А.Н. Матвеев - Атомная физика (1121290), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Приравнивая нулюсумму коэффициентов при одинаковых степенях, получаем следующиерекуррентные соотношения для определения коэффициентов ак:ак + 2(к + 2)(к + 1) - 2как + ( Х - 1 ) а к = 0.(27.5)Для определения асимптотического поведения 'Р на бесконечности заметим, что при Ъ? » X в уравнении(27.4) можно пренебречь X по сравнению с Е,2 и записать его в видеЧЬ - ^ а с ~ 0.Отсюда следует, что4>ас* е ± « 2/2.Решение со знаком плюс в экспонентенадо отбросить, поскольку оно неудовлетворяет требованию конечности. Волновую функцию 4х будемискать в видеЧ» = гч»ас = ve~(2/2.(21.6)Чтобы функция У оставалась конеч(27.9)Отсюдаак + 2 = ак(2к - Х + \)/[(к + 2)(к + 1)].(27.10)При к - * со получаемак +г!ак ~ 2/к.Э то означает, что представляемаябесконечным рядом (27.8) функциярастет как ехр(Е,2).
Ч тобы в этомубедиться, рассмотрим разложениеехр (Е,2) в ряд:е«2 = 1 + 12 + £7 2 ! + 16/У. + ... + 1к/(к/2)! ++Ък+ 2 / ( к / 2 + 1)! + . . . = 1 +\ 2+... ++ Ьк +А к +2 + - М ы имеемbk +2/bk = (k/2)!/(k/2+l)!X k/2,’Ь£ к+§ 27. Линейный гармонический осц иллятор 1 6 9что и доказывает высказанное вышеутверждение. Ряд (27.8) должен обрываться. Оборвем ряд на члене с номером п, т. е. будем считать, что а„ ф О,ап +2 = 0. Из (27.10) находимX = Х„ = 2п + 1,(27.11)тогда энергия осциллятораЕ„ = Па{п + 1/2) (я = 0, 1, 2, ...).(27.12)Нулевая энергия.
При п = 0 изформулы (27.12) получается, что м инимальная энергия осциллятора равнаЕ0 = 1/2 /ко.То, что минимальная энергия осциллятора не равна нулю, обусловлено специфическими квантовыми свойствами системы и связано с соотношением неопределенности. Если быэнергия частицы была равна нулю, точастица покоилась бы и ее импульс икоордината имели бы одновременноопределенные значения, что противоречит требованиям соотношения неопределенности.То, что минимальная энергия осциллятора не равна нулю, можно доказать экспериментально.
Для этогонадо исследовать изменение рассеяния света кристаллами при изменениитемпературы.Рассеяние света обусловливаетсяколебаниями атомов. С уменьшениемтемпературы амплитуда колебанийатом ов уменьшается, стремясь, согласно классической механике, к нулю, в результате чего должно исчезнуть рассеяние света.
В квантовоймеханике при понижении температуры средняя амплитуда колебанийдолжна стремиться не к нулю, а кнекоторому пределу, обусловленномуналичием нулевой энергии колебаний.Поэтому и рассеяние света при понижении температуры должно стремиться к некоторому пределу. Именно такой ход интенсивности рассеяния наблюдается в экспериментах.Волновые функции. Из рекуррентных соотношений (27.10) следует, чточетность полинома (27.8) совпадает счетностью числа п. Поэтому полиномимеет видv„(x) = а„1” + а„ _ £ п " 2 + ... +Г «„ (» четное),(27лз)IfljC, (п нечетное).Положим ап = 2" и определим остальные коэффициенты по рекуррентнымформулам (27.10), в которых X = 2п + 1.Для коэффициентов ак имеемак( Х — 1 — 2/с) = ак(2п — 2/с) == ~а к + г ( к + 2 ) { к + 1),илиа.
-2 = ~ а Л п - 1)/(2-2) = - 2-я(л - 1)/1!,а„_4 = - а „ _ 2(п - 2)(п - 3)/(2-4) == 2" Ап (п — 1) (и —2) (п — 3)/2! и т. д.Полином (27.13), в котором а„ = 2", аX = 2п + 1, называется полиномомЭрмита и обозначается //„(£):Н„й) = (2^)" —(2^)п-2л(л — 1)/1! ++ (2£)"-4л(л - 1)(л - 2)(п - 3)/2! - ... .(27.14)Легко убедиться непосредственнымдифференцированием, что полиномЭ рм ита (27.14) можно представить ввидеНп(Ц = ( - I)V 2d"e~?2/d^n.(27.15)Таким образом, волновая функция'Р,,, принадлежащая собственномузначению Еп [см. (27.12)], выражаетсяформулойВ Д = Спе~(2/2Н„(^), £, = Х у/^иф .(27.16)Нормировочные коэффициентынаходятся из условияооJ— со___________'¥2ndx = C2JH/(mw)nС„ооJ e-«2f l j f t ) d ^ = l .— оо1 7 0 6 П ростейш ие случаи движ ения м икрочастицТак как #„(£) = ( — 1)"е^2 d"e_42/d£,", тоинтеграл в правой части выраженияможно представить в более удобнойформе:] е-«2В Д d$ =00= (-1)" f Я .ft)d"e-«2/ d ^ d ^ =—00= (тсо/й )1/2С “ 2.—ооУчитывая, чтооо_d”HJdl? = 2"nl, J e _42d^ = v/n,— ССдля нормировочного множителя получаем выражениеС„ = (та/К)1/4(2V ^тс)~1/2.(27.17)Четность собственных функций.Уравнение Шредингера в одном измерении имеет видd2T (х)/ск2 + (2т/П2)\_Е-Ев(х)]'¥(х) = 0.Пусть потенциальная энергия естьчетная функцияЕп(х) = Еп( - х ) .Заменяя в уравнении Шредингера х на—х, получаемd2T ( —x)/dx2 + (2m/h2) хх [ £ - £ п(* )]У (-х ) = 0,т.
