А.Н. Матвеев - Атомная физика (1121290), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Собственный вектор |п) предполагается нормированным (п\п) = 1. Докажем, чтособственные значения оператора Nнеотрицательны. Из соотношений(n \N \n } = (п(й+й|и> = ((и|й +)(а|и>) == |< а |и » |2 ^ 0, Й\п} = п\п), (n\N\n} = л(и | л) = п(24.51)следует неравенство п ^ 0, котороетребовалось доказать.Кет-вектор а + \ п ) является собственным вектором оператора N,принадлежащим собственному значению /1 + 1, как это следует из соотношенийft(a+|и » = й+М +|и> = а+(а+а + 1)|и> == 6+(N + 1)|л> = (и + 1)а+ |п>,(24.51)если принять во внимание, что кетвектор <2+ |и> не равен нулю. Справедливость последнего утвержденияобосновывается вычислением квадрата модуля этого вектора:Iа +| п) |2 = «и | а) (а+\ п)) = <и | аа+| и) == (п\а +&+ 1 |и> = ( n \ f t + 1 |и> == (п + 1)(и|и) = п + 1 ^ 1,(24.52)поскольку п ^ 1.Аналогично показывается, чтокет-вектор а | п) при п 0 являетсясобственным вектором ft, принадлежащим собственному значению п — 1,а при п = 0 и только при п = 0 онявляется нулевым вектором, т.
е.а 10> = 0:lQfa|n>) = (й +а ) а \ п ) =(йй+ — \ ) а \ п ) =— (аа +а —й)\п) = а(й +й — 1)|и> == а ( Й - 1)|и> = й ( и - 1) | и) == (и — 1)й|и).(24.53)Так как п ^ 0, то а\ 0 ) = 0.И з (24.51) и (24.53) заключаем, чтодействие операторов а и а + на собственные векторы оператора f t даетдругие собственные векторы оператора ft, за исключением действия оператора а на вектор |0 ) . Действуя повторно операторами а + и а на вектор| п), можно получить последовательность собственных векторов оператора N, принадлежащих собственнымзначениям п, п + 1, п + 2, п + 3, ... ип — 1, п — 2, п — 3, ... Во втором случае процесс ограничен условием неотрицательности собственного значения, однако нулевое собственное значение оператора f t не исключается.Кет-вектор с нулевым собственнымзначением обозначается 10 ) и для него а 10 ) = 0, где справа стоит нулевойвектор.
П овторное применение оператора а + к вектору 10 ) дает последовательность собственных векторов оператора ft, принадлежащих собствен-§ 24. Различные представления квантовой динамики 1 5 9ным значениям этого оператора, составляю щ им последовательность целых положительных чисел п = О, 1,2, . . .
Это означает, что собственныезначения энергии гамильтониана (24.49)Е„ = Пю(п+д +=- а + | п).0000 у/2 00 О Уз\00 0о оОу / 4О/о 1 оооо\(24.59)0 0 ^ 0о о00 0 уз о о0 0 0 0 у/4 0уо 0О0О у /5(24.55)/п + 1Из (24.46) получаем операторыX = (а+ + й)/у/2,ОтсюдаР = i(a+ - й)/у/Х|« > = ^ a +|« - l ) = T J = = xу/пyJn(n-\)1х (а+)2\п - 2> = ... ^(й+)"|0>.(24.56)Базисные векторы |л ) ортонормированы.Из (24.55) находим матричные элементы оператора а +:(24.57)1 § „ • , „ + i-о< и '|а|и > =у / п Ъ п. n _v(24.58)..«4М атрицы операторов а и а имеют видоузоо' 0 - 1 0Р=У2Так как а = (а+) +, то матричные элементы оператора а(24.60)матричные представления которых следуют из (24.59):( 0 1 0 0\ 0 у/ 2 00 ч/ 2 0/3(п' | а + | и) = у / п + 1(и' | п + 1) =ч / и +00 00Поскольку вектор а + \ п) пропорционален нормированному собственномувектору | п + 1), можно вы брать фазунормированного вектора |и ) так,чтобы было=0 01(24.54)1 / 2 ).\п + 1) = —010у / 20оо- у/ 20Уз0-У з.(24.61)оВектор произвольного состояния | 'P(t))может быть представлен в виде|vpm\| М ;/=e-i(" +1/2)»i|„\п1 '•(24.62)1 6 0 5.
Основные понятия теории представленийЗадачи5.1.5.2.5.3.5.4.5.5.Вычислить ком м утатор Гега^ й, .г].Вычислить функцию е '^ ' Ч?(х).В момент / = 0 вектор состояния гармонического осциллятора задан соотношением|Т (0 )) = X с„\п). Н айти вектор состояния IT ( t ) ' ) системы в м ом ент времени t и вычислить<*>, </>>■ 'Вычислить в состоянии \п ) линейного осциллятора ( х ) , (/>), ( ( А х ) 2} и <(Др ) 1'}.Известно, что АВ — В А = 1.
