А.Н. Матвеев - Атомная физика (1121290), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Отсюдаhda +~= Ив^ой+ + nBB10cos(a)Ofl- ,i d/hda~, чD(40.16)= HBBiocos(“ ?)a+ - Ивв ой- •i atОбозначивco0 = 2\xBB0/h,cot == 2\iBB l0/h и переходя к новым невместо (40.16) получаемidb +/dt = (со,/2)cos(соЛехр(гсо0/)6_, (dn ,idb_/dt = (со//2)cos (со/) ехр ( —ico0t)£j.*В произведениях cos (со/) ехр (+ i(o0t)члены с ехр [ ± г(со + о>0)?] быстро осциллируют и вносят малый вклад вdb±/dt. И ми можно пренебречь посравнению с членами, в которые входят ехр [ + /(со — со0)?]- Поэтому сдостаточно хорош им приближениемуравнения (40.18) можно представитьв видеidb^/dt = ( c o ^ e x p f —г(со0 —сc!)t]b+(.'П осредством перехода в (40.19) куравнению второго порядка находимрешение этой системыЬ+ = А 1ехр (гм +1) + А 2ехр (7м t), т 20)= -(4/со1)[Л 1ю+ ехр(гсо+г) +^+ехр(йо_/)] ехр [/(со —со0) г],где А г и А 2-постоянны е интегрирования,(40.21)При начальных условиях 6 + (0 )= 1 ,6_ (0) = 0 из (40.20) находимА^ — со_/ (со_—со+), А 2 = —со+/(со_ —со+),(40.22)и, следовательно, вероятности & +{t) и^ _ ( t) ориентировки м омента атом а вположительном и отрицательном направлениях оси Z даю тся выражениями3? +(t) = b%b+ = cos2(Q.tj2) ++ (со0 - со)2 [(со0 - со)2 + со?/4]" 1sin2 (Qt/2),(40.23)»_{t) = Ъ* Ъ_ = (со|/4)[(со0 - со)2 ++ соi/4] “ 1sin2 (Пг/2),230 8.
Магнитный и механический моменты атомагдеп = оз+ - оз_ = [((П0 - со)2 + ооi/4]1/2(40 24)(2J + 1 = 2 ) с полным м оментомJ = 7 г • в общем случае при не равном НУЛЮ полном моменте атома имеется 2J + 1 уровней энергии. Резонанхарактеризует частотуизменений сы осуществляются при таких частоориентации м омента вдоль оси Z.тах осциллирующего поля, при котоПри В 10 « В0, <»! « со0 вероят- рых энергия квантов поля равна разностьв максимуме существенно ности энергий между различнымиотлична от нуля лишь при со -> со0 и энергетическими уровнями системы,достигает единицы при со = со0.
Вид- как это было пояснено выше в рамкахно, что энергия кванта поля при этом полуклассической картины взаимоАЕ = /гсо0 = 2цвВ0(40.25) действия магнитного м омента с м агнитным полем. М атематически задаравна разности энергий между со- ча в этом случае сводится к решениюстояниями двухуровневой системы системы 2J + 1 уравнений.Задачи8.1.М агнитный момент атом а, равный по модулю двум магнетонам Бора, направлен подуглом 30° к индукции магнитного поля, по модулю равной 3 Тл. Н айти энергиювзаимодействия магнитного момента с полем.Полное орбитальное квантовое число атом а L = 3.
