А.Н. Матвеев - Атомная физика (1121290), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Он унитарен, посколькупредставляет собойпроизведениеунитарных операторов. Следовательно, и при явной зависимости гамильтониана Я от времени изменениевектора состояния |'Р(*)> во времениявляется «вращением» в гильбертовом пространстве. В общем случаепропагатор U(t2, t 1), описывающийпереход от вектора состЪяния l ^ ^ ) )к вектору состояния | ХР(?2))> имеетвид [см.
( 2 4 .1 3 ) ]U(t2,t l)= f { e x p [ - ( P ) f # ( /') d r |} . (24.14)<iНетрудно доказать, что он удовлетворяет следующим условиям:u ( t2,t2) u (t 2,t 1) = 0 ( t i ,t l),(24.15)£/(?2,fi) = tf _1(r2,f ib - £?(?!, t2).§ 24. Различные представления квантовой динамики 155Картина динамики Гейзенберга. В оператором Я т в состоянии 14,ш(0 Xкартине Ш редингера динамика систе дается формулоймы представляется вращением векто <Л(0) = <‘1'Ш(0 |Л Ш| ‘РШ(0 ) =ра состояния в гильбертовом про(24.17)странстве, базис пространства непод = < ¥ ш(О)|0 + (/)4 и0(/)|Ч 'ш(О)Хвижен и операторы динамических пе где использована формула (24.8).
Заременных не зависят от времени в висящий от времени операторэтом базисе. М ожно по своему усмот Л (0 = 0 +(1)Аши(1)(24.18)рению привести базис во вращ ательявляетсяоператоромдинамическойное движение. В результате вращениевектора состояния относительно ба переменной А в картине Гейзенберга.зиса изменится, а операторы станут Не зависящий от времени вектор созависимыми от времени. Динамика стояния ^ ( О ) ) может рассматрисистемы при этом распределится со ваться как вектор состояния в картиответствующ им образом между дина не Гейзенбергамикой операторов и динамикой век |Ч'г> = |Ч'ш(0)>.(24.19)тора состояния.
Такое распределениединамики можно произвести бесчис Само собой разумеется, вместо | Ч*(0))ленными способами, выбирая различ в качестве не зависящего от времениные «вращения» базиса. Один из вектора состояния в картине Гейзенкрайних случаев, когда вся динамика берга можно взять вектор |Ч 'ш(г0)),переносится на вектор состояния, на но использовать при этом для вычисзывается картиной Шредингера. Дру ления A r(t) в (24.18) пропагаторгой крайний случай, когда вся дина (24.14).Уравнение движения для оператомика переносится на операторы, называется картиной Гейзенберга.
В ров A r(t) в картине Гейзенберга покартине Iейзенберга вектор состоя лучается непосредственно дифференния постоянен. Промежуточные слу цированием (24.18) по времени:чаи называю тся промежуточными ihdAr/dt = А ГНГ - НГАГ = [ЛГ.ЯГ] . (24.20)картинами динамики. Все эти картиныдинамики совершенно эквивалентны. Это уравнение является уравнениемИз промежуточных картин наиболее движения в картине Гейзенберга. Оноважной является представление взаи эквивалентно уравнению Шредингемодействия, используемое в неста ра, но в нерелятивистской квантовойционарной теории возмущений (см.
механике применяется реже. Однако в§ 48). Обозначая операторы и векто релятивистской квантовой теории поры в картине Ш редингера индексами ля более предпочтительна во многихШ, а в картине Гейзенберга - индек случаях картина динамики Гейзенсами Г, запишем уравнение Ш редин берга.Картина взаимодействия. Рассмотгера в видерим наиболее важный случай промежуточной картины, когда операторг т " I У~I^шМ X(24.16) Г ам ильтона Н ш состоит из^ не завиI а/сящей от времени части //{ц* и зависящей от времени части ЯЙЧ0:Среднее значение динамической пере+ Ш\г).(24.21)менной, представляемой в картине Я ш(0 =Шредингера независимым от времени Уравнение Ш редингера для вектора1 5 6 5.
Основные понятия теории представленийсостояния |Ч,Ш(;)) имеет видИdi dfч 'ш (0 > = М+ Л Ц , (0 ] |Ч 'ш ( 0 >-(24.25) по времени:Гг d_ Tdf *=(24.22)Перейдем к промежуточной картине, в которой вращение базиса генерируется оператором t?(n40> Удовлетворяю щ им уравнению____ Г/(0) _ £КО) TJ(0). , и ш —п ш и шI at■(24.23)Если бы в (22.21) было Я*щ(?) = 0, то спомощ ью оператораможно былобы полностью снять вращение с вектора состояния и перейти к картинеГейзенберга. Однако при H \ ^ ( t ) ^ 0оператор L/jS* снимает с вектора состояния l'F (f)) лишь часть вращения.О стальная часть вращения генерируется гамильтонианом //{ц (*)• Очевидно, что|У Ш« > =(24.24)где I'Pg(г))-в е к т о р состояния во вращающемся базисе.