Н айти А В2 — В 2А = ?Ответы5.1. ac\p(iap/h). 5.2. ¥ ( х + а). 5.3. £ с „ е х р [ — /(и + 1/ 2)сог]|«); ^/йсо/ВЕ^и + 1)/2 хх(с„с*л+1е(“' + с*„с„+1е - пJ ( n + 1)/2 (с„с*„ +хе‘“' - с*„ся+1е~ш ). 5.4. 0; 0;(п + ’/г)/гм/D; (и + l/2)mh(t).
5.5. 2Ё.25Свободное движение частицы266П Р О С Т Е Й Ш И Е СЛУЧАИДВИЖЕНИЯМИКРОЧАСТИЦЧести ца в одномернойпотенциальной ям е27Линейный гармоническийосциллятор28Движение в полецентральной силы.Ротатор29Прохождение микрочастицчерез потенциальный барьер1 1 -2 1 9X арактер энергетического спектра частицы определяется в первую очередь областьюдви ж ен и я-д л я конечной областион дискретен, для бесконечнойнепрерывен. Спектры других динамических переменных также зависят от области изменения переменных.
Потенциальный барьердля микрочастиц не составляет непреодолимого препятствия.16 2 б. Простейшие случаи движения микрочастиц25. Свободное движение частицыОбсуждается свободное движение часшцы в неограниченном пространстве и возможность егоприближенногопредставления посредствомнормирования волновых функций на длинупериодичностиВолновые функции. В случае свободного движения внешние силы отсутствуют. Ограничимся рассмотрениемдвижения в одном измерении.
Оператор Гам ильтона Я и уравнениеШредингера можно записать следующ им образом:(25Л|ПдЧ>i 8th2 а2т2т дх2(25.2)Положив'¥(x,t) = e-'E,/h4>0(x),получим для ^ ( х ) уравнениеd2T 0 2т т~ d ^ + h2O= 0’решение которого(25.3)(25'4)У 0{х) = Aev‘x/* + В е - р’х/*,(25.5)где учтено, что импульс р х свободнойчастицы связан с ее энергией соотношением р х = yJlmE, А и В - произвольные постоянные.Первое слагаемое в (25.5) описывает движение частицы в положительном направлении оси X , а в т о р о е -вотрицательном. Чтобы в этом убедиться, надо вернуться к функции(25.3) и посмотреть [с учетом (25.5)],в каком направлении перемещаютсяточки постоянной фазы у первого ивторого слагаемых функции (25.3).Например, условие постоянства фазыпервого члена имеет вид Et —рхх == const.
Дифференцируя это равенство по t, убеждаемся, что фазовая скорость направлена вдоль положительного направления оси X. Аналогичноанализируется второе слагаемое функции (25.5). Рассматривая для определенности движение в положительномнаправлении, необходимо положитьВ = 0. Тогда на основании (25.3) замечаем, что волновая функция свободной частицы имеет вид плоскойволны:¥(х, г) = Ае~‘{Е'~РхХ),г'.(25.6)Уравнение (25.4) имеет однозначное, конечное и непрерывное решениепри любой энергии Е. Это означает,что спектр энергий свободной частицы непрерывен.л Очевидно, что скобки Пуассона[.Н,р;J в случае свободной частицыравны нулю:[ Д & ] = 0.(25.7)Следовательно, импульс свободнойчастицы - интеграл движения, т. е.импульс свободной частицы равен постоянной величине.
К ром е того, изравенства нулю ком мутатора (25.7)следует, что энергия свободной частицы и ее импульс являются одновременно измеримыми величинами.Нормировка на длину периодичности. Поскольку спектр собственныхзначений свободной частицы непрерывен,нормировкасобственныхфункций на единицу невозможна, таккакj ¥ * ¥ d x = A2 j dx = оо,(25.8)и следует пользоваться условием нормировки на 8-функцию. Однако вместо этого часто пользуются способомнормировки на длину периодичности,который заключается в следующем.Предположим, что нас интересуетдвижение частицы на участке длинойL. В этом случае можно рассматривать не все бесконечное пространство,а лишь участок длины L.
Вне этого§ 25. Свободное движение частицы 1 6 3участка волновую функцию можносчитать периодически повторяю щ ейся, т. е. можно наложить на волновуюфункцию следующее условие периодичности:'P0 (x + L) = T 0 (x).(25.9)Ясно, что после этого частица ужене может считаться полностью свободной, ее движение ограничено условием (25.9). Благодаря этому спектрэнергии частицы перестает быть непрерывным. Однако, если длина L выбрана достаточно большой, отличиедвижения частицы от свободного м ожет быть сколь угодно малым.Спектр энергии может быть найден из условия (25.9), которое с учетом (25.6) принимает видAe^ +L)PJh = A^ PJh(25Ш)ИЛИе '^ й=1.(25.11)Следовательно, р х не может принимать произвольные значения, а м ожет принимать лишь дискретный рядзначений р хп, определяемых на основании (25.11) равенствомp xn = 2nTmx/L ,(25.12)где пх-ц е л о е число. Таким образом,введениеусловияпериодичности(25.9) приводит к переходу от непрерывного спектра к дискретному:Еп = Рхя/(2т) = 2n2Ti2n2x l{mL2).(25.13)Отсю да следует, чтоA 2L = 1, А = 1 Д Д ,(25.15)и система ортонормированных функций записывается следующим образом:y on(x) = e‘px„^L~V2 = l - i/2епхпХ'Рхп= 2nhnx/L, kxn = 2nnx/L.(25.16)Воспользовавшись формулой (25.13)для собственных значений энергии,нетрудно убедиться, что если L имеетмакроскопические размеры, то дискретные уровни Е„ находятся оченьблизко друг к другу, почти сливаясь внепрерывный спектр.
