А.Н. Матвеев - Атомная физика (1121290), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Частица в одномернойпотенциальной ямеАнализируются основные свойства движения частицы в одномерной бесконечно глубокой яме ияме конечной глубины и отмечается существование типично квантового явления проникновениячастицы за границы потенциальной ямы конечной глубины.Бесконечно глубокая яма. Потенциальная энергия частицы в зависимости откоординаты х изображена на рис. 55.§ 26. Частица в о д н ом е рн о й потенциальной я м е 165На интервале (0, а) потенциальнуюэнергию можно принять равной нулю, а вне этого интервала она обращается в бесконечность. Вследствиеэтого частица при своем движении неможет выйти за пределы (0, а), или,как говорят, она находится в потенциальной яме. Поскольку вероятностьнахождения частицы вне потенциальной бесконечно глубокой ямы равнанулю, волновая функция ¥ вне интервала (0, а) равна нулю.
Так как онанепрерывна, то равна нулю в точкахх = а, х = 0. Таким образом, для ¥ (х)получаем следующие граничные условия:¥ (0 ) = ¥ (а) = 0.(26.1)Уравнение Ш редингера внутриямы, где потенциальная энергия равна нулю, имеет видd2¥ /d x 2 + х2¥ = 0, х2 = 2тЕ/Н2.(26.2)Общее решение этого уравнения хорошо известно:¥(х ) = A sin Ых) + В cos (xjc).(26.3)Граничное условие ¥ (0) = 0 дает5 = 0,(26.4)а из граничного условия ¥ (а) = 0следует, чтоха = пк, х„ = я п/а (п = 1, 2, ...).(26.5)Это условие квантует движение частиц. На основании (26.5) и определения энергии через и в (26.2) получаемдля уровней энергии выражениеЕп= Л2х2/(2т) = Н2к2п2/(1та2)(п = 1,2,3,...).(26.6)Эта формула показывает, что существует некоторая минимальная, не равна нулю энергияEt = Н2к2j(2ma2),(26.7)соответствую щая основному состоянию движения частиц.
Волновая функция этого состояния0аX55П отенциальная яма¥ j (х) = А Бт(юс/а)(26.8)ни в какой точке внутри ямы в нуль необращ ается. Э то свойство волновойфункции основного состояния имеетобщий характер:волновая функция основного состояния не имеет узлов, т. е. не обращ ается в нуль внутри рассматриваемойобласти, а может обращ аться в нульлишь на границах.Из (26.7) видно, что минимальнаяэнергия с уменьшением линейных размеров ямы увеличивается. Физическаяпричина этого заключается в том , чтопри уменьшении линейных размеровямы уменьшается длина волны деБройля частицы, соответствую щаяосновному состоянию, а уменьшениедлины волны де Бройля означает увеличение энергии частицы.Таким образом, уточнение локализации частиц неизбежно сопровождается увеличением энергии частицы.Э то одно из проявлений принципанеопределенности.Поскольку спектр дискретен, условие нормировкиааJ ¥*¥d.x = A2 J sin2(x.x)d.x = А 2а/2 = 1оодля нормировочного множителя даетзначениеА = J 2/а.П оэтому система собственных функций имеет вид1 6 6 6.
П ростейш ие случаи движ ения микрочастицгiа в области I оно имеет вид (26.10; I).Решения для различных областейможно записать следующим образом:(I)У ! = А ! sin (x jx ) + B l c o s ^ x ) ,J(26.12)' X(II) У 2 = A 2 s i n [ K 2 (x - а)] ++ В2 cos [ х 2 (х - а)].56Потенциальная яма конечной глубиныУ„(х) = J l f a sin (nnxja).(26.9)Одномерная яма конечной глубины.Предполагается (рис.
56), что прих < 0 потенциальная энергия обращается в бесконечность. Значит, частица не может проникнуть в областьл < 0 и, следовательно, в этой областиволновая функция равна нулю. П оэтому достаточно найти волновуюфункцию в областях l u l l при х > О,заметив, что в точке х = 0 из-за непрерывности волновая функция обращается в нуль.Уравнение Шредингера в областяхI (0 < х < а) и II (а < х < оо) имеетвид(I) У? + х 2 У j = 0, х 2 = 2тЕ/П2,(II) У" + (2т/П2)(Е - Еп0) У 2 = 0.(26.10)Случай Е > Е м .
Уравнение Шредингера в области II(И)У" + х 2У 2 = 0,х2= (2т/П1)(Е - Еп0) > 0,(26.11)Из условия 4х! (0) = 0 следует, чтоВ1 = 0, а условия непрерывности функции и ее производнойУ 1(в) = У 2 (в), У \ (я) = У г (я)(26.13)даю т для коэффициентов А 2 и В2следующие выражения:А 2 = (x 1^ 1/ x 2)co s(x 1a), В 2 = А 1sin(Xjfl).(26.14)Эти условия могут быть всегдаудовлетворены. П оэтому в случаеЕ > Еио спектр энергии непрерывен,частица при своем движении не локализована в конечной области пространства, ее движение инфинитно.Случай Е < Еп0- Уравнение Шредингера в области I I имеет вид(II) У" - к1У 2 = 0,к2 = (2m/h2) (Еп0 - Е ) > 0.(26.15)В области I уравнение остается безизменения.
