А.Н. Матвеев - Атомная физика (1121290), страница 58
Текст из файла (страница 58)
= / , v / / ( / + l )(J = L + S , L + S -1, ..., | LS|).(37.26)Число способов, которыми можетбыть образован полный момент атоТаким образом, различное числоспособов ориентации полного момента атом а относительно произвольного направления равно 2 J + 1.Поскольку квантовое число / орбитального момента отдельного электрона равно целому числу или нулю,квантовое число L полного орбитального м омента атом а может быть равно также либо целому числу, либонулю. Это следует из (37.15).Из (37.22) видно, что квантовоечисло S полного спина может бытьлибо целым числом, либо полуцелым.Отсюда на основании формулы (37.27)заключаем, что квантовое число Jполного м ом ента атом а может бытьлибо целым, либо полуцелым в зависимости от квантового числа полногоспина.
Если полный спин атом а полуцелый, то и квантовое число полногомомента атом а полуцелое. При целом спине полный м омент атом а также целый.Полный магнитный момент атома.Полный магнитный момент атом аЦполн равен векторной сумме полногоорбитального магнитного моментаHL и полного спинового магнитногомомента ц5 (рис. 72):И полн =Vl+M s,( 3 7 -3 ° )§ 37.
Магнитный и механический моменты атома 219причем-ii-iHi —~2 т„Us — Ls .т.’(37.31)(37.32)Так как гиромагнитное отношениедля спина в два раза больше, чемгиромагнитное отношение для магнитного момента, то полный магнитныймомент атом а не лежит на однойлинии с полным механическим м оментом. В изолированном атоме какизолированной механической системеполный механический м омент постоянен. Следовательно, вектор L , сохраняет свое направление в пространстве, а векторы полного орбитальногомомента L l и полного спина Ls прецессируют вокруг направления полного момента.
Б лагодаря этому векторы полного орбитального и м агнитного моментов также прецессирую т вокруг направления полного механического момента и вместе с нимипрецессионное движение совершаети полный магнитный момент атом аЦполн- Полный магнитный моментатом а= Ц; +(37.33)где |i j “ составляю щ ая полного м агнитного момента, параллельная полному механическому моменту; ц_[_составляю щ ая полного магнитногомомента, перпендикулярная направлению полного механического м омента.
Прецессионное движение совершается быстро. Поэтому в явлениях, зависящих от полного магнитногом омента атом а, происходит обычноусреднение полного магнитного м о мента атом а по многим периодампрецессии. Среднее значение перпендикулярной составляющей полногомагнитного м омента равно нулю. П оэтому среднее значение полного м агнитного момента сводится к jij, т.
е. ксоставляющей полного магнитногом омента в направлении полного механического момента. В связи с этим,когда говорят о полном магнитноммоменте атом а, имею т в виду именно эту составляющ ую и говорят, чтоэто полный магнитный момент атома.М ножитель Ланде. Полный м агнитный момент атом а можно рассчитать по схеме сложения моментов(рис. 72):= |iI.cos(Lt , Lj) + ns cos(Ls,L,). (37.34)Переписав (37.25) в видеLl = L , - L s ,(37.35а)Ls = L, —L l(37.356)и возводя последние равенства в квадрат, получим аналогично (37.21) следующие формулы для косинусов углов между соответствую щими векторами:cos (Ll , Lj) —J(J + 1) + L( L+ 1)S(S + 1)(37.36a)2 ^ J ( J + 1 ) V L ( L + 1)И полнcos(Ls,L,) =J(J + 1) + S( S+ 1) —L(L + 1), (37.366)2 ^ J ( J + l ) y/ S( S+ 1)где для L j , L l , Lg использованы формулы (37.26), (37.14) и (37.20).
Учитывая, чтоV'by/LiL + 1),(37.37а)Us = 2 ^ b V S ( S + 1)(37.376)—[|AB = eh/(2mj - магне тон Б ора], м ож но с учетом (37.36а) и (37.366) представить (37.34) в виде22 0 8 М агнитный и механический мом енты атом аJ (J + 1) + L( L+ 1) - S{S + 1)2- JJ( J + 1)+ 2J {JТаблица 3Число0123СостояниеSРDF1) H- S(S + 1) —L( L, 4* 1)2 y / j { j + 1)=Hb9jyjJ{J + 1),(37.38)гдеJ ( J + 1) + S(S + 1) - L( L+ 1)9j= 1 +2J ( J + 1)(37.39)называется множителем Ланде. Из(37.38) видно, что множитель Ландеявляется гиромагнитным отношением для полного магнитного и механического м оментов атома.Если полный спин атом а равеннулю и полный момент атом а определяется исключительно орбитальнымм оментом, то S = О, J = L и из (37.39)следует, что g} = gL = 1, как это идолжно быть для гиромагнитного отношения орбитального момента.
Если полный орбитальный момент атом а равен нулю и полный моментатом а определяется только спиновымм оментом, то L = 0, j = S и из (37.39)следует, что gs = gs = 2, как это идолжно быть для гиромагнитного отношения спина. В общем случае м ножитель Л анде является рациональнойдробью.Классификация состояний атом апроизводится по квантовому числуполного спина атом а S, по квантовому числу полного орбитального м о мента атом а L и по квантовому числуполного м омента атом а J. О рбитальный момент атом а обозначается буквами S, Р, D, F, ... ъ полной аналогиис одноэлектронными состояниями последующей схеме:Полный момент атом а указывается индексом внизу справа у символаорбитального состояния атома: Sj, Р3и т .д .
