А.Н. Матвеев - Атомная физика (1121290), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Обобщениеэтих положений на случай многихчастиц и многих измерений будет обсуждено в конце параграфа. Постулаты квантовой механики могут бытьсформулированы в виде следующихчетырех положений.1. Состояние движения частицыпредставляется вектором | Ч'(г) > вгильбертовом пространстве.2. Независимые динамические переменные, соответствующие классическим координате х и импульсу рчастицы, представляются эрмитовыми операторами X и Р, матричныеэлементы которых в собственном базисе оператора X равны(х | X | х'> = х8(х —х ') ,(23.1)< х |^ |х ') = - М '( х - Х ') .(23.2)Другие динамические переменные,соответствующие классическим функциям F(x,p), представляются эрмитовымиоператорамиF (X, Р) == F (x~ *X ,p^P ).3. В состоянии | ¥ ) измерение динамической переменной А дает с вероятностью ЗР (А) = | <( А | ¥ ) | 2 одноиз собственных значений А оператора А.В результате этого измерения система переходит из состояния | Ч* ) всостояние | А ) .4.Вектор состояния | Ч*(?)) подчиняется уравнению Шредингера- ~ | Ч ' ( 0 > = ^ |Ч '( 0 > ,г at(23.3)где Й = Н(Х, Р) - оператор Гамильтона, получающийся из гам ильтониана Н(х,р) соответствующей классическойпроблемыпоправилуН{Л,Р) = Н ( х ^ Х , р ^ Р ) .Смысл и содержание этих постулатов достаточно подробно былирассмотрены в х-представлении (см.гл.
4). Здесь необходимо сделатьлиш ь несколько пояснительных замечаний.В постулате 2 далеко не всегдапонятно, как построить операторР { Л , Р ) = F { x ^ X , p ^ P ) . Пусть, например, F = хр — рх.^ П оэтому неясно, будет ли F ( X , P ) = X P илиF( X ,P ) = РХ, хотя эти операторы различны ( Х , Р Ф Р Х ) . Универсальногоправила преодоления этой трудностине существует. В рассматриваемомслучае используется прием симметризации и принимается, что F (X, Р) ==( £ Р + Рх)/2. Однако уже для второй С1епени или выше х или р впроизведении этот прием не можетбыть применен.
Задача сводится кнахождению такого правила написания оператора, которое приводилобы к согласию выводов теории с результатам и экспериментов.В постулате 3 в случае вырожденного собственного значения А длявычисления ЗР(А) надо принять вовнимание полную проекцию состояния | ¥ ) на подпространство, принадлежащее вырожденному собственному значению. Например, если собственное значение А вырождено двукратно (А = A t = А 2), то в простран1 5 2 5.
Основные понятия теории представленийстве векторов, принадлежащих этомусобственному значению, можно построить некоторый ортонормированный базис |Л ,1> и \А,2 ) . Тогда9 ( А ) = | < Д 1 | ^ > | 2 + | < Л , 2 | Т ) | 2 .(23.4)В случае непрерывного спектрасобственных значений оператора Авеличина | ( А | Ч*) | 2 в постулате 3дает не вероятность, а плотность вероятности, поскольку собственныевекторы | А ) в этом случае норм ированы не на 1, а на 5-функцию. Полнаявероятность получить при измерениикакое-либо значение А равна, конечно, единице:» = \0>{А)АА = | | < Л | ¥ > | 2 сЫ == |< ^ М )< Л |Т )с 1 Л = < T |f |T > = 1.(23.5)В частности, спектр собственныхзначений оператора координаты Xнепрерывен.ВолноваяфункцияЧ'(х) = ( x I 'P ) позволяет находить невероятность нахождения частицы вточке х, а плотность вероятности| Ч*(х) | 2; вероятность нахождения частицы в интервале dx вблизи х равна| Ч'(х) | 2 dx.
Однако вектор | ¥ ) содержит информацию не только о м естонахождении частицы, но и об ее импульсе. П лотность вероятности длячастицы иметь импульс р даетсяпроекцией Ч ^ ) = (р | ¥ ) вектора состояния I'P)» на базисный вектор |р )оператора Р. Существуют динамические переменные, для которых нетклассического аналога. В этом случаеоператор динамических переменныхдолжен быть построен так, чтобы д авать результаты, согласующиеся сэкспериментом.Обобщение постулатов на многиестепени свободы. В этом случае м одифицируется лишь постулат 2, остальные остаются без изменения.
Этотпостулат может быть сформулировантак:N степеням свободы, относящимся кN декартовым координатам х 1, х 2,. . . , x N классической системы, в квантовойтеориисоответствую тNвзаимно коммутирующих операторов, %2 ’ • ■■>■Собственный координатный базис| Xj, х 2, . . . , x N ) этих операторов нормируется условиямиЛ-2, ... , XjvlXi,х'2, . . . , ХцУ == 8 ( х х - х ; ) 8 ( х 2 - х'2) . . . 8 ( x n - x'N) . ( 2 3 .6 )Связь векторов состояния | Ч*) с волновыми функциями Ч'(х1, х 2,, x N)в х-представлении и действия операторов X; и Pi в этом представлениивыражаются формулами14*) -*■ < х 1; х 2, .
. . х,( | Ч* > =4 * (X j, х 2, . . . , х ^ ) ,( 2 3 .7 а )Х , | Т ) ^ < х 1, х 2, . . . , х л | Х , | Т ) == x j 4 ' ( x 1, х 2, . . . , X jv) .( 2 3 .7 6 )P t | 4 ' ) - < х 1, х2, ... , xN|P f|T ) =Нд= 7 ^ T(Xl,X2’’ Xjv)-(237в)Операторы динамических переменныхобразую тся по правилуP ( X l, P l) = F ( x i ^ X l, p i ^ P l).Формулировка этих правил справедлива лишь в декартовых координатах, потому что только в них справедливо в х-представлении простоеописание действия операторов 1 и Рпо схемеД -> — Шд/дхгЛишь после формулировки и записиуравнений в декартовых координатахдля решения полученных дифференциальных уравнений можно переходить к лю бым другим координатамзаменой переменных.§ 24.
