А.Н. Матвеев - Атомная физика (1121290), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Частица движетсяслева направо с полной энергией Е > Еп 0 . Н айти коэффициент отражения и коэффициентпрохождения через потенциальный порог.Для электрона в одномерной потенциальной яме шириной 0,2 нм найти минимальнуюэнергию E i (на первом энергетическом уровне), разность энергий Е 2 — E i , а также длинуволны фотона с энергией Е 2 — Е 1.В первом приближении маятник можно рассматривать как осциллятор. Определитьэнергию нулевых колебаний маятника длиной 1 м, находящегося в гравитационном полеЗемли.Какая доля электронов с энергией 1 эВ пройдет через потенциальный барьер высотой 8 эВ итолщиной 0,5 и 0,3 нм?М ожно считать, что захваченная ядром а-частица находится в потенциальной яме.
Считая,что радиус ядра равен 1,4-10" 15 м, а высота потенциального барьера на поверхности ядрасоставляет 4 МэВ, определить отнесенную к 1 с вероятность выхода а-частицы из ядра приее энергии 1 и 2 МэВ.Н айти спектр энергий изотропного гармонического осциллятора, гамильтониан которогоПоток электронов с энергией 1 эВ движется к потенциальному прямоугольному барьерувысотой 10 эВ и бесконечной ширины. На каком расстоянии от поверхности потенциального барьера плотность потока ччюла электронов уменьшится в е раз по сравнению сплотностью потока на поверхности?186 6. П ростейш ие случаи движ ения микрочастиц6.8.6.9.6.10.6.11.6.12.Н айти вероятность того, что электрон в основном состоянии линейного осцилляторанаходится в пределах области его движения по классической теории.Чему равна вероятность нахождения электрона вне классических границ его движения длялинейного осциллятора в первом возбужденном состоянии?Волновая функция, описывающая состояние движения частицы в потенциальной яме (см.рис.
55), имеет вид У = А х ( а — х). Н айти разложение Ч* по собственным функциям частицыв потенциальной яме.Чему равна средняя энергия частицы в состоянии, описываемом волновой функциейвзадаче 6.10?Считая, что положительный заряд Z e распределен равномерно в объеме ядра радиуса5-10м, найти энергию связи отрицательного точечного заряда q = — е, помещенного вцентр ядра. Вычислить по соотношению неопределенностей импульс и энергию электрона,заключенного в объеме ядра. Может ли электрон находиться в ядре?О тветы6.1. [(I - V7! - Еп0/Е ) / ( 1 + V7! - £ „ о /£ )]2; ( V - £ п о /£ )/0 + v /l - £„о / Е ) 2. 6.2. 0,939 МэВ;2,82 МэВ; 0 ,4 4 -1 0 '3 нм. 6.3. 1 0 "34 Дж.
6.4. 2 ,2 -10~6; 4,3 10 4. 6.5. 0,0423; 0,124. 6.6.Кш(пх + nt + 1); пх = 0 , 1 , 2 , . . . ; я = 0 , 1 , 2 , . . . ; w = ( D / m ) '12. 6.7. 0,325 нм. 6.8.0,8427. 6.9. 0,1116. 6.10. (8Аа /7t3)[sin (плг/<з) + (1 /27) sin ( i n x / a ) + (1/125) хх sin (5 кх/а ) + . . . ] . 6.11. 1,013^!. 6.12.-4 МэВ; 4-Юкгм/с;80 МэВ; нет.30Стационарные состоянияатома водородаи спектр излучения-----------------------------------7АТ ОМ В О Д О Р О Д А ИВОДОРОДОПОДОБНЫЕАТОМЫ31Учет конечности массы ядра32Водородоподобные атомы и системы________________________________33Атомы щелочных металлов34Дублетная структураспектров щелочных металлови спин электронаА то м водородапростейшая реальная атомная система, для которой были полученыточные решения уравнений квантовой механики.
