А.Н. Матвеев - Атомная физика (1121290), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Четность произведения двухфункций зависит от четности сомножителей. Поскольку четность одногоиз сомножителей совпадает с четностью числа т, а четность другогосомножителя совпадает с четностьючисла I — т, четность их произведениясовпадает с четностью числат + (I — т) = I.Это означает, что четность сферической функции Y? зависит только отчетности квантового числа /.
Следовательно, и четность полной волновойфункции частицы, движущейся в центрально-симметричном поле, совпадает с четностью квантового числа /.Число / определяет модуль момента импульса:L l = h y/ l ( l + 1).Однако для удобства говорят, чтомомент импульса равен / = 0, 1, 2, ....12219Квантовое число / называю т орбитальным квантовым числом, а квантовое число т - магнитным. П оэтомучетность волновой функции частицы,движущейся в центрально-симметричном, поле совпадает с четностью орбитального квантового числа, или,короче, с четностью момента импульса частицы.Собственные функции и собственные значения ротатора. Простейшимдвижением частицы в центральносимметричном поле является ее движение на неизменном расстоянии отцентра (жесткий диполь).
Такая система называется ротатором. Задача оротаторе имеет применение при исследовании спектров молекул.Поскольку для ротатора г = const,не ограничивая общности, можно положить Еп (г) = 0. Уравнение Шредингера для ротатора имеет видV02„ Ч> + (2та2/Н2) £ У = 0,(28.21)где а -р а д и у с ротатора. На основании сказанного (см. § 27) заключаем,что собственные значения энергии ротатора равны= [Уг/(2шя2)] /(/ + 1) = [й2/(2./)] /(/ + 1),(28.22)где J = та2 - момент инерции ротатора.
Собственными функциями являю тся функции У7 (Q, ц>), определяемыевыражением (28.16). Пусть / = 0. Тогда т = 0 и= 1/у/Ап. В случае / = 1имеется три собственных функции ст = — 1, т = 0, т = + 1. При / = 2кратность вырождения равна пяти. Втабл. 1 даны формулы для простейших функций.Поскольку | У™| не зависит от углаФ, распределение плотности вероятности местоположения частицы является аксиально-симметричным. Этораспределение графически можноизобразить на плоскости Z, X , откла-178 6. П ростейш ие случаи движ ения микрочастицz00 %1=1/77=±J,*Правила отбора.
Для вычисленияматричного элемента от z = a cos 0 == аЁ,, где £, = cos0, примем во внимание рекуррентное соотношениеZ,P7 = W - m + 1)/(2/ + 1)]/7+1 ++ [(/+ тя)/(2/+ 1)](28.23)Тогда= f(YT')*zYTdn == а(С?ГС7№Р?'&)Р?£)ыр хх ( —im'ф + г/иф) <Ш == в(С ?')*С Г {[(Г -т'+ 1)/(2/'+ 1)]хх [ P f , t Р? е х р ( —г/и'ф + wup)dQ ++ [(Г + т')/(2Г + 1)] |Л т- 1/Т ехР ( ~ ' т Ф ++ imф) d ll},Распределения плотности электронного облакадывая IPfl по радиусу-вектору в направлении угла 0. Н а рис.
58 изображено распределение плотности вероятности для / = 0, 1. В табл. 1 данывыражения для ряда функций У7 исоответствующих плош остей вероятности | у ; т .Состояниеут/ = о, m = 0 y<j=/ = 1, т = О У? = [3/(4я)] 1,2 cos 0/ = 1,Y\ = — [3/(8я)] 1/2 sin ве'*где С™ -нормировочные коэффициенты, которые нет необходимости выписывать. При т' = т, Г + \ = I первый интеграл отличается от нуля, авторой равен нулю, а при т' = т,/' — 1 = / первый интеграл равен нулю,а второй отличен от нуля.
Такимобразом, получаем следующие правила отбора:Ат = О, А/ = + 1.(28.24)Однако эти правила отбора не являю тся полными, так как необходимоеще рассмотреть координаты х и у.Введем для удобства величинуТ\ = х + iy = a sin6 е"р._____________Таблица 1|УП:I У812 = 1/(4я)| y\°) | 2 = [3/(4я)] cos2 0I У112 = [3/(8rt)] sin2 0m = 4- I/= 1 ,УТ1 = [3/(8я)]1/2 sin 0em = — 1/ = 2, m = О У5 = [5/(471)] 1/2 [(3/2) cos2 0 - 1/2]1 = 2, m = 2 Y i = [1 S/(32jc)] 1,2 sin2 0 e2"'1/ = 2, m = 1 У1 = - [1 5/(8jc)] 1/2 sin 0 cos 0 • e1*/ = 2,У71 = [15/(8я)] 1,2 sin 0 cos 0 - e -1*| УгЧ 2 = [3/(8я)] sin2 0|2 = [5/(4ti)] [(3/2) cos2 0 - 1 / 2 ] 2| Y2 12 = Г15/(32я)] sin4 0j У, 112 = [1 5/(8я)] sin2 0 cos20I У2 12 = [ 15/(871)] sin2 0 cos2 0m = —1/ = 2,m = - 2У^2 = [ 15/(32тг)31/2 • sin2 0 e 2‘4’Y22\2[I5/(32ji)]sin4 0§ 29. П рохож дение микрочастиц через потенциальный барьер 1 7 9Рассмотрим матричный элементTvmVm = fljsine (5*4 1 7 ')* Y(28.25)T d Q .Воспользовавшись рекуррентным соотношением(1 - 1 2) Р 7 = {21+1 ) " 1 {РТ+1-ния.