Различные представления квантовой динамики 1БЗ24. Различные представленияквантовой динамикиОператорu(t) = е- 'й,/ЛОписываются различные представления квантовой динамики-картины Шредингера, Гейзенберга и картина взаимодействия.Картина динамики Шредингера. Эволюция системы во времени описывается уравнением Шредингера (23.3), вкотором операторы ihd \ dt, X и Р отвремени явно не зависят. Оператор Йдля консервативной системы также независит явно от времени. Но в принципе уравнение (23.3) справедливо ипри явной зависимости Й от времени.Вся эволюция системы описываетсяизменением вектора состояния | ¥ (t) )во времени, в то время как операторыдинамических переменных от временине зависят.
Следовательно, вся квантовая динамика системы представлена изменением во времени векторасостояния. Такая картина квантовойдинамики системы называется картиной Шредингера. Уравнением, описываю щим квантовую динамику системы в этой картине, является уравнение Шредингера (23.3).Рассмотрим случай, когда оператор Й не зависит явно от времени.
Сучетом (21.92) видно, что решениеуравнения (23.3) имеет вид|¥ (0 > = e -'A/fi|¥(0)> = t/W |¥ (0 )> ,(24.1)гдеU (t) = exp ( —iHt/H).Если выражающий экспоненту рядсходится, то (21.1) дает решение уравнения Шредингера, которое полезнодля многих применений. Заметим, чтов тех случаях, когда ряд не сходится,формула (24.1) может быть тем неменее использована для выработкиприемов, с помощ ью которых можетбыть найдено приближенное решение.(24.2а)удовлетворяет операторному уравнению^d ~— --и = н и/ dt(24.26)и называется пропагатором. Он осуществляет преобразование векторасостояния от одного момента време^ни к другому.
Поскольку оператор Йэрмитов, пропагатор U унитарен [см.(24.2а)]:U+(t)U{t) = I.(24.3)Унитарность оператора U(t) обеспечивает сохранение нормы векторасостояния в процессе его измененияво времени:<¥(01 ^ ( 0 ) = <ЧЧ0)| 1/+(о0(О|ччо)> == <¥(0)|¥(0)> ,(24.4)где<4401 = 0*40)1= 1/(0|У(0)>.(0,1 У (0> =(24.5)Таким образом, нормировка вектора состояния сохраняется с течением времени, меняется лишь его«направление» в гильбертовом пространстве.
Изменение вектора состояния со временем сводится к его «вращению» в гильбертовом пространстве.При явной зависимости Й от времени имеется искушение записать решение уравнения (23.3) аналогично(24.1) в виде| ¥ ( 0 > = ехр—ЛЙ { {)&? |У (0 )> .L Н(24.6)Формально (24.6) удовлетворяет уравнению (23.3), однако не представляетрешения, так как экспоненциальныйоператор не может быть опеределенстепенным рядом.
Это обусловле-1 5 4 5. Основные понятия теории представленийно некоммутативностью операторовH(t), относящихся к разным м оментам времениH(tl)H(t2) - H(t2)H(tl) ф 0 (/, # t2) (24.7)Для нахождения оператора C(t) вэтом случае и представления с егопомощ ью решения в виде|ЧЧО> = 0(О|ЧЧО)>(24.8)разобьем интервал времени (0, t) на Nучастков одинаковой длины А (1 == NA), причем А выбирается оченьм алы м, а N соответственно оченьбольшим. Решение уравнения Шредингера (23.3) для t = А можно с точностью до величин первого порядкапо А представить в видеВвиду некоммутативное™ операторовН для различных моментов временинельзя в ( 2 4 .1 2 ) произвести сложениепоказателей экспонент и при А -> 0перейти к интегралу, получив формулу вида ( 2 4 .6 ) .
Необходимо дать такое определение оператора С (t), которое обеспечивало бы более позднееприменение оператора f i { t 2) по сравнению с оператором Й (/Д если t2 > tvДругими словами, оператор H(t) должен стоять левее всех операторов,относящихся к предшествующим м оментам времени. Такое определениедается с помощ ью процедуры упорядочения интеграла по времени, обозначаемой символом Т, которая м атематически выражается в виде|¥(Д )> = |¥(0)> + Д ( ^ р ) о ={7(0 = Т{ехр[-(г/Й)|Я(0с1г']} =ОN - 1= 1 ^ (0 )> -^ Я (0 )|Т (0 )> =п1/АИ= lim П ехр [ —(i/H) Н(тА) Д] .Н( 0) l'P(O)).(24.9)С точностью до величин первого порядка по А равенство (24.9) в экспоненциальной форме записывается ввиде соотношения| ¥ (Д) > = ехр--Д Я (О )п(24.10)А налогично н аходи м| ¥ (2А)) = ехрехр- ^ А Я (А )|¥(Д ) =— АН (А) ехр - - Д Я ( О ) | ¥ (0)>.п(24.11)П родолжая этот процесс, окончательно получаем|Т (0 > = Г п 1ехр - - Д Я ( т Д )Я|Т(0)>.(24.12)(24.13)N -* оо m = ООператор ( 2 4 .1 3 ) связывает векторысостояния | *Р (0)) и | *Р (?)) формулой ( 2 4 .8 ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