О тметим, что в(24.24) все величины относятся к м оменту времени t, а м омент времени t0характеризует начало отсчета времени, поскольку Uffl{t,t0) = Т. Индекс«в» указывает, что этот вектор характеризует состояние в картиневзаимодействия. Из (22.24) следует,что1‘Рв(0) = ^ ,+ ( и о) |Т ш(0>(24.25)и поэтому1‘Рв(^о)) = 1‘Рш(/о)Хт. е. при t = t0 кет-вектор состояния вкартине взаимодействия совпадает скет-вектором в картине Шредингера.Это означает, что в этот моментосуществляется переход во вращ аю щийся базис.Уравнение для |Ч,В(;)) можетбыть найдено дифференцированиемIatiat= - 0 Й ,+ ДЙ}, |Ч 'ш ( О > ++ &12,+ (я й , + я й ,) | т ш(о> == 0 й )+Д й, |Ч'ш> == (?й>+/ д а М ,+ |ЧМг)> == {У[Й, +ЯЙ)£/Й) !% ,«)•П ринимая во внимание, что(24.26)ЯУ’« = Э Д Г /д а Й ’(24.27)-гам и л ьтон и ан Яй* во вращающемсябазисе, окончательно запишем уравнение (24.26) в виде- - - Н ^ в (0> = д а о т Ю ) i at(24.28)Следовательно, эволюция векторасостояния в картине взаимодействияопределяется гамильтонианомЗависимость операторов динамических переменных от времени во вращающемся базисе опеределяется операторомв соответствии с (24.18)формулойЛ ( 0 = ^ , +^ ш ^(24.29)а уравнение движения для операторовв картине взаимодействия даетсяформулой (24.20) в виде———у?в = (ЛВЯ В—НВАЪ) = [ЛВ,Я В].; dr(24.30)Физические результаты теории в картине взаимодействия и в картинеШредингера, конечно, одни и те же,как это следует из соотношений<Лш|Ч 'ш «> = <Лв(01Ч'вМ>,(24.31)Лв« М в ( 0 > = tfi2,+A u t f M ,+ Mui> == [Л2,+А.М ш > = л |Л М Х(24.32)§ 24которые доказываю тся с помощ ью(24.24) и (24.29).Стационарные состояния.
Пропагатор U(t) в картине Ш редингера наиболее естественно вы разить в энергетическом представлении. В качествеортонормированного базиса в этомслучае берутся собственные векторы| Е ) не зависящего от времени оператора Г ам ильтона Я, принадлежащиесобственным значениям энергии Е.Векторы | Е ) удовлетворяю т не зависящему от времени уравнению Шредингера:(/(?) = XI Е ) ( Е \ с-iEl/й(24.39)Д ля непрерывного спектра собственных значений Е сумма в (24.39) заменяется интегралом. Состояние, описываемое зависящими от временивекторами\E(t)) = \ E ) c - E,/\(24.40)называется стационарным. Такое название обусловлено тем, что в этомсостоянии вероятность Ф(А) получитьв измерении динамической переменной, представляемой оператором А,значение А не зависит от времени:(24.33)Й \ Е ) = Е\Е).Вектор состояния Iх? (г )) по формуле(21.74) может быть представлен ввиде|¥ (0 > = 1 | £ > < £ т 0 > = 1% (01£>,ЕРазличные представления квантовой динамики 1Б7Е(24.34)где aE(t) = <(is| Ч'(г)).
Применяя слевак обеим частям равенства (24.34) oneратор /й— — Я, получаем(iHd/dt —//) 1'Р (Г) > = 0 =ihdaE(t)~ EaE(t) | E } .=1dt(24.35)Отсю да из-за полноты и ортонормированности базиса | Е ) получаемуравнения для каждого значения ЕhdaF- т — 5 = Ea E(t),I at(24.36)0>(А, 0 = | (А | £(/)> | 2 = \(А | Е')е-‘Еф | 2 == | < Л | £ > | 2 = ^ ( Л ,0 ) .(24.41)Таким образом,понятие стационарного состояния неозначает его независимости от времени, а отражает лишь независимостьот времени результатов измерениядинамических переменных.Пример.
24.1. Рассмотрим линейный осциллятор в представлении чисел заполнения состояний (линейный осциллятор в х-представлениисм. § 27).Г амильтониан линейного осциллятораЯ = р2/(2т) + D£2/2(24.42)при переходе к операторам(24.43)Р = р / у / т Н а , X = XyjDI(H(£>)принимает видрешения которыхМ О = %(0)C- '/;'"Следовательно [см. (24.34)],(24.37)|Ч '(г ))= Х |£ ')< £ |'1 '(0 ))е ^ £'/Л(24.38)Я = ( Гт/ 2) ( Х2 + Р 2).(24.44)К ом м утатор операторов % и Р равенСравнивая (24.38) с определениемпропагатора (24.8), получаем/*■/ко117 = DM] =- m/гm«= '•(24.45)Д ля дальнейших вычислений це1 5 8 5 Основные понятия теории представленийлесообразно перейти к операторуа = (Х + iP)ly/l(24.46а)и сопряженному с ним операторуй+ = ( Х — iP)/y/2,(24.466)которые не являю тся эрмитовыми.Из (24.46) следует, чтойа+ = (X2 + Р1 - i[X,P])l2 == V2(X2 + Р2 + 1),(24.47а)а+а = (X2 + Р2 + ilX,F])/2 == 1/2(Я2 + Р2 - 1),(24.476)и поэтомух 2 + Р2 = йа+ + а+а = 2а+а + 1, (24.48а)[<М+] = 1.(24.486)С учетом (24.48 а) можно представить гамильтониан (24.43) в видеЯ = Па(й+а + 7 2) =+ 7 2),(24.49)где операторN = й +й(24.50)является эрмитовым.Обозначим |п ) собственный вектор оператора ft, принадлежащийсобственному значению п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