Б лагодаря этому при использовании вместо волновых функций непрерывного спектраволновых функций с нормировкой надлину периодичности мы допускаемне очень большую погрешность, нозато часто очень сильно упрощаемвычисления и интерпретацию полученных результатов. Не следует забывать, что все же эти результаты приближенные и спектр свободного движения в неограниченной области является непрерывным.Непрерывный спектр. В случае непрерывного спектра волновое числокх принимает непрерывный ряд значений, а волновая функция'¥кх(х) = А 1ел*х.(25.17)Условие нормировки на 8-функциюимеет видотВ дискретном спектре необходимовоспользоваться условием ортонормированности (17.23), которое в данном случае имеет видL /2L/2__-L, 2П (П ~П>) _л(л — л')Ы2Ь1 0(П =(25.18)В теории интегралов Фурье доказываетсяравенствоССП'),(2л) “ 1 J ei(fc- fc)xdjc = 5 (к - к').(п ф п'\.(25.14)п*оо= А \ I еЦк* ~ кх} Xdx = Ъ(кх - к’х).— ооб„„-= j '¥*„■'¥0„dx — А2 \ е2’1,("-"')Мх =-L /2I T ^ ( x ) T t;x ) d x =—СС- оо(25.19)1 6 4 6.
Простейшие случаи движения микрочастицСравнение (25.18) с (25.19) показывает, что А х = 1Д /2л, и системафункций непрерывного спектра, нормированных на 8-функцию, приобретает видY kJx) = (2л)- 1г2е ^ -\ кх = рх/п.(25.20)Плотность заряда и плотность тока.Из (25.6) вытекает, чтос'Ч/дх = (ipJR) У, дЧ>*/дх = - (ipJH)У*,поэтому (16.20) для плотности тока изаряда вы ражаю тся формуламик = iiqni(2mj\(Vd^*ldx - х¥*дх¥/дх) == {qpjm) У*У = (qpjm)\А\2,(25.21а)p ^ q V * ' ? = q \ A\ 2,(25.216)т. е.Jx = РP j m = pvx,(25.22)что находится в согласии с выражением для плотности тока, известнымиз классической электродинамики.Для упрощения написания формулвсе вычисления в этом параграфе проводились применительно к однойкоординате. Аналогичные вычисления справедливы для двух другихкоординат и волновую функцию свободной частицы в трех измерениях'Р (г, () можно представить как произведениеУ (г, t) = У(х, /) 4*0;, 0 ^ (2 , t).(25.23)причем каждая из функций в правойчасти равенства определяется форму* * В св о б о д н о м пространстве энергия и и м пульс частицы обладаю т непрерывнымиспектрами значений.Для удобствавычисленийволновуюфункцию св ободн ой частицы м ож но нормировать на длину периодичности.
О днако при этом спектр энергии частицы становится дискретным, а волновая ф ункци я-п р и бли ж ен н ой . Если длина периодичности выбрана достаточно больш ой,отличие движ ения частицы от св ободн огомож ет быть сдел ан о достаточно малым.лой вида (25.6). Волновая функциясвободной частицы в трех измеренияхУ (г, t) = A e - W - r W ,(25.24а)гдер г = р хх + р уу + p zz,Е = р 2/(2т) = ( p l + р2 + р2)/(2т),(25.246)А = (2л)" 3/2-норм ировочная постоянная. При нормировке на объем периодичности аналогично условию (25.15)находим нормировочную постоянную:A = (LxLyLz,Г 1' 2,(25.25)где L x, L y, L z- длины периодичности внаправлении осей X, Y, Z соответственно. Волновая функция при этомравнаУ= ( L xL yL z)~ 1,2е ' 1к«хх +V + V » ,(25.26а)K r = 2nnx/Lx, к = 2nny/Ly,У(25.266)k„z = 2nnz/Lz,где пх, пу, nz - целые независимые числа.Для непрерывного спектра вместоформулы (25.20) находим волновуюфункцию:Ук(г) = (2я)_3/2е'к г (к = р/й).(25.27)Вместо (25.21) и (25.22) получаем:j = qp\А\2/т, p = q\A\2,(25.28)j = pp/m = pv.(25.29)26.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