Например, символ S 1/2 означает, что у атом а Ь = О, J = 1/2, символз/2—что у атом а L = 2, J = 3/2 и т. д.Полный спин характеризуется обусловленной им мультиплетностью термов, которая равна 2S + 1. Число2S + 1 ставится слева вверху у символа орбитального состояния. Н апример, символ 2S 1/2 показывает, чтоу атом а L = О, J = V2, S = 1/ 2, символ^ э /2 - ч т о у атом а L = 2, J = 3/2, S == 1/2 и т. д. Такое написание состояний атом а является общепринятым.38. Квантово-механическое описаниеспина в магнитном полеОписывается метод работы с оператором спинаи волновыми функциями спинаУравнение Шредингера для спина вмагнитном поле.
М агнитный моментц5, находящийся в магнитном поле синдукцией В, обладает потенциальной энергиейЕп= - ц , - Й .(38.1)Если не учитывать движения носителя магнитного момента, то (38.1)представляет его полную энергию и,следовательно, оператор Г ам ильтонаимеет видt f = - | i s B,(38.2)гдеи 6 -о п ер а т о р ы магнитногом омента и индукции магнитного поля. Оператор спинового магнитного§ 38. К вантово-механическое описание спина в магнитном поле 221м оментасвязан с оператором спина s соотношением (34.6):l'P(0> = e + (0|Z , + > + e _ (0 lz , - >jis = (q/m)s, q = — е, т = т е, s = L s .илиТогдаЙ = — (д/т) B -s,(38.3)a + (ф(38.4)где принято во внимание, что порядок следования операторов В и s неимеет значения, поскольку они действуют на разные переменные и ком мутируют.
С учетом (38.4) уравнениеШредингера выглядит очень просто:( - t f / m ) B - s |4 '> = £ | ' F > .(38.5)П ринимая во внимание (36.5)-(36.7),напишемв S = B J X + Bysy + B J Z == h(BzВ х - iBy2 W + iB„—Br(38.6)Индукция магнитного поля, направленного по оси Z, равна В == (0,0, Bz), тогда [см. (38.5)]- ^ ( о , - ° В, ) | ','> = £ | 'р >-(38.9)(387)Из (38.7) видно, что собственные значения энергии равныЕх = - qHBz/(2m)\ Е2 = qhBz/(2m),а собственные функции совпадаю т с(36.2).Прецессия спина. Уравнение Шредингера с гамильтонианом (38.4), зависящее от времени, при В = (0, 0, Bz)имеет видйd1 оi dtчО - 1 ,(38.8)где цв = — qh/( 2m) = e h / (2т е).Решение этого уравнения ищем ввиде суперпозиции собственных функций (36.2) оператора спина с коэффициентами а + , а _ , зависящими от времени:(38.10)П одставляя (38.10) в (38.8), находимуравнения для а + (t) и а (/):Kda+(t)1Л Hda_(t)^ ^- т —j — = Е а + (г), - - ~г = - Еа_ (/),i dti dt(38.11)где Е = |% вг.
Решение уравнений(38.11):a +(t) = a+(0)е-да\ a_(t) = а_ (0)е‘'в д .(38.12)Следовательно,'а+( 0)e“ i£,/^|Ч'(0> =\а_ (0)ег£,/*|'Р(0>+ = <'Р(01 == (а% (0)ет/л, а * (0) е ‘1£,/л) .(38.13)Условие нормировки выражается равенством<(г) | ' Р ( О ) = I а + ( 0 ) | 2 + I о~ (0) |2 = 1.(38.14)Теперь необходимо найти средниезначения проекций спина на оси координат:< 0 = <Ч, (0141Ч, (0> == (Й/2) [| а+(0)|2 —| а_ (0) |2],< 0 = <Ч, (01^1Ч, (0> == (й/2) [а?.
(0) а_ (0) ехр (i2Et/R) ++ а + (0) а*- (0) ехр (—i2Et/Kj],(38.15)( s y) = ('¥(t)\sy\'¥(t)) == (й/2) i [а +(0) а* (0) ехр ( —i2Et/R) ——а* (0) а_ (0) ехр (i2Et/h)],где для sz, sx и s использованы выражения (36.5)-(36.8). И з (38.15) следует, что < jz> не зависит от времени,222 8. Магнитный и механический моменты атомаа ( s x } и ( sy) изменяю тся гармонически по времени. Н ачальная фаза колебаний учитывается комплексностью величин а + ( 0 ) и а . (0). П оэтому, не ограничивая общности, можносчитать а + (0) и а , (0) вещественнымии записать формулы (38.15) в виде< А > = (й/2 ) { а \ - а 2_ ) ,<£,) = a +a_Hcos(2Et/H),= a+a^fisin(2Et/K).(38.16)Проекция вектора спина на ось Zнеизменна по времени, а его проекцияна плоскость X Y вращается вокругоси Z с угловой скоростью lE/fi == eB Jm e и приводит к прецессии спина вокруг направления индукции Bzмагнитного поля, что совпадает с вы водами из классической теории движения магнитного момента в магнитном поле, если при этом учесть числовое значение гиромагнитного отношения для спина.39.
Магнитомеханические эффектыОписываются магнитомеханические эффекты идается их количественная характеристика.Физическая природа эффектов. Междумагнитным м оментом Hj и механическим м оментом L j атом а существует соотношение[<7/(2™J] L, = yLj,у = g3q/{bne) { q = -ё),(39.1)где q j- гиромагнитное отношение. Если ориентировка магнитного момента атом а в пространстве меняется,меняется и ориентировка механического момента атом а так, чтобы соотношение (39.1) соблю далось.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
