А.Н. Матвеев - Атомная физика (1121290), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Представив в интеграле, входящем в (30.36), один изполиномов Л агерра в виде(30.31)dp'■(е_рр2' +1+‘ ),(30.37)Решения уравнения (30.31) назы ваю тся полиномами Л агерра 0 ( р ) . Из(30.30) с учетом (30.27) следует, чтоа д р у г о й -в виде рядаQl2,+1> =к ( 2 1 + 1 + к)= ( - 1Ге ? ’(Р) = е '-р -« — (е - 'р « + *) =dp= ( - l ) s[pss{q + ■>)р1-1 +1!1!р * '1 +-](30.38)и вычисляя интеграл по частям, получаем§ 30. С тационарны е состояния атом а во дорода и спектр излучения 181гпл' =] e -'’p2<,+i>e«2,+i>e<2,+i>dp =0со= J е “ "р2, + 1+‘ [(/с + 1)! р —о— к (2/ + 1 + k ) k ! ] d k == (2/+ 2 + к ) 1 ( к + 1)! - k(2l + 1 + к ) к \ { 2 1 + 1 + к) \ == (2 /+ /с + 1) Ас! 2 (/ + к + 1).П оэтомуN Hl = 2A3l* [ ( n - l - 1)\(п + 1 ) \ п У 112,причемА = 2тЕ„/П2 = Z/(a0n)2 ,а0 = 4я Е0Н/(те2)- радиус первой боровской орбиты ватоме водорода.Окончательно волновые функцииводородоподобногоатом амогутбыть записаны в виде= а д у т с е .ф ) ,(30.39а)где12 1+ 1 ( / - ж ) ! ,17(6.9) = JVл4я,[, е(/ + т ) !Р? (cos 9)^== ( - — Г * / ----------- -------------е ' р/2 р‘б |2,^_"(р),\ л я 0/V (л — / — 1)!(л + 1)!(30.396)р = 2 Zr/(na0),а0 = 4пг0И2/(те2)(п= 1 , 2 , 3 , .
. . ; / = 0, 1, 2, ... , и - 1;m = - / , - / + 1 , 1 , /).(30.39в)Уровни энергии £„ вырождены. У ровню с номером и принадлежит числосостояний1= n—1 т = 1II= ОI1 = и 2.ф0(30.41)при любых соотношениях между п ип'. Это означает, чтоправило отбора для главного квантового числа имеет видАй-любое число.(30.42)(30.40)т = —IПравило отбора для л. Нетруднозаметить, чтоРаспределение плотности в электронном облаке. В сферических координатах местоположение электрона ватоме характеризуется величинами г,0, ф. В квантовой механике нельзяговорить о траектории движенияэлектрона, а смысл имеет лиш ь вероятность местонахождения электрона в той или иной области пространства.
Для наглядности можно говорить об электронном облаке как ораспределенном в пространстве вокруг ядра. П лотность распределенияэлектронного облака в каждой точкепропорционально плотности вероятности для электрона находиться вэтой точке.Физический смысл распределенияплотности в электронном облаке заключается в следующем. Если имеется очень большое число совершенноодинаковых атом ов и если в каждомиз этих атом ов произведено измерение местоположения электрона, точисло случаев, когда электрон окажется в том или ином элементеобъема, пропорционально вероятности нахождения электрона в этом элементе объема.
Таким путем можно впринципе проверить предсказаниятеории и получить физическую интерпретацию распределения плотности вэлектронном облаке.П лотность вероятности местоположения частицы дается квадратоммодуля волновой функции. В рассматриваемом случае волновая функция имеет вид (30.35). Элементобъема в сферических координатах1 92 7. Атом водорода и в о д о р о д о п о д о б н ы е атомы£>» = R W .Распределение плотности электронного облакадля круговых орбитРаспределение плотности электронного облакадля эллиптических орбит(30.44)Рассмотрим наиболее существенные особенности этого распределения.При к = 0, / = п — 1 орбиты являются круговыми. Ч тобы в этом убедиться, заметим, что модуль моментаимпульсаравен|L| = |г х р| == mvr sin (г, v).
При фиксированноммодуле скорости v, или, что то жесамое, при фиксированной энергии,момент импульса имеет м аксимальное значение, когда sin (г, v) = 1, чтоосуществляется при круговой орбите.М аксимальное значение момента импульса при и = const в квантовой теории достигается при / = и — 1 (прификсированном и). Следовательно,состояния с / = и — 1 соответствуютдвижениям по круговым орбитамклассической теории.
Для этих состояний<2b2,+ 1) = 1 = const,R nl == c o n ste - '''5 р"~ 1 иD(r) = const е~рр2п.(30.45)Вид функции D (г) представлен нарис. 63. Из условияравен dx d^ dz = г2 sin 0 d0 d(p dz. Следовательно, вероятность того, что координатыэлектроназаключенымежду (г, г + dr), (0,0 + d0) и (ф, ф ++ dф), равна(г, 0,(г, 0, ф) г2 sin 0 d0 d<p dr.(30.43)Прежде всего исследуем распределение электронной плотности в радиальном направлении.
Для этоговоспользуемся для Ч* ее выражениемпо (30.39) и произведем усреднение поуглам 0 и ф. В результате останетсялиш ь зависимость от г, описываемаяфункцией R nl. Ф ормула (30.43) показывает, что распределение плотностив радиальном направлении характеризуется функцией8D/8p = 0находим радиус, при котором достигается максимум плотностиr„ = n2aJZ,(30.46)совпадающий с боровским радиусомсоответствующей орбиты.При к Ф 0 орбиты эллиптические.П олином Л агерра к- й степени имеет ккорней.
