А.Н. Матвеев - Атомная физика (1121290), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Следовательно,собственные значения энергии равныЕ„ = h со (п + 1/2) —q2 $ 2/(2 т со2)(п = 0, 1, 2,...)Е = 1/ 1т со2 А2.Следовательно,Кп = \.Ч2 со2/ ( 6 я е 0 т с 3)] Е.(27.32)Сравнение (27.32) с (27.31) показывает, что в области больших квантовых чисел, когда нулевой энергией Е 0можно пренебречь по сравнению сэнергией Еп, квантовая формула(27.31) излучения осциллятора совпадает с классической формулой (27.32).Следует отметить, что это утверждение имеет общий характер:в области больших квантовых чиселдвижение квантово-механической системы с хорошей точностью можетописыватьсяформуламиклассической механики.Пример 27.1.
Найти волновыефункции стационарных состояний иуровни энергии гармонического осциллятора, находящегося в однородном электрическом поле напряженности ё .К энергии осциллятора в отсутствие электрического поля добавляетсяпотенциальная энергия- q S x зарядав однородном электрическом поле. ВрезультатеоператорГ амильтонаимеет видН = р2/(2т) + т со2 х г/2 —q S х.В уравнении Шредингераd2 Ч» 2 т~J^2+~^r(E ~ mm2x 2/2 + q S x ) ^ = Оперейдем к новой переменной г| == х — дё/(т со2) и получим,- _4,“и волновые функции имею т такой жевид, как и для линейного осцилляторав отсутствие электрического поля.Однако при графическом изображении они сдвигаются вдоль оси X наqS/(m со2).28. Движение в поле центральной силы.РотаторОбсуждаются оператор момента импульса, егособственные значения и принадлежащие имсобственные функции.Собственные значения и собственныефункции.
Стационарные состояниячастицы, движущейся в центральносимметричном поле, описываютсяуравнением Шредингера, записаннымв видеV2 4х + (2 т/Н2) IE - Еп (/•)] = 0.(28.1)Потенциальная энергия Е п (г) вэтом случае есть функция расстояниячастицы до центра сил. Если от декартовых координат перейти к сферическим, то уравнение (28.1) разделяется. Как известно, оператор Л апласа V2 в сферических координатахимеет вид(Ж2>1 7 4 6 П ростейш ие случаи движ ения микрочастицгдеd2 Ф/d ф2 + ц2 Ф1д (п д\1&Подставляя (28.2) в уравнение Шредингера и полагаяЧ*(г, 0, ф) = R (г) У(0, ф),(28.4)получаем1 d / d R\2т- я т Л г т ; ) + 1 ё г 1 Е - Е- т = —-Y V«*•«’ YТак как левая и правая части этогоравенства зависят от различных независимых переменных, то эти частипо отдельности должны быть равными одной и той же постоянной, которую мы обозначим X.Таким образом, для радикальнойфункции R и сферической функцииУ(9, ф) получаем уравнения1 d[2т( У * + i^г2 dr \ d r,Ч R = 0,(28.5)1 8 (SY\1 d2 Y--------- I sin0— + — -------- - + X 7 = 0 .sin0 50 V50/sin 0(28.6)В уравнение (28.5) входит потенциальная энергия Еп(г).
П оэтому видрадикальных функций и собственныезначения энергии определяются конкретным видом поля, в котором движется частица. Уравнение (28.6) длявсех сферически-симметричных полейодинаково и допускает дальнейшееразделение переменных. П олагаяУ(0,Ф) = Р(0,)-Ф(Ф)(28.7)и обозначая постоянную разделенияц2, для функций Р и ф находим следующие уравнения:О,(28.8)1 d /dP\Iц2--------- sin 0 — + X ------- ЧР = 0.sin0 d0 \d0/\sin 0,(28.9)Общее решение уравнения (28.8) имеет видФ(ф) = А е,1“р + Ве~,,“р.Из требования однозначности решения вытекает, что ц должно бытьлю бы м положительным или отрицательным целым числом.
П оэтому всесобственные функции уравнения (28.8)могут быть представлены формулойФт (ф) = (2я)- 1/2 е, т <" (т = 0, + 1, +2,...).(28.10)Перейдя в уравнении (28.9) к независимой переменной Е, = cos 0, можноэто уравнение записать в видеd Гd Al Гт2— (1 - £2) ---- + I -------- г Р = 0.d I L1' dО_\ - ъ 2(28.11)Функция Р(сos 0) должна быть непрерывной и конечной при всех углах0. Ч тобы удовлетворить этому условию, параметр X должен быть равенX = 1(1 + 1), где /-неотрицательноецелое число.Решение уравнения (28.11) приэтом может быть представлено какРТ = ¥ п {1~ ¥ )т12Т ^^(28Л2)где Р? -присоединенные функции Лежандра.О тметим, что при заданном / число т может принимать лишь 2 1 + 1различных значений:т = - l , - l + 1,..., / - 1, /.(28.13)Условие нормировки для функции 'РJ У* У d x d y d z = 1§ 28 Д виж ение в поле центральной силы Ротатор 1 7 5сводится к двум уравнениям:ооJ R* R г2 d г = 1,оя+(28 14)— xz-dzdy)2лj sin 0 d 0 J Y* Yd Ф = 1оо(28 15)Запишем собственные функцииуравнения (28 6) следующим образом>7 (0, ф) = С ? е т* Р? (cos 0)Воспользовавшись интеграламиd ф = 2 я 8 mm,|f Р? (х) Р? (х) d х = ------- ------ — 5,,,12 1 + 1 ( 1 - т у 11находимc m _ / 2 / + l ( / - m ) ' V/ 21V 4п(/+ т) I/Итак,YT (0, Ф) =21+ 1 (1 -т )' 1/ 2_ 4к (I + т)'_(28 16)х Р? (cos 0)Момент импульса.