Вычислить максимальную дополнительную энергию, которую приобретает атом в поле с индукцией 5 Тл.Определить максимальный и минимальный углы между орбитальными моментамиимпульса двух электронов, у которых /, = 2 и /2 = 3.Чему равны квантовые числа J полного момента импульса электрона и соответствующиемодули полного момента импульса?Чему равны множители Ланде для атом ов с одним валентным электроном, у которых L = 0,8.2.8.3.8.4.8.5.1, 2?8.6.8.7.8.8.8.9.8.10.8.11.8.12.8.13.8.14.Чему равен эффективный магнитный момент атом а, у которого L = 2, J = 3/ 2, S = ' / 2?В опыте Штерна - Герлаха узкий пучок атомов серебра, находящихся в нормальномсостоянии, проходит со скоростью v = 1000 м/с сильно неоднородное магнитное полепротяженностью о = 4 1 0 ~ 2 м и падает на пластину, расположенную на расстоянии 1 0 '1 мот места выхода пучка из магнитного поля. Расщепление при этом равно 1 мм. Определитьградиент магнитного поля.Найдите энергию и момент импульса электрона в атоме водорода в состояниях 3р и 4р.Определить орбитальный магнитный момент, создаваемый электроном, движущимся вплоскости, перпендикулярной индукции однородного магнитного поля 0,2 Тл, если кинетическая энергия электрона 15 кэВ.Найти макисмальную энергию орбитального магнитного момента электрона в состоянии4 р, находящегося в магнитном поле с индукцией 0,25 Тл.Чему равен орбитальный момент импульса протона (квантовое число /) с энергией 5 эВ,движущегося в плоскости, перпендикулярной индукции однородного магнитного поля6,3 мТл?Выразить проекцию спина на плоскость X Y через квантовые числа s и ms.Найти угол между спиновым и орбитальны м мом ентами электрона в З^-состоянии.Н айти разность энергий двух состояний 3 2Р 312 и 32/ >, /2 0 атоме водорода.О тветы8.1.
3 - 1 0 " эВ. 8.2. 0,87 - 10~4 эВ. 83. 160°; 45°. 8.4. 7/2; 5/2; « ^ 6 3 /2 ; й^/35/2. 8.5. g , ( L = 0) = 2;g , ( L - 1) = 2/3, 4/3; g , (L = 2) = 4/5; 6/5. 8.6. 2 ^ 1 5 цв/5. 8.7. 2 - 103 Тл/м. 8.8. 1,51 эВ;1,48-10Дж с; 0,85 эВ; 1,48-10“ 34 Дж-с. 8.9. 1,2 • 10~14 А -м 2. 8.10. 3,28-10~24 Дж.8.11. / * 1026. 8.12. K l s ( s + l ) - m s] ,/2. 8.13. 135°.
8.14. 2,23■ 10 6 эВ.941Ста“ Г с“ с, Г иГсобственных значений42Стационарная теория возмущенийв случае вырожденныхсобственных значений43Нестационарнаятеория возмущенийТ Е О Р ИЯ В О З М У Щ Е Н И ЙТочноерешениеуравнения Шредингера в большинстве случаев в аналитическом виденевозможно. Теория возмущенийявляетсяважнейшимметодомприближенного решения уравнения Шредингера.232 9.
Теория возмущений41. Стационарная теория возмущенийв случае невырожденныхсобственных значенийИ злагается метод получения приближенных собственных значений не зависящ его от времениоператора Гам ильтона и соответствующ их собственных функций в случае невырожденных собственных значений.Постановка задачи. Уравнение Шредингера является линейным дифференциальным уравнением, сложностьрешения которого зависит от видапотенциальной энергии и от числаизмерений пространства, в которомрешается задача. В большинстве случаев решение уравнения-слож ная м атематическая задача, которая не м ожет быть выполнена с помощ ью изученных в м атематике функций.
П оэтому часто приходится применятьприближенные методы решения задач, т. е. находить собственные значения и собственные функции не точно,а приближенно. Главнейшим из приближенных методов решения квантово-механических задач является теория возмущений.Оператор возмущения. Представимоператор Гам ильтона системы в видесуммы двух операторов:H = Hi0) + V,(41.1)причем точное решение задачи дляоператора Г амильтона Н(0) предполагается известным, т. е.
известны собственные функции и собственные значения уравнения:Я*0) T '0»= £<0) ЧИ,0).(41.2)Если бы оператор V в (41.1) был равеннулю, то решение задачи свелось бы куравнению (41.2). Однако в действительности оператор не равен нулюи необходимо решить уравнение(Я*°) + Р)«р = еч >.(41.3)Теория возмущений позволяетсделать это приближенно в предположении «малости» оператора V, который называется возмущением. М атематический критерий «малости» оператора V будет выяснен в дальнейшем.По смыслу задачи ясно, что этот оператор можно считать «малым» втом случае, когда собственные значения уравнения (41.3) мало отличаю тся от собственных значений уравнения(41.2) и собственные функции уравнения (41.3) во всех точках пространства мало отличаю тся от соответствующих собственных функций уравнения (41.2).
