А.Н. Матвеев - Атомная физика (1121290), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Интегрируя(42.46) по ф' и по углу 9', находимооI = (4п/К) j sin (Kr')dr'.(41.47)Э тот интеграл не является сходящимся в обычном смысле. Однако егоможно представить как предел другого интеграла, сходящегося в обычномсмысле, с помощ ью формулыСОН а основании (41.35) дифференциальное эффективное сечение равно1 (2 m\2da(0)= 9(9) =dfJТбтс^чь2) хJe'K г Ел(т') • dx'dy'dz'(41.43)Не вдаваясь в подробности условийприменимости приближения Борна,отметим лишь, что это приближение всегда пригодно при достаточнобольш ой энергии рассеиваемых частиц.Формула Резерфорда.
Приближение Борна можно использовать длянахождения рассеяния частиц кулоновским центром (см. §14). Потенциальная энергия a -частица, заряд которой 2е, в поле ядра номера Z имеетвидEn(r) = 2Ze2/ ( 4 к е 0 г ) .(41.44)П одставляя (41.44) в (41.42), находимm.Ze2 Ге'к г'(41.45)Л ( 0 ) = ------ ------- ------ dx'dy'dz',4 7ГЕ0/Г J г'где т 1- масса a -частицы . Д ля вычисления этого интеграла ось Z сферической системы координат направимвдоль вектора К. Тогда00J sin(Kr')dr' = lim J е~"'sin (КУ) dr'.Оa-0 О(41.48)Интеграл, стоящий в правой частиравенства (41.48), легко вычисляется спомощ ью интегрирования по частям:ооJ e "“r'sin(Kr')dr' = К / ( а 2 + К 2(41.49)Поэтому из (41.47) с учетом (41.48) и(41.49) окончательно получаем/ = 4п / К 2.(41.50)Следовательно,wjjZe2 1-4 (0) = ~(41.51)£0Й2 К 2 'П ринимая во внимание, чтоК 2 = 4 k 2 sin2 (0/2) = (4mW/H2) sin2 (0/2),(41.52)на основании (41.43) находим<7(0) = М (0)|2 =14лв0т 1у / sin (0/2)(41.53)Z e2Итак, если в падаю щ ем потоке в единицу времени на единицу поверхностипадает N частиц, то дифференциаль238 9.
Теория возмущенийное сечение рассеяния в телесный уголdO = 2л sin 9d0dN ( Ze2 \ гdQd a = — = ---------- г —-------, (41.54)N • \4яе0ш1г / sin4 (0/2)что совпадает с формулой (14.7), полученной по классической теории.Таким образом, первое борновскоеприближение для рассеяния на неподвижном кулоновском центре дает результат, совпадающий с результатомклассической теории.Пример 41.2.
Пространственный ротатор с м оментом инерции J и электрическим дипольным моментом р помещен в однородное электрическоеполе ё . Рассматривая электрическоеполе ё как возмущение, вычислитьпервую неисчезающую поправку к основному энергетическому уровню ротатора.Н аправляя полярную ось Z сферической системы координат вдоль вектора &, можно энергию возмущениязаписать в виде К = —р - ё = —р ё cos 9.Волновые функции пространственного ротатора и собственные значенияэнергии определяются формулами(28.16) и (28.22). В частности, дляосновного состоянияYo = 1/\/4я~ > £ (оо, = 0.Первая поправка к энергии находитсяпо формуле (41.12):£</> = l/ОО = JyO* ^ у(0)dxdjdz = 0.П оэтому надо вычислить вторуюпоправку по формуле (41.20).
Преждевсего учтем, что матричные элементыэнергии возмущения между основнымневозмущенным состоянием и другими невозмущенными состояниямиравны2пп^v™ = K'omo = J J7i,0) F 7 jm) sin0d0dcp =оо= —( К / У з ) 5 п 5 т0,где использовано условие ортонормированности для шаровых функций.О тсю да по формуле (41.20) находимI т /0 0£ ( 2) _ у VО^^С -(О )т1'О12I I / 0 0_lm '_р(0 )■с , 1IЕ-(О) _L 'O]21° I_г-(О )1^(Р<%)2ЗА242. Стационарная теория возмущенийв случае вырожденных собственныхзначенийИзлагается метод получения приближенныхсобственных значений не зависящего от времениоператора Гам ильтона и соответствующ их собственных функций в случае вырожденных собственных значений.Ортогонализация собственных функций, принадлежащих вырожденномусобственному значению.
