А.Н. Матвеев - Атомная физика (1121290), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Спинявляется первоначальным свойствомэлектрона, и задача заключается не втом, чтобы объяснить, а в том, чтобыописать его.Поскольку спин является моментом импульса в классическом описании, он является вектором s, проекции которого на оси декартовой системы координат обозначаются, какобычно, sx, sy, sz. Векторный характерспина предопределяет его свойствапри классическом описании явлений.В частности, его можно складывать сдругими моментами импульса поправилу параллелограм м а и с орбитальны мимоментамиимпульса.Однако его принципиальное отличиеот орбитального м омента импульсаобусловливается тем, что орбитальный момент импульса как динамическая переменная выражается черездругие динамические переменные декартовы координаты и импульсы, вто время как динамическая переменная, названная спином, через другиеизвестные динамические переменныене выражается.Оператор орбитального моментаимпульса легко получается по общимправилам перехода от классическогоописания к квантовому посредствомзамены классических величин на соответствующие операторы, как этосделано в § 18.
Значение оператора14*позволяет найти его собственныефункции и собственные значения,коммутационные соотношения различного рода и описать все квантовыесвойства орбитального м омента им пульса.Оператор спина таким путемполучить нельзя, потому что он вклассической картине не может бытьвыражен через динамические переменные - декартовы координаты иимпульсы. Здесь полезно напомнить,что речь идет именно о выражении вдекартовых координатах. Переход кдругим координатам можно произвести лишь после записи операторадинамической переменной по этомуправилу в декартовых координатах(см. § 23). Поскольку спин не можетбыть представлен как функция координат и импульсов, оператор спинане может быть построен аналогичнооператору орбитального момента им пульса.
Однако ясно, что как оператор м омента импульса он долженудовлетворять коммутационным соотношениям (28.17) и (28.18). Дляобъяснения экспериментальных результатов необходимо считать собственные значения лю бой декартовойпроекции оператора спина равным/г/2 и — /г/2 [см. (33.3)]. Этих данныхдостаточно, чтобы реш ать квантовомеханические задачи со спином, неимея в явном виде выражения дляоператора спина и волновых функций. Однако для многих расчетовпредпочтительнее иметь явный видоператора спина.Оператор спина. Н а любое направление, в качестве которого можновыбрать положительное направлениеоси Z, проекция спина может бытьравной либо /г/2, либо — /г/2. О бозначим sz оператор, относящийся кпроекции спина на ось Z.
Собственный вектор этого оператора, при2 12 8 Магнитный и механический моменты атоманадлежащий собственному значениюЛ/2, обозначим | Z, + ), а собственному значению ( — /г/2) —| Z, — ). Вобозначении вектора спина (см. гл. 5)знак плюс показывает, что проекцияспина ориентирована в направленииположительных значений оси Z, азнак м и н у с -в противоположном.
Ясно, что уравнения на собственные значения оператора s имею т видS \ Z , + > = (й/2) | Z, + >,(36.1а)S | Z, — > = (—П/2)| Z, - >.(36.16)Перейдем к базисному представлению вектора спина, выбрав в качествебазисных векторов | Z, + ) и | Z, — ),которые ортонормированы. В этомпредставлении проекции вектора | Z,+ ) даю тся числами (1, 0), а вектора|— ) - числами (0, 1), которые принято писать в виде столбцов:Z ,Z, + > =Z.-> =(36.2)Операторы в базисном представлении вы раж аю т м атрицами, элементами которых являю тся матричныеэлементы оператора. В своем собственном представлении оператордиагонален. Учитывая, что сопряженные вектора | Z, + ) + и | Z, — ) + [см.(21.46)] выражаю тся в виде строк изкомплексно-сопряженных величин (36.2),запишем|Z , + > + = ( Z , + | = (1, 0), | Z , - > + == <z, - 1= (0, 1).<Z, — | | Z, + > = 0, < Z , - | 4 | Z , - > =Спин не имеет классического аналога и вклассической картине не мож ет бытьвыражен ч ер ез динам ические п ер ем ен ные декартовы координаты и импульсы.П оэтому оператор спина не мож ет бытьпостроен аналогично оператору о р б и тального м омента им пульса, но, будучиоператором момента им пульса, он д о л ж ен удовлетворять тем ж е ком мутационным соотнош ениям .Операторы проекций спина в его с о б ственном представлении даются матрицами (3 6 .5 )-(3 6 .7 ).- h/2.=(36.4)Таким образом, матрица оператора sz в его собственном представлении имеет видй/10 \2(0 - ■ >(36'5)Для получения в том же представлении выражения для операторовsy и sx необходимо воспользоватьсякоммутационнымисоотношениями(28.17) и (28.18), которые даю т уравнения для определения элементовм атриц sy и sx.
Не приводя м атематических выкладок, запишем их ввиде*• =1‘0.Н(0—iSy ~ 2 \ i0(36.6)(36.7)М атрицы (36.5)-(36.7) эрмитовы иудовлетворяю т требованиям квантовой механики. Векторный операторs**(36.3)У множая (36.1) слева скалярно на(36.3), получаем следующие выражения матричных элементов оператораsz в его собственном представлении:<Z, + \sz \Z, + > = И/2, <Z, + I 4 IZ - ) = 0,=(sx, 1 s;(36.8)является оператором спина. С учетом(36.5)-(36.7) получаем,*2 = £ - М у2 + .£ = (ЗЙ2/4 ) ( *(36.9)Из (36.9) следует, что собственноезначение оператора квадрата спинаравно ЗЛ2/4 = h2s(s + 1), где s == У2, что совпадает с (33.2) после§ 36.