Выражение дляоператора момента импульса частицы задается формулами (18 12) Н айдем правила коммутации для проекций этого оператора Вычислим ком мутаторП \2ГLxу Ly1-х Liy 1.v/ -ЛX ^ T Тгz - Z5 y ) \ Zr x - XT z ) п\ 2 д8z ------х — I I уV дх/г\ 2( 8 8U2\ijдудхду)= iHLz(28 17а)Циклической перестановкой индексов х, у, z легко найти остальныедва коммутационных соотношенияLy Lz — Lz Ly — iR Lx,(28 176)Lz Lx — Lx Lz = i Н Ly(28Таким образом, лю бая из проекций импульса и квадрат момента импульса могут иметь одновременноопределенное значениеВ сферической системе координатП(дL = -----sin ш --------- Ь ctg 1 COS фЛТ д 0Бд фV дхд2дудх.I\_П ддvду,i d ф’82д2L2 = - K 2 V 2 v,дгдхд т8z) \dz+ zx~■-zy+дхдгдудг17 b )Из некоммутативное™ между собой операторов проекций импульсаследует, что различные проекции импульса не могут одновременно иметьопределенные значенияЛегко показать, что операторы Ьх,Ly, Lz коммутирую т с операторомквадрата момента импульса В —= Lx + Ц + Ц , т еLx В - ]} Lx = О,Ly П - В 1у = О,(2В 18)Lz П - П Lz = О.П(ддL = - cos ф — - ctg 0 sin ф —дг/д х д у + х у 1?д ф/,,(28 19)где оператор V e,v определяется равенством (28 3)Н а основании уравнения (28 6) сX = 1(1 + \) и (28 10) следует, что1 7 6 6.
П ростейш ие случаи движ ения микрочастицсобственные значения операторов L2и Lz равны соответственноI? = КЦ1 + 1)(/ = 0, 1, 2,...),(28.20а)Lz = Hm(т = 0, +1, ±2,..., ±1).(28.206)Последние формулы даю т квантовые значения модуля момента импульса и проекции м омента импульса частицы на ось Z. Н апомним, что,коль скоро проекция Lz имеет определенное значение, две другие проекцииLx и Ly определенных значений иметьне могут. В качестве направления осиZ может быть выбрано лю бое направление.
Следует отметить, чтовсе выводы о моменте импульса движения и его проекциях имею т совершенно общий характер и не зависятот того, в каком конкретном поледвижутся частицы.Эти выводы вы раж аю т квантово-механические свойства моментакак физической величины.Закон сохранения. Оператор кинетической энергииЕк = р2/(2т) = —[й2/2т)] V2 =2т г2 8г\дг)2т г2с учетом (28.20) может быть записан ввидеЁК= Ё„ + Ь2/(2тг2),tИ2Iд ( 2 д\ТД еЕ - = - Ъ п ^ д г { Г^ J - ° nePaTOpкинетической энергии радиальногодвижения. Таким образом, гам ильтониан при движении частицы в центрально-симметричном поле Еп (г) м ожет быть представлен следующимобразом:Н = Ё кг + 1 2/(2тг2) + Еп(г).П ринимая во внимание, что операторы L x, L y, L z, L 2 зависят толькоот угловых переменных и, следовательно, коммутирую т с функциями иоператорами, зависящими только отг, а также учитывая, что L x, L y, L zкоммутирую т с Г 2, видим, что всеоператоры L x, L y, L z, В коммутирую тс гамильтонианом.
Это означает, чтовсе эти операторы являются интегралами движения в центрально-симметричном поле. Аналогичное положение наблю дается и в классическоймеханике. Принимая во вниманиеправила коммутации между различными проекциями момента, заклю чаем, что при движении в центрально-симметричном поле одновременноимею т определенные значения энергия, квадрат полного момента импульса и проекция м омента импульсана какое-либо направление.Четность. Рассуждения, проведенные в § 26 о четности функции водном измерении, могут быть непосредственно обобщены на случай трехизмерений. Если произвести отражение координат относительно начала,т. е. заменить х на —х, у на —у, z на—z, то гамильтониан не изменится(V2 при таком преобразовании, очевидно, не изменяется).
Следовательно, собственные функции, принадлежащие невырожденным собственнымзначениям, должны обладать определенной четностью, а из собственныхфункций, принадлежащих вырожденным собственным значениям, всегдаможно составить такие комбинации,которые обладаю т определенной четностью.
Н апомним еще раз, что выражение «волновая функция обладаетопределенной четностью» означает,что если в волновой функции координаты х, у, z одновременно заменитьна —х, —у, —z, то арифметическоезначение функции не изменится, а еезнак либо не изменится, либо изменится на обратный. В первом случае§ 28. Д виж ение в поле центральной силы. Ротатор 1 7 7функция четная, во втором -нечетная.Для нахождения четности волновых функций, описывающих движение в центрально-симметричном поле, заметим, что отражение координат относительно начала, т. е.
заменах —►—х, у - * —у, z —> —z, в сферической системе координат сводится кзамене й н а х - й и ф н а ф + к принеизменном г. Следовательно, четность в (28.4) совпадает с четностью7 (0 , ф).М ножитель е,т<р имеет четность т,так какg i m ( ( p + тс)^ ___j y r i g i f n i pа четность функции Р?, согласно(28.12), совпадает с четностью числаI — т. Это очевидно, если учесть, чтомножитель (1 — £,2)т/2 является четнойфункцией относительно изменения знака у £, = cos0, а четность производнойопределяется числом 21 — (/ + т) == I — т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