Поэтому функция D(r) к разобращ ается в нуль (рис. 64).Схема уровней энергии водородного атома и спектр излучения. П оскольку формулы (30.24а) и (14.19) неотличаются, схема уровней атом а водорода, полученная по формуле(30.24а), совпадает со схемой уровнейпо теории Бора (см. § 14). Частоты§ 31. Учет конечности массы ядра 193излучения и различные серии спектраатом а водорода описываются формулами, полученными в теории Бора.Поэтому повторять их нет необходимости, и мы лиш ь отметим различие в интерпретации формул. ТеорияБора не м огла объяснить, почему значение и = 0 в формуле (14.19) должнобыть отброшено.
В формуле же(30.24а) значение п = 0 исключается,поскольку и = / + ( с + 1, а / и к могутпринимать только нулевые или положительные значения. Второе различиезаключается в интерпретации характера движения и квантовых переходов. В теории Бора считается, чтоэлектрон движется по орбите вокругядра по законам классической механики. Отличие от классической электродинамики состояло в том, чтоэлектрон не излучает при ускоренномдвижении. Вне классической механикиоставался также вопрос о выбореорбиты (правило квантования Бора).Излучение в теории Бора объяснялосьзаконом сохранения энергии при переходе электрона с одной орбиты надругую.В квантовой механике интерпретация движения электрона другая.Прежде всего нельзя говорить о движении электрона по какой-то траектории, т.
е. нельзя представить координаты электрона как функции времени.Это связано с общими особенностямивероятностного описания движениямикрочастиц в квантовой механике.П оэтому вместо представления о движении электрона по определеннойорбите употребляется представлениео состоянии движения электрона,описываемого той или иной волновойфункцией, т.
е. говорят, что электроннаходится в том или ином состоянии.Состояние движения электрона невсегда имеет даже какой-то приближенный классический аналог. Напри132 19мер, при / = 0 орбитальный моментимпульса электрона равен нулю. Вклассической интерпретации это соответствуетдвижениюэлектронавдоль радиуса, т. е. электрон присвоем движении должен пересекатьобласть, занятую ядром. Такое движение в классической механике невозможно.
В квантовой же механике состояние с нулевым орбитальным м оментом импульса существует - это^-состояние электрона. Распределениеэлектронного облака в этом состоянии сферически-симметрично. Отсутствие орбитального момента им пульса электрона, находящегося в^-состоянии, надежно подтвержденоэкспериментами.Переход электрона с одной орбиты на другую в теории Бора связан спредставлением о пространственномперемещении электрона, переход жеэлектрона из одного состояния в другое в квантовой механике не связан спространственным движением электрона.31.
Учет конечности массы ядраВычисляется сдвиг энергетических уровней,обусловленный конечностью массы ядра.Гамильтониан с учетом конечностимассы ядра. Поскольку масса ядрамного больше массы электрона, мыпренебрегли движением ядра, т. е.считали массу ядра бесконечной. Фактически же масса ядра конечна, ипоэтому электрон и ядро движутсявокруг общего центра масс. Это движение ядра оказывает некоторое, хотя и небольшое, влияние на спектр.Обозначим: г: - радиус-вектор электрона, а г2 - радиус-вектор ядра. Импульсы и массы электрона и ядра пустьбудут соответственно р, и т, р2 и М.Очевидно,полныйгамильтониансистемы ядро - электрон имеет вид1 9 4 7 Атом водорода и в о до р о до п о до б н ы е атомы1,1,Z е24яе0 гZe 2Н = — р\ + ---- р \ -------------2т2М4 я е 0|г,(31.1)В уравнении Ш редингераЕЧ> = Я 'Р(31.2)перейдем от векторов гх и г2 к другимпеременным по ф ормулам(31.3)Г„ = ((ПГ, + М г2)/(т + М),(31.4)г = гх - г2.Вектор гц- радиус-вектор, проведенный к центру масс системы я д р о электрон, а г - радиус-вектор от ядрак электрону.
И з (31.3) и (31.4) следует,чтод5т8дх 1 дх т + М дха'ддМд(31.5)дх2дх т + М дхиТогда1 52у¥12+т дх\т дх2 т + М dxdxtтд2у¥+(т + М)2 дх2'1 52vP1 62<РМ д х\ М д х гМд2у¥+ (т + М)2 И х 2 'д2Ч>т + М дхдх„где,д2д2д2V2 = ---- + ----- + — ,д х 2 ду2 dz2,д2д2д2V2 = — + — н------.“ д х 2 д у2 dz2Тогда [см. (31.2)]^ ( г , г ц) = ( - - ЙV 2, - —К2- V„22 2 М„Z е24п е 0 г.(31.8)1 11_ _ — |---- М = т + М.ц т МСдвиг энергетическихП олагаяvI/ = e,ir«4, (г),уровней.(31.9)где функция ехр (zk •гц) описываетравномерное движение центра масссистемы, получаем для функции У (г)уравнение2 li/Z е2¥ = О,Е -Е +V2 ¥ +4я е 0 г.И2 V(31.10)+гдеЕп = h ^ k 2/(2 Мц)(3L6)Ф ормулы для у и z аналогичны (31.6).Поэтому гамильтониан (31.1) в новыхпеременных имеет вид1h11Н = ----т+ М2т М*4:(31.7)И зотопический сдвиг уровней энергиисвидетельствует о том, что м ассу электрона в атоме нельзя считать разм азан ной поэлектронном у облаку.(31.10а)-кинетическая энергия равномерногодвижения системы как целого,ц = т М /(т + М)(31.11)-приведенная масса системы электр о н -я д р о .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