Оператор спина электрона 213извлечения квадратного корня. Это = X2 — (h/2)2 cos2 0 — (Pi/2)2 sin2 0 = 0(36.13)выражение находится в полной аналогии с формулой (28.20а) для соб и поэтому собственные значения равныственных значений оператора квадра= й/2, Ъ2 = - й/2.(36.14)та орбитального момента импульса ииллюстрирует физическую природуЭ тот результат находится в полспина как м омента импульса, не ном соответствии с основным свойстимеющего классической интерпрета вом спина электрона иметь на любоеции.направление лиш ь два значения проБез дальнейших пояснений оче екции. Принадлежащие собственнымвидно, что полученные для опера значениям (36.14) ортонормировантора спина выражения справедливы ные собственные векторы обозначимне только для спина электрона, но и | п, + ) и | п, — ) .
В базисе векторовдля спина х/ 2 лю бой другой частицы. | Z, + ), | Z, — ) они могут быть предОператор проекции спина на произ ставлены в видевольное направление. Направление характеризуем единичным вектором п. |ч> + ) = a i lz > + ) + Pi lz > “ ) ’ (36 15)Ясно, что проекции этого вектора на Iп, — ) = а 2 1Z, + ) + (32 1Z, —) ,оси декартовой системы координат где постоянные а г, Pt (i = 1, 2) удовдаю тся ф ормуламилетворяю т условиям нормировкипх = п •i = sin 0 cos ф,| а | |2 + 1Р,|2 = 1 ( / = 1 , 2 ) .(36.16)(36.10)пу = п •ij, = sin 0 sin ф,П одставляя (36.15) в (36.12), находими = n i = cos0,где ф - полярный и аксиальныи углысферической системы координат с полярной осью Z.
Проекция спина нанаправление п равна5*п= п •S = nxsx + ид, + n j z =— sin 0 cos ф.?х + sin 0 sin ф $ + cos 0sz =H( cos 0 sin 0e 1<I(36.11)ZvsinOe"'’ —cos0где sx, sy, sz определены равенствами(36.6), (36.7) и (36.5). Собственныезначения X оператораи принадлежащие им собственные векторы| пД > находим из уравнения| пД ) = X | nД ).(36.12)Уравнение (21.56) для определениясобственных значений для оператора36.11) имеет вид(Л/2) cos 0 - X (П/2) sin ве- **(h/2) sin 0eiv—(/г/2) cos 0 — Xа! = cos (0/2) е - ^ 2,Р, = sin (0/2) е‘912,а 2 = — sin (0/2) е ' ^ 2, р2 = cos (0/2) е1^ 2.(36.17)Поэтому собственные векторы (36.15)имею т вид/c o s(0 /2 )e ~ " w2In, + > = 'sin(0/2)eiw2- sin (0/2) е ^ ' 2Iп, - > =cos (0/2) е'^2(36.18)(36.19)Непосредственной проверкой убеждаемся, что эти векторы ортонормированы:<п + Iп, + > = <п, - Iп, - > = 1,<п, - | п, + > = <п, + Iп, - > = 0.(36.20)Среднее значение проекции спина,находящегося в определенном состоянии.
Опыт Ш терна - Герлаха (см. § 15)позволяет определить, находится лиспин в состоянии | п, + ) или | п, — ) .2 1 4 8 Магн итный и механический моменты атомаН а выходе из аппарата, используемого в опыте, образую тся два пучкаатом ов, в одном из которых все атомы будут в спиновых состояниях| п, + ) , а в другом - 1п, — ) . Если производить измерение проекции спинана направление п у атом ов в состоянии | п, + ) , то всегда в результатеизмерения получается +Н/2.
При измерении проекции спина на направление п у атом ов, находящихся в состоянии | п, — ), всегда в результатеизмерения получается —И/2. Такаяситуация совместима с представлением о спине как о классическом векторе(моменте импульса), который в состоянии | п, + ) совпадает по направлению с п. Это представление ещесильнее подкрепляется расчетом средних значений проекции спина на осикоординат:<п, + | sx | п, + ) = (й/2) sin (0/2) cos (0/2) хх (е‘> + е''''’) = (Н/2) sin 0 cos <p,<n, + | | n, + ) = (H/2) sin (0/2) cos (0/2) xx (—ie'v + i e ” i(p) = (H/2) sin 0 sin <p,<n, + | sz ]n, + > = (h/2) [cos2 (0/2) —sin2 (0/2)] = (/г/2) cos 0.(36.21)О тсю да с учетом (36.10) следует равенствоо , + |.?|п,+ > = (й/2)п,(36.22)которое совместимо с представлением о спине как о классическом векторе, совпадающем в состоянии | п, + )по направлению с п и по модулюравном Л/2.
Н о такое представлениео спине неправильно. Оно было быоправданным, если бы при каждомизмерении проекции спина в состоянии | п, + ) на оси X , Y, Z получилисьзначения (36.21). В действительностив результате каждого измерения проекции спина на любую из этих осейравны либо + h/2, либо —h/2, однакос различной вероятностью. Это означает, что спин нельзя представить ввиде классического вектора, но егообраз в виде классического вектораполезен при вычислении средних значений проекций и интерпретации результатов.Все изложенное справедливо также в приложении к спину в состоянии| п, — ) с учетом равенства<п, — | s Iп, - > = - ( Й /2 ) п.(36.23)Вероятность проекции спина на заданное направление.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
