41.12) и (41.13), получаемнии: вместо сумм в соответствующихформулах следует понимать интегралы по значениям энергии непрерывного спектра. Если спектр собственных значений частично дискретен,частично непрерывен, то в соответствующих формулах имеется сумма подискретному спектру энергии, а инт е г р а л -п о непрерывному спектруэнергии.
Например, вместо (41.17) получается формулас р (2) _|_ ^fcmКпги( ^ ^fcm) ,кт т + £ (°) _ £j4)) +П,1»= £ '+ C[2)( E W - 4 0)) = I ' J WVknVnmZ J m ’ (41-19)+ J /Г(О) _ /Г(О) Tгде член 1 — 5кт учитывает условие(41.16). Отсюда находимVтп VптЕ (2) _ £где v - совокупность величин, полностью определяющих состояние; Е хсобственное значение энергии состояния, характеризуемого совокупностьювеличин v; Е{0' принадлежит непрерывному спектру собственных значений, T i0’- соответствую щ ая волноваяфункция непрерывного спектра собственных значений.(41.18){к = т) ,(4 1 .2 0 )где штрих у знака суммы означает,что член с п = т в этой сумме отсутствует.
Следует отметить, что поправка второго приближения к энергии нормального состояния всегда отрицательна. Это видно из формулы(41.20), поскольку в случае основногосостояния Еявляется минимальнойэнергией и все члены в сумме отрицательны.При к ф т из формулы (41.19) получаю тся выражения для Cjt2), а с ихпом ощ ью -вы раж ения для собственных функций с точностью до величинвторого порядка малости.
ТогдаV' тп Ккт+а 2, = (£?» - Е ^ уКЛт+ 1t ' (Е<°> - Е ^ ) { Е ^ - £?>)(к ф т, п Ф т ) .(4 1 .2 1 )Выписанные выше формулы безтруда обобщ аю тся на случай непрерывного спектра собственных значе-vг птTi0) +(v0,d v ,(4 1 .2 2 )Пример 41.1. Рассмотреть в первом (борновском) приближении упругое рассеяние заряженной частицыпри столкновении с неподвижным силовы м центром.Постановка задачи в теории столкновений. Если параллельный пучокчастиц, например электронов, падаетна некоторую частицу, например атом,то в результате взаимодействия сэтим атом ом частицы пучка могут,во-первых, изменить направлениесвоего движения и, во-вторых, претерпеть изменение энергии.
Еслистолкновение произош ло без изменения энергии сталкиваю щ ихся частиц,то говорят об упругом столкновении(рассеянии). Столкновение с изменением энергии сталкиваю щ ихся частицназывается неупругим.§ 41. Стационарная теория возмущений 235В опыте измеряется число частиц,рассеиваемых в единицу времени втелесный угол (Ю в направлении, составляю щ ем угол 0 с первоначальнымнаправлением движения частиц (см.рис. 47).
Если ось Z сферической системы координат направить вдольпервоначального направления движения рассеиваемых частиц, а началокоординат совместить с рассеивающим центром, то направление движения частиц после рассеивания можетбыть охарактеризовано полярнымуглом 9 и азимутальным углом ср.Пусть число частиц, рассеянных вуказанный угол в единицу времени спотерей энергии 8, равно d N E.
Эточисло, очевидно, пропорциональночислу N частиц, падающих в единицувремени на единицу площ ади в первоначальном потоке, и пропорционально телесному углу dO. Таким образом,dстЕ= dNJdN = q (е, 0, ср) d il,(41.23)где q (е, 9, ф) - коэффициент пропорциональности, d a 8 имеет размерностьплощади и называется дифференциальным эффективным сечением длянеупругого рассеяния в угол dO с потерей энергии 8. Величинаст£ = JdiVc/iV = N JN = Jtf(£,9,cp)dfi, (41.24)где интеграл взят по полному телесному углу, называется полным эффективным сечением неупругого рассеяния с потерей энергии е.
Очевидно, чтоNc = N ge(41.25)-ч и сл о частиц, отнесенных к единицевремени, которые при столкновениипотеряли энергию 8 [концентрациячастиц первоначального потока равнаN = N частиц/(м2-с)].Таким образом, задачей теориистолкновений является вычислениеДифференциального эффективного сечения, знание которого позволяетполностью характеризовать распределение рассеянных частиц по углам иэнергиям.Борновское приближение.