В случае вырожденных собственных значений поправка вычисляется к собственномузначению, которому принадлежит неодна собственная функция, а несколько. Как известно,собственные функции, принадлежащие одному и тому же вырожденномусобственному значению, вообще говоря, не ортогональны друг другу.Однако всегда можно вы брать ортогональные функции с помощ ью процесса ортогонализации.Пусть функции Ч ^ , Ч ^ , . . .
,Ч ^.принадлежат вырожденномусобственному значению Effl и неортогональны между собой. Очевидно, что лю бая линейная комбинацияэтих собственных функций^=t,(42Л)является также собственной функцией, принадлежащей том у же собственному значению ЕКоэффи-§ 42. Стационарная теория возмущ ений 239циентыв формуле (42.1) могутбыть выбраны так, что функции Т Йбудут ортонормированными. Еслизаписать условие ортонормированности функций Ч ^ ]., то число уравнений относительно коэффициентовах р получается меньше, чем числокс/эффициентов.
Следовательно, этимуравнениям можно всегда удовлетворить, построив тем самы м ортонормированные собственные функции. Поэтому при вычисленияхможно всегда предполагать, что собственные функции, принадлежащиевырожденному собственному значению, ортонормированы.Рассмотрим ортогонализацию вслучаедвукратноговырождения.Пусть неортогональными собственными функциями, принадлежащимиодному и том у же собственному значению, будут функции 'Рр и Ч//,2 (онинормированы на 1).
В соответствии сформулой (42.1) можно написать дляискомыхортогонализированныхфункций следующие выражения:а последний неизвестный коэффициент ах р определяется из условиянормировки функции Ч^ :K 2^ 2d x d j d z = l .Снятие вырождения. Пусть собственное значениевырождено. О бозначим(42.2)ортогонализированные собственныефункции, принадлежащие этому собственному значению. В разложении(41.4) каждый член, соответствующийвырожденному значению, заменяетсясуммой членов по всем волновымфункциям, принадлежащим этомусобственному значению. Например,вместо члена п = т, согласно (42.2),имеется сумма членов:ССФ(°) -I1 та i•т <*2Ф (0)т а2-I‘ * ‘Пользуясь тем, что число условий,налагаемых на функции в процессеортогонализации,меньшечислакоэффициентов, имеющихся в нашемраспоряжении,можноположитьV ! = 1- V 2 = 0, Т е ' ПРИНЯТЬ= Тр .
Тогда условие ортогональности функций Ч» и *¥ даетуравнение1^*!+d x d y d z = а%201 +d x d y d z = О,из которого следует, что ах » == - СаХ2р2, где С =d x d y d z.П оэтому^ ^ ( - с ч ^ + ч ^ ),т а (Ф<0)1 т а1 •Уравнения (41.9а, 41.96) приобретаю тследующий вид:^( Е^-ЕW) =О,С Г ( ^ 0 ) - М 0,) = 0,'С(42.3)С^ “2 = а“2^ 2 ^ 1 +-I-(42.4)r<°)p w . г*1)F(0>—mctjmoLj ^ т^-С<°|.(42.5)Из (42.4) получаемСй, = о0 = 1 ,2 ,.../) ,Cj.0) = 0(п = т).(42.6)Е^= Xп, а,Следовательно, вместо (42.5) находим систему уравнений:С2, Е^=ivс^к .(42.7)к= 1Э та система уравнений относительно коэффициентов С | и м е е т нетривиальное решение, если ее определитель равен нулю.