Если квантовое орбитальное число / равно нулю, то говорят, чтоэлектрон находится в s -состоянии,при / = 1 - В /7-СОСТОЯНИИ и т. д.Таблица 2Р Т -\1\находим, что (28.25) отлично от нуляприОрбитальное число /01 2A/и = + 1, А/ = + 1.СостояниеsрТаким образом, правило отбора дляротатораА/и = 0, +1; Л /= +1.(28.26)Пользуясь этими правилами отбора,находим для частот, излучаемых припереходах, формулыЕ г ~ Е 1± 1В_ П_Ш+~~ 2 J l l ( l +_ЯГ /(/' =' Д -(/+!) —(/—1)/!) —(/+ 1)(/ + 2)J/ - 1),1) (/' = / + 1).(28.27)Отрицательный знак частоты показывает, что при соответствующем переходе происходит не излучение, а поглощение кванта этой частоты.Классификация состояний по моменту импульса.
Состояния движенияэлектрона с различными моментамиимпульса имею т специальные назваН=Н= Радиальные функции и собственны е зн а чения энергии при движении в центрально-сим м етричномполе определяю тсяконкретным видом поля. Зависимостьволновой функции от углов для всех с ф е рически-симметричных полей одинаковаи описывается сф ери ческим и ф ункциями.*Сформулируйте все правила коммутации момента импульса и его проекций.Чем определяется четность сферическойфункции?Сформулируйте правила отбора для ротатора.Как классифицируются состояния по моментуимпульса?12*d34fдПри рассмотрении движения электронов говорят об 5-электронах,/ьэлектронах, (/-электронах и т.
д. Этоозначает, что имеются в виду электроны, орбитальные квантовые числакоторых равны 0, 1, 2 и т .д . Говоря о/7-состоянии, (/-состоянии и т.д ., имеют в виду состояния движения, в которых орбитальное квантовое числоравно 1, 3 и т.д .29. Прохождение микрочастицчерез потенциальный барьерРассматриваются прохождение микрочастиц через потенциальный барьер и соответствующиефизические явления.Определение потенциального барьера.Потенциальным барьером называетсяобласть пространства, где потенциальная энергия больше, чем в окружающих областях пространства. Рассмотрим для примера наипростейшийслучай одномерного движения с потенциальным барьером прямоугольной формы (рис 59). В областяхI ( —оо < х < 0) и I I I (а < х < оо)потенциальную энергию частицы, неограничивая общности, можно считатьравной нулю.
Область II (0 < х < а),где потенциальная энергия частицыравна Епо, является потенциальнымбарьером.Если частица, имею щая энергиюЕ, движется в области I в положи-180 6. П ростейш ие случаи движ ения микрочастиц£„ |I—прошедших частиц к плотности потока падающих частиц. Очевидно, чтоми..1D + R = 1.—у59Прямоугольный потенциальный барьертельном направлении оси X , т. е.
понаправлению к потенциальному барьеру, то, по классической теории, приЕ < Еп0 частица не сможет преодолеть потенциального барьера, поскольку ее энергия недостаточна дляэтого. В результате частица отразится от потенциального барьера, изменив направление своего движения наобратное. В случае Е > Еи 0 частицанаверняка преодолеет потенциальныйбарьер и попадет в область III, гдебудет продолжать двигаться с прежней энергией в положительном направлении оси X.Однако квантовая механика приводит к заключению, что в случаеЕ < Еп0 существует определенная вероятность проникновения частицы через потенциальный барьер из областиI в область III, а для Е > Еп0 существует определенная вероятность отражения частицы от потенциальногобарьера.