Рассмотрим упругое рассеяние, когда в результате столкновения энергия частицне изменяется. В этом случае можноне принимать во внимание внутреннюю структуру атом а и считать еготочечным силовым центром, в полекоторого происходит движение рассеиваемых частиц. Пусть это полеявляется сферически-симметричным.Обозначим ЕП(г) потенциальную энергию рассеиваемой частицы в полерассеивающего центра. УравнениеШредингера в этом случае[р2/(2т) + Еп(г)] V =(41.26)Потенциальная энергия Е л(г) определена с точностью до произвольнойпостоянной. Эту произвольную постоянную можно вы брать так, чтобына бесконечности потенциальная энергия обращ алась в нуль (Еп(сс) = 0).Частица после рассеяния уходит набесконечность лишь в том случае,когда ее полная энергия больше нуля.Таким образом, при решении уравнения (41.26) нас интересует случай £ )0 .Обозначивк2 = 2тЕ/П2, V(r) = 2тЕп(г)/П2,(41.27)где т - масса рассеиваемой частицы,можно уравнение (41.26) записать ввидеV 2T + к2у¥ = V(r)'¥.(41.28)После рассеяния, удалившись на достаточно большое расстояние от рассеивающего центра, рассеиваемыечастицы движутся как свободныевдоль радиусов, проведенных от рассеивающего центра.
П оэтому послерассеивания движение частиц описывается расходящейся волной. Падаю -2 3 6 9. Теория возмущенийщие частицы до рассеяния, очевидно,описываются плоской волной. Следовательно, интересующее нас решениеуравнения (41.28) является суперпозицией падающей плоской волны Т 0 ирассеянной волны Ф:¥ = 4*0 + Ф.(41.29)Выбирая ось Z системы координат внаправлении движения потока частицдо рассеивания, можно функцию Т 0представить в виде4*0 = L~3l2eikz,(41.30)Таким образом, для нахождения дифференциального эффективного сечения необходимо вычислить амплитуду рассеянной волны.
В борновскомприближении эта амплитуда вычисляется с помощ ью теории возмущ ений, когда в качестве возмущения берется потенциальная энергия рассеиваемой частицы в поле рассеивающего центра. П одставляя (41.29) в (41.28)и пренебрегая УФ как величиной второго порядка малости, получаем дляопределения Ф уравнениеV 2® + к2Ф = FT0.(41.36)где L - размер куба периодичности,который удобно вы брать равнымL = 1м. При такой нормировке потокпадающих частиц на основании (25.21а)равенN = jje = p /m = ( _ 1 - ~ 2) .(41.31)Его решение хорошо известно из курса дифференциальных уравнений:На больших расстояниях г от рассеивающего центра функция Ф имеет видсферической расходящейся волны:где d x 'd /d z ' - элемент объема интегрирования, радиус-вектор которого г'.В этом решении автоматически учтены только расходящиеся волны.Д ля нахождения амплитуды /1(0)надо получить для Ф(г) асимптотическое выражение при больших значениях г.
Обозначим п0 единичныйвектор в направлении оси Z, а п == г/г - единичный вектор в направлении движения частицы после рассеяния (см. рис. 47). Тогдаdcт * о(г')е4к(41.32)где А (0) - амплитуда рассеянной волны, которая из-за центральной симметрии рассеивающего поля не зависит от угла ф. Ток рассеянных частицна основании формулы (25.21а) равенйФ*йФ^дгдг )ev \ А (0) |2— Ax'Ay'Az’,Iг' —r| = V(r' - r)2 = (r2 + r'2 - 2r •r')1^ .(41.33)и, следовательно, число частиц, рассеиваемых в единицу времени в телесный угол dO,AN = Ur/e) г2АП = v IА (в) |2сЮ.i k ( r - Г)(41.37)mФг^ х (г,0) = Л(0) — ,ieh (Л : 2тФ(г) =(41.34)Поэтому на основании (41.23) и (41.31)имеемda(0) = tf(0)dQ = AN/N = М (0) |2dQ.(41.35)Поэтому для г » г'| г' — r | » r — п т ' + .
. . ,(41.38)где многоточием обозначены членыпорядка г'/г и выше. П одставляя(41.38) в (41.37) и пренебрегая в знаменателе п*г' по сравнению с г, получаем при больших г1 JkrФ(г) = - — ■— feik(n° - B)'rV (r'):d;t'd/dz\4л г(41.39)§ 41где учтено значение Ч'о(г) по (41.30) ипринято во внимание, что z' = г ' • п 0 .Сравнение (41.39) с (41.32) показывает, чтоА (0) = - —4кrV(r') dx'dy'dz'.
(41.40)Удобно ввести обозначениеК = /с(п0 —п), | К | = К = к | п0 —п | == 2/с sin (0/2).(41.41)Тогда (41.40) с учетом (41.27) можнозаписать в видеA ( Q ) = - ~ ~ ^ ,K ' Еп{т') dx'dy'dz'.(41.42)Стационарная теория возмущений 237e* rI = J——dx'dy'dz' =оо2n/K r'cos 0'я= | dr’r'2 J dcp' J sin 0'd0'-— ;— ,(41.46)О О Оrгде 9 '- у г о л между К и г '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