При записиопределителя одинаковые у всех вели2 4 0 9 Теория возмущенийчин индексы т для упрощения отбрасываем:■Еа) К« 1«2«к 2 «2 - £П)= 0.£•(К(42.8)Это уравнение /-й степени относительно Е П). Решив его, найдем г,вообще говоря, различных поправокк собственной энергии:Е ^ = Е^{,Е$.(42.9)Поскольку возмущение V предполагается м алы м, E lmi малы. Таким образом, вместо одного вырожденногозначения энергии получается рядблизких уровней энергии:при наложении возмущения вырожденный уровень энергии Е (J?' расщепляется на ряд близких уровней,определенных в первом приближенииформулойEmJ = E ^ + E% (/ = 1,2, ... , О(42.10)Это означает, что вырождение снимается.Снятие вырождения может б ьи ькак полным, так и частичным.В последнем случае вырождениепосле наложения возмущения остается, но имеет меньшую кратность, чемпервоначальное.Каждомузначению(j == 1 ,2 ,... ,i) уравнения (42.8) соответствует решение (С<°>и, ,..
,С(т1 <л) уравнения (42.7). Н айдя i решении этого уравнения, получим i собственных функций нулевого приближения с учетом возмущения. Каждомууровню энергии Е т} ( / = 1 , 2 , . . . ,/ )соответствует в этом приближениисобственная функция•С =(ЛЧ*™ + c Z u ^ Z 2 ++ . . . + C{?>0)4'S2>i .(42.11)аМ ожет случиться, что матричныеэлементы переходов Vma та междусостояниями одной и той ' же7энергииравны нулю. Тогда поправка первогопорядка Е ^ к энергии равна нулю инеобходимо вычислить поправку второго приближения. В этом случаеуравнение (42.4) и его решение (42.6)остаю тся без изменения, но вместо(42.5) надо взять уравнение второгоприближения (41.9в).
Д ля рассм атриваемых коэффициентов С£2«. оноимеет видЛЧО) р Ч )maj т_ у^1)' у(42.12)причем в сумме отсутствую т члены,соответствующие рассматриваемомувырожденному уровню энергии, поскольку соответствующие величиныVmx тх равны по условию нулю. Сдругой стороны, уравнение (41.96)для членов С[1) при к ф т имеет видС Р ( Е ™ - Ei°>) == Е ^ С < 0, = £ К 4 С ^ ,(42.13)"ajгде Cj,0) при п ф т обращ ается в нуль.Следовательно,= _ 4 maL _(42.14)Е {°] — £t0) maj ’поэтому уравнение (42.12) принимаетвид°) /Н2)m aj ^ т—= у упф тVУ ________ с {0)(42 15)Г‘пПриравнивая определитель из коэффициентов при C mxj в (42.15) к нулю,получаем уравнение для определениявторой поправки E f f :§ 43vvтаг" л’тх■_ Ы2)Х£&) _ Ет=0.(42.16)п ф тРешения этого уравнения даю т поправки к невозмущенным уровнямэнергии и приводят к снятию вырождения, если поправкипервогоприближения равны нулю.43.
Нестационарная теориявозмущенийс коэффициентами C„(t), зависящимиот времени. Подставляя (43.3) в (43.1)и учитывая (43.2), получаем(43.4)пУмножая обе части (43.4) на Ч1^ иинтегрируя полученное равенство повсему пространству, находим■ ^ - Е К .М С ..(43.5)гдеVmn(t) = J4*°»*(r, 0 РЧ^Чг, O d x d y d z(43.6)- матричные элементы операторавозмущения, вычисленные с помощ ью собственных волновых функций невозмущенного уравнения, зависящих от времени.
Уравнение (43.5)является точным уравнением и называется уравнением Шредингера в представлении взаимодействия.В разложении (43.3) коэффициенты С„(г) изменяю тся так, что нормировка волновой функции на единицусохраняется. Докажем это. Запишемусловие нормировки:/в котором V(r, t)~ зависящее от времени возмущение. Волновые функции'PS,0*(г, t) стационарных состояний,удовлетворяющие уравнению- ^ - Я < о,)ч'«о,(г, 0 = ° ,(43-2)предполагаются известными.Уравнение Шредингера в представлении взаимодействия. Представимискомую волновую функцию Ч^г, t) в219(43.3)ч ' ( г )О = ^ (г,О Ч '(г ,0 .(43.1)16ч> ==Постановка задачи. В стационарнойтеории возмущений рассматриваетсяпостоянно существующее возмущение. Нестационарная теория возмущений позволяет изучить процесспоявления возмущения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