Явление проникновения частицы через потенциальный барьерназываю т туннельным эффектом. Онимеет больш ое значение в некоторыхфизических процессах.Коэффициент прохождения и коэффициент отражения. Явление прохождения через потенциальный барьер иотражения от него характеризуется спомощ ью коэффициента прохождения D потенциального барьера икоэффициента отражения R. Эти коэффициенты определяются как отнош ение плотности потока отраженных и(29.1)Прямоугольныйпотенциальныйбарьер. Рассмотрим для определенности случай Е < Е п0 и найдем коэффициенты D и R.
Уравнение Шредингера в различных областях имеет следующий вид:(I) Ч',’ + /с2 Ч \ = 0,к] = 2тЕ/Н1 = к1,(II) Ч-" - к22 Ч>2 = 0,к22 = (2т/К2)(Еп0 -(III) Ч*" + к2Ч>3 = 0,к\ = 2тЕ/К2 s к2,- Е) > О,(29.2)где ш трихами обозначены производные по х.В области I имеются как падаю щая, так и отраженная волны:Ч*! = А уё кх +(29.3)а в области I I I - только прошедшаяволна, движущаяся в положительномнаправлении оси X:Ч>2 = А 3е ‘к{х~а>.(29.4)В области I I общее решение имеет,очевидно, видЧ*2 = А 2е ~ к2х + В 2ек2 х.(29.5)П лотность потоков падающих, отраженных и прошедших частиц равнасоответственноЛ.аД = (Кк/т) K | 2,y 0Tp = -(Пк/т) {В^2,■/„рои.
= ( К к / т ) \ А 3\2,П о определению,D = \ j upoJ / \ j mn\ = \ A3\2/ \ A l \2,(29.6)Л = 1Лтр1/1Лад1 = | 5 1|2/|Л 1|2.(29.7)Из условий непрерывности волновой функции и ее производной в точках д: = 0, х = а находим следующиесоотношения между коэффициентами:А 1 + В 1 = А 2 + В 2,(29.8а)А 2е ~ к2‘ + В 2е к2° = А 3.(29.86)§ 29. П рохож дение м икрочастиц чер ез потенциальны й б а р ь е р 181i k ( At - Bi) = k2 (B2 - А 2),к г (В2е 2“А 2е к2 “) = 1кАъ.Из (29.8г), (29.86) следует, чтоА 2 = V2(l - i n ) e k2°A„В2 = V2 (l + й)е"*2“Л 3.Здесьп = к/к2 = [£ /(Еп0 - Я )]1'2.Потенциальный барьер произвольной формыТак как |1 — in\ = |1 + ш|, то из 'последних двух уравнений следует, Если, например, Е п0 — Е « 1 эВ =Дж, то коэффициент прочто \А2\ » \В2\. Поэтому можно поло = 1,6-10хожденияотличенот нуля при а «жить В 2 = 0. Решая уравнения (29.8),«10-1Ом.Вмакроскопическихявленаходимниях туннельный эффект не играетА х = (1 —in)(i + п)ек1аА г/(2п),существенной роли.Потенциальный барьер произвольВх = (1 —in)(n — i)ek2“A 3/(4n).ной формы.
Потенциальный барьерО тсю да для коэффициента прохождепроизвольной формы можно приблиния получаем выражениеженно представить в виде последовательности потенциальных барьеровИ з!216« 2exp ( —2 к2а) =D =прямоугольной формы (рис. 60). ЧисИМ2 ( 1 + и 2)2ло частиц, проникших черех некото16п1рый прямоугольный барьер, будет на- Е ) ] 112а/И}.(1 + и2)2чальным числом частиц, падающих(29.9) на следующий прямоугольный барьер,Коэффициент прохождения не слиш и т. д. Поэтому коэффициент прохождения барьера определится прибликом м ал тогда, когдаженно как произведение коэффициен1*т(Еп0- Е ) У 12а/И^ 1.
•тов прохождения через прямоугольные потенциальные барьеры. ЧислоДля электрона ( т = 9,1 • 10-31кг)вой множитель, стоящий в (29.9) прийэкспоненте,при плавном изменении:(£пО^пО £ ) - 1/2-10- М .[8 т(Еп0- Е ) ] 1/2потенциальной энергии является медленно меняющейся функцией. Такимобразом, для потенциального барьераЕп ( х ) произвольной формы коэффи* * Потенциальнымбарьеромназываетсяциент прохождения равенобласть пространства, где величина п о*тенциальной энергии больш е, чем в окружающ их областях пространства.Туннельным э ф ф ек т о м называется пр оникновение частицы ч ер ез потенциальный барьер. При туннельном эф ф е к т е вобласти потенциального барьера наруш ается закон сохранения энергии.Как объясняется холодная эмиссия электронов из металла?Чем объясняется очень большой интервалзначения постоянной радиоактивного а-распада?D = D о exp -j - -v /2 m [ £ n ( x ) - £ ] c k j(29.10)Холодная эмиссия электронов изметалла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