Таким образом,задача теории возмущений состоит втом , чтобы исходя из известных собственных значений и собственныхфункций уравнения (41.2) найти с определенной степенью точности собственные значения и собственные функции уравнения (41.3).В этом параграфе рассмотрен случай, когда собственные значенияуравнения (41.2) являю тся невырожденными и гамильтониан не зависитот времени.Вычисление поправок к собственным функциям и собственным значениям.
Будем искать ту собственнуюфункцию и собственное значение уравнения (41.3), которые при Р = 0 переходят в собственную функцию Ч'й*' исобственное значение £1^ невозмущенного уравнения (41.2). Обозначимэти искомые собственные функции исобственные значения Ч*т и Е т. Разложим искомую собственную функциюЧ/т по собственным функциям Т!,01невозмущенного уравнения (41.2):’*'B = I C F i 0)-(41-4)ПП одставляя это разложение в уравнение (41.3), находимX (Ет - Я<0>) CnTL0) = £ VC(41.5)пп§ 41. Стационарная теория возмущений 233Умнож ая обе части (41.5) наиинтегрируя по всему пространству сучетом ортонормированности собственных функций, получаемСк{Ет - £ Г ) = X КпСл,(41.6а)где(41.66)К„ = J Vi0>* ^ P ^ d x d jd z- матричные элементы оператора возмущения, вычисленные с помощ ьюневозмущенных функций.Представим искомые величины Ети С„ в виде разложений в рядЕт = Е w + Е ^ + Е ^ + ....(41.7)С„ = С<0) + С '1» + С '2» +(41.8)считая Е ^ и С!,1» величинами того жепорядка малости, что и матричныеэлементы возмущения; Е ^ ] и С (пр) считаю тся величинами р -го порядка м алости относительно матричных элементов возмущения.П одставляя разложения (41.7) и(41.8) в (41.6) и приравнивая междусобой величины одного и того жепорядка малости, получаемС Г ( ^ 0 ,- £ П = 0,Г4- ^Гк(1>^ к(0) F*1* -Гт(41.9а)— Г (1) пF к{0) —— lVa Vук п ^ п ’(41.96)/^ (0 ) р { 2) I /^(1 ) Ы 1) I /^(2 ) р { О)кk ■c 'm'■с ' т= ЦК„С[1\^ ( 2 ) с-(О) _*- к а к ~(41.9в)Э та система уравнений может бытьрешена м етодом последовательныхприближений.
Решение уравнения(41.9а):С ^ = Ъкт, Е ^ = Е ^ .(41.10)П одставляя (41.10) в (41.96), получаем« ьЛ ,1* + С ^ ( Е ^ - £«°>) = Vkm.(41.11)П ри к = т из (41.11) находим первуюпоправку к собственной энергии:E{" = Vmm,(41.12)а при к ф т -коэфф ициентыC ^ = VkJ { E ^ ~ E f \(41.13)Коэффициент CL1* этой формулой неопределяется. Он может быть найдениз условия нормировки, имеющего сточностью до величин первого порядка малости следующий вид:ЦП0’ + ^ f d x d y d z = 1 + СУ + С У ’ = 1,(41.14)т.
е.с у + с у ' = 0.(41.15)При выводе (41.14) принято во внимание, что если коэффициенты С„ вразложении (41.4) выразить в видерядов (41.8), то искомая функция00ш _ V \p(i)т Lu m’i=Огдеп- поправка i-го порядка малости кискомой волновой функции. М нимаячасть в коэффициенте определяет фазу волновой функции. Ф аза волновойфункции несущественна. Не ограничивая общности, эту мнимую частьможно считать равной нулю, а из(41.15) следуетСЙ* = 0.(41.16)С учетом (41.13) поправка к волновойфункции в первом приближении м о жет быть представлена в виде(41.17)птпгде штрих означает, что в этой суммечлен с п = т отсутствует. Очевидно,что требование «малости» возмущения имеет вид2 3 4 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