е. функции 4х(х) и 4х( —х) удовлетворяю т одному и тому же волновомууравнению и принадлежат одному итому же уровню энергии. Если уровень энергии невырожден,то функции'Р (1 ) и Ч '( - х ) могут отличаться лишьпостоянным множителем А : 4х(х) == Лх¥ ( —х). Заменяя в последнем выражении х н а —х, имеем 4х( —х) == АЧ1(х) или 4х(х) = А 2х¥ ( х ). Отсюдаследует, что А 2 = 1, А = ± 1.
Итак,если потенциал есть четная функциякоординаты, то все собственные функции либо четные, либо нечетные.При наличии вырождения собственные функции уравнения Шредингера не обязательно обладаю т определенной четностью. Однако всегдаможно найти такие линейные комбинации собственных функций, которые будут обладать определеннойчетностью.У гармонического осциллятораволновые функции ^ „ (х ) (27.16) являю тся четными при четном п и нечетными при нечетном и.Теория излучения. В § 11 излучениечерного тела было рассмотрено полуклассическим способом. При этомоказалось невозможным в рамкахквантового расчета определить коэффициенты Эйнштейна для вероятностей квантовых переходов.
Лишь воспользовавшись принципом соответствия, т. е. путем замены классическихвеличин квантово-механическими, удалось найти коэффициенты Эйнштейна.В классической теории энергия излучения, отнесенная к единице времени, задается формулойл А1' = [< 7 2 / ( 603 ) ] (г)2,(27.18)гсесгде г-ускорение излучающего заряда.В квантовой теории средняя энергия излучения может быть представлена в видеdE„/dt = N nn. A nnfiiв,(27.19)где множитель N nn, учитывает статистические свойства электронов, аА пп> отнесенная к единице временивероятность квантового перехода изсостояния п в состояние п \ при котором излучается квант с энергиейh со.Необходимо пояснить смысл множителя N nn,. Очень важную роль ванализе явлений микромира имеетпринцип Паули (см. § 54). В применении к электронам он гласит, что в§ 27.
Линейный гарм онический о сц иллятор 171одном и том же квантовом состояниине может находиться более одногоэлектрона. Иначе говоря, не можетбыть двух электронов, имеющих одинаковые наборы квантовых чисел. И злучение,описываемоеформулой(27.19), происходит в результате перехода из квантового состояния п вквантовое состояние п.'. Если в состоянии п' уже имеется электрон, то такой переход невозможен и множительN„„, равен нулю.
Э тот множитель равен также нулю и в том случае, когдасостояние п свободно, т. е. отсутствует электрон, который мог бы совершить переход. Если же состояние пзанято, а состояние п' свободно, томножитель N nn. равен единице.Рассмотрим переходы между двумя стационарными состояниями Ч>„ иУ,,, с энергиями Еп и Еп,. Волноваяфункция системы является суперпозицией этих состояний:у =+ С„. е " ‘Е"',/й У„..Чтобы воспользоваться принципом соответствия, необходимо в формуле (27.18) произвести усреднениекак по координатам, так и по времении полученный результат приравнятьвыражению (27.19).
П роизводя усреднение радиуса-вектора г по координа-Нс* М инимальная энергия линейного осц и л лятора не равна нулю, что находится всогласии с требованиями соотнош ениянеопределенности.В области больш их квантовых чисел движ ен ие квантово-механической системы схорош ей точностью мож ет описыватьсяф ор м ул ам и классической механики.Вероятности п ереходов квантовой си стемы, в результате которых происходит и з лучение, характеризуются матричнымиэлем ентам и радиуса-вектора.*Определите понятие четности собственныхфункций.Запишите правила отбора для осциллятора.там, получаем<г> = JУ d x d j d z = IС„|2 + Iс„.I2 ++ С* С..