Решения для областей I иII представляются функциями(I) У i = A l sin(xjx),(26.16)(II) У 2 = С2е~кх + D2ekx.♦ цс Если по закону сохранения энергии частица мож ет двигаться лишь в ограниченной области пространства, то спектр ееэнергии дискретен, при неограниченнойобласти движения непрерывен.В потенциальной ям е конечной глубиныим еется лишь конечное число с о бст в ен ных значений энергии. Если глубина ямыслиш ком мала, то мож ет случиться, чтони одного собствен ного значения энергиине сущ ествует.*С ф орм улируй те условия на границах б есконечно глубокой ям ы и ям ы конечной глубины.Чем обусловливается разли чи е м еж ду ними?М ож ет ли частица проникнуть в некоторуюобласть пространства с наруш ением закон асохранения энергии?Так как волновая функция вездедолжна быть конечной, а екх прих —* оо неограниченно возрастает, тоD2 в формуле (26.16; II) необходимопринять равны м нулю.Условия сшивания (26.13) в рассм атриваемом случае:А х sin(X[fl) = С2 ехр( —ка),(26.17)A l x 1 c o s(x 2a) = —к С 2 ехр( —ка).Разделив почленно второе уравнение§ 27.
Линейный гарм онический о сц иллятор 167на первое, получим условие квантования энергии:x 1ctg(x1a) = —к.(26.18)Для графического решения этого уравнения удобно сделать следующие преобразования:s in ^ a ) = [1 + ctg2Xjfl)]_1/2 == [1 + ( к / к 1) 2У 112 == [1 + (Еп0 - £ ) / £ Г 1/2 = (EJEn0) 112.Ноу[ е= Tml/s/2mи, следовательно, уравнение (26.18)принимает видs in j = (К/у/2та2Еп0) у 0' = х,а).(26.19)Это уравнение решается с помощ ьюпостроения, указанного на рис.
57. Вкачестве решений берутся не все пересечения прямой z = (fiy/^/lm a2Еи0) ссинусоидой z = sin >•, а лишь те, которые согласуются со знаком в уравнении (26.18), т. е. точки пересечения вчетных четвертях. Этим значениям у п,которых имеется конечное число,соответствую т энергииЕ„ = &2у 21(2та2).(26.20)Таким образом,в потенциальной яме с конечной глубиной имеется конечное число собственных значений энергии.Если глубина Е п0 ямы слишкомм ала, то может случиться, что ниодного собственного значения энергии не существует, т.
е. стационарногодвижения частицы в конечной области нет.В классической механике приЕ < £ п0частица не может проникнутьв область * > а. В квантовой же механике все иначе. Волновая функция прих > а, согласно (26.16; II), имеет вид^ ( д ) = С2е~кх.(26.21)К вычислению корней уравнения (26.19)Э та функция быстро убывает приудалении от точки х = а в сторонувозрастаю щ их значений х, но не равна нулю при х — а. Это означает, чтоимеется некоторая вероятность того,что частица с энергией Е < Еп0 все жепроникнет в область х > а.
Этотэффект обусловливает важное квантовое явление прохождения микрочастиц через потенциальный барьер.27. Линейный гармонический осцилляторРассматривается квантовая теория движения линейного гармонического осциллятора и с помощью принципа соответствия выводится формула излучения.Линейный осциллятор. Потенциальнаяэнергия многих физических системимеет в некоторых точках пространства минимум.
Разлагая в окрестности минимума потенциальную энергию в ряд, имеемЕп(х) = С / 2\)(д2Еп/ 8 х 2)0 х 2 ++ ( 1/ 3\)(д3Еп/ 8 х 3)0 х 3 + ....где х - отклонение от положения равновесия, и принимаем без ограничения общности, что Еп(0) = 0. Если частица совершает малые колебанияоколо положения равновесия, то вряде можно ограничиться только первым членом. Частицу, совершающуюгармонические колебания, будем называть гармоническим осциллятором.1 6 8 6. П ростейш ие случаи движ ения микрочастицГармонические осцилляторы играю т больш ую роль при исследовании малых колебаний систем околоположения равновесия, в частностиколебаний атом ов в кристаллах, м олекулах и т.д .Оператор Г ам ильтона для осциллятора в квантовой теории имеет видН = р 2/(2т) + та2Л1/2,(27.1)ной, v не должно расти на бесконечности быстрее, чем ехр(£2/2).
Дляфункции v получаем следующее уравнение:v " - 2 \ v ' + ( X - 1)г = 0.(27.7)где(д2Еп/дх2)0 = т а 2,П одставляя (27.8) в (27.7), имеемооа уравнение Ш редингера записывается следующим образом:d2T/dx2 + (2/и/й2) (Е —та>2х 2/2) Ч' = 0.(27.2)Для дальнейших вычислений удобноперейти к безразмерной переменной\ = ^тсо/ Л.V.(27.3)Обозначая мроп шодпые по 4 ш трихами, имеемЧ"' + (А .-$ 2)Ч' = 0,(27.4)гдеX = 2Е/(К(о).Представим функцию v в виде рядаv{x) = а0 + flj ^ + а2 J;2 + ... +ak^k + ....(27.8)соX k{k — 2 ) a£ k~ 2 — 2J; £ ka&k ~ ' +k= 2k= 1оо+ (X - 1) £ a g = 0.k =0С ум м а бесконечного степенного рядатождественно равна нулю только втом случае, когда коэффициенты привсех степенях независимой переменной равны нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