г„„. е“" + С* С„ г„.„ е~ш , (27.20)гдеrn„' =r 4V d x d y d z ,ю = (Е„ - Е„.)/К.Из (27.20) следует, чтоd2<r>/d?2 = -со2(С„* С, г„„. е“°‘ ++ С* С„г„,„),(27.21)так как первые два члена не зависятот времени и при дифференцированииисчезают.Возведем (27.21) в квадрат и полученное равенство усредним по времени, в результате чего члены, содержащие экспоненциальные временныемножители, обратятся в нуль и получится равенство< Id2 <r>/dr212 >, = 2 со4 1С„ |2 | C„.
|2 |r„„. |2(27.22)(угловые скобки < ), обозначаю т усреднение по времени). Подставим(27.22) в (27.18). Полученный результат на основании принципа соответствия следует приравнять выражению(27.19):N m- Апп' f i (0 = lq2 со4/(3 ЯБ0 с3)] I С„ |2 Xх |С „ ,|2 |г„„.|2.(27.23)В случае стационарных состоянийвеличина \С п\2 есть вероятность нахождения электрона на уровне п.
Приизлучении же происходит скачкообразный переход электрона из состояния п в состояние п', благодаря чемукоэффициенты Сп и Сп. изменяютсяскачком. Вычислить, чему при этомравнопроизведение\С п\2 | Сп. |2,обычная квантовая механика не позволяет. Ч тобы получить формулу,согласующуюся с экспериментом, необходимо положитьNm. = \Cn\2 \C„.\2.172 6 П ростейш ие случаи движ ения м икрочастицСледует еще раз отметить, чтообосновать справедливость этогоравенства квантовая механика не всостоянии. Для коэффициента А пп,получается выражениеА - п п ' = 1 я 2 ®3/(3 Я е 0 С3 й ) ] I r„„. I2 .(27.24)= W(m со)] С„ Сп, [п f е {2 Я„_1 х—00ООх Н п.+ (1/2) f е ' ?2 Н п+1 Н п.
d£] =—СО= [_h/(mсо)] С„ С„' х _Отсюда по ф ормулам (11.31) и (11.35)имеемх [п 2 " '1(п - 1)!^ /^ S n - 1 .»- +в пп‘ = Вп п = я 2 с3 А п„./(Н со3) = [я 2 q2/(З яе 0 Я2)] |г„„.|2.(27.25)Таким образом, вероятности переходов квантовой системы, в результате которых происходит излучение,характеризуются матричными элементами радиуса-вектора.Если матричный элемент радиуса-вектора равен нулю, то данныйпереход запрещен. Переходы, прикоторых матричный элемент радиуса-вектора отличен от нуля, называются разрешенными.
Правила, указывающие разрешенные и запрещенныепереходы, называю тся правилами отбора.Правила отбора для осциллятора.Для нахождения правил отбора дляосциллятора необходимо вычислитьматричные элементы:00Хт = J 4'*M x4'„.(x)dx,(27.26)—оогде функции Ч'Дх) задаю тся формулой (27.16).
П одставляя в (27.26) Ч** иЧ/п, и переходя к переменной интегрирования £, [см. (27.3)], получаем= Ш т со)] хX фф, j е~’—00П ринимая во внимание рекуррентное соотношение£ Нп © = П Н„-! + 1/ 2 Hn+i,находим+ 2"(л + 1)! у / к 8„+1 „.].Учитывая (27.17), имеемх„п, = [fi/(w со)] [ у / п / 2 5„_1>л. ++ >/(« + 1)/2 S.+1>|1.].(27.27)Из этого выражения следует, чтоматричный элемент отличен от нулялиш ь для переходов, при которыхквантовое число п изменяется наединицу.Это означает, что правило отборадля осциллятора имеет видАй = +1.(27.28)Интенсивность излучения. Вероятность перехода характеризуетсякоэффициентом Эйнштейна:А * = [<72 <°3/(3 * е0 с3 Щ ||2.(27.29)П оэтому интенсивность спектральнойлинии, излучаемой при рассм атриваемом переходе,^п, п — 1^и, п -1= \я г ®4/(3 ПЕ0 с3)] ||2 •(27.30)Воспользовавшись выражением дляматричного элемента х п[см.(27.27)], формулу (27.30) представимв видеh,n~i = [.Ч1 а>2/(6ке0 т с3)] П ап.Выразив квантовое число п черезэнергию по формуле (27.12), окончательно получимl n,n- 1 = 1я2 ю2/(6 п е0 т с3)] (Еп - Е0).(27.31)По классической теории, интенсив-§ 28 Д виж ение в поле центральной силы, Ротатор 173ность излучения осциллятора4л = \я2/(6 я е 0 с3)]<(х)2> =d 2 *P 2 т ГТ,d ri2 + Ж С= 1Я2 ю4/ ( 1 2 л ;е 0 с 3)] А 2 ,— m w 2 ri2/2] ¥ = 0.где Л -а м п л и т у д а колебаний осциллятора, которая связана с энергией Еосциллятора соотношениемЭто уравнение совпадает с уравнением для осциллятора в отсутствиеэлектрического поля, но с измененным на q2 ё 2/(2 т со2) выражениемсобственной энергии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