Блестящее совпадение теории с результатами экспериментов стало первым решающим подтверждением справедливости квантово-механическогоподхода к изучению явлениймикромира.188 7. Атом водорода и водо р о до п о до б н ы е атомы30. Стационарные состояния атомаводорода и спектр излученияРассматриваются свойства собственных функций, энергетический спектр атома водорода ираспределение электронной плотности в различных состояниях, а также спектр излучения.Собственные значения и собственныефункции. А том водорода являетсяпростейшим атом ом .
Он состоит изпротона и электрона, между которыми действует сила электрическогопритяжения\_Еа{г) = — е /(4яе0г)].Масса протона во много раз большемассы электрона, поэтому приближенно протон можно считать покоящ имся. Энергия такой системы из двухчастиц определяется посредством решения уравнения для радиальной части волновой функции (см. § 28):г d r\d r/2m+FE +(штрихами обозначены производныепо р). Найдем асимптотическое поведение R при р -» оо. В этом случаечленами, пропорциональными 1/р и1/р2 в уравнении (30.4), можно пренебречь, в результате чего уравнениепринимает видR" - R / 4 яв 0.(30.5)Следовательно, при р-Р/2R00(30.6)Решение с положительной экспонентой отбрасывается из-за требования конечности волновой функции.П ри р -» 0 главными членами уравнения являются члены с максимальной степенью р в знаменателе.
П оэтому при р - » ОR " + 2R'/p - 1(1 + l)R/p2 = 0.(30.7)Считая, что при р -> 0 решение R ведет себя как(30.8)+Ze2и учитывая, что4nenД ля общности в последнем уравнении заряд ядра примем равным Ze.Решая (30.1) при Z > 1, найдем энергетические уровни положительногоиона, у которого сохранился лишьодин электрон.
Д ля краткости положимА = —I m E j h 2 ,(30.2)2В = 2mZe2/(4ne0H2)R ' ~ YPr_ 1 >R"У(У -1)ру 2 >получаем из (30.8) для определения ууравнениеу(у - 1) + 2у - /(/+ 1) = 0.находим его решения:У1.2 = - 7г + s /'U + / 2 + / =р = 2у /= - ‘/ 2 ± ( / + ‘/2) = { _ / ’- Гг(30.3).Уравнение (ЗОЛ) примет при этом видR" + - R ' +Р+/(/+ 1)R=0(30.4)(30.10)Переписав уравнение (30.10) в видеу2 + у — 1(1 + 1) = 0,(30.11)и введем новую независимую переменнуюа(30.9)(30.12)Решение (30.12) с у = — / — 1 необходимо отбросить, потому что оно неявляется конечным в начале координат, как это видно из (30.8).
Такимобразом, при р -> 0R ~ p l.(30.13)§ 30. С тационарны е состояния атом а во дорода и спектр излучения 189П олагаяr = e~pl2plv,(30.14)Из последнего соотношения следует:«*+1/4 = 0 - Е к)/{к+ 1),получаем вместо (30.5) для функции vуравнениеet = (/+ 1 + В/у/Л)/(к + 21+ 2).pv" + 12 (/Ясно, что lim гк -* 0. П оэтому начи-+ 1)-р]в' +(30.20)к - * оо+ [ B ( j A - I - 1)и = 0.(30.15)Исследование асимптотическогоповедения R при р -» оо и р -» 0 показывает, что функция v на бесконечности должна расти медленнее,чем ехр(р/2), а в нуле должна бытьпостоянной или равной нулю. П оэтому эту функцию следует искать ввиде(30.16)v = X ак Рк ■к=ОП одставляя ряд (30.16) в уравнение(30.15) и перегруппировывая члены,получаемсоX ( В / ^ А - 1 - \ - к ) а крк +к= О00+ £ [2(/+ \)к + к ( к - 1)] я* р* ~1 = 0 .к=0(30.17)Приравнивая нулю коэффициентыпри одинаковых степенях р в этомряде, находим рекуррентные соотношения для определения неизвестныхкоэффициентов акak( B / y / A - l - 1 - к ) ++ ак+1(к+ 1)[2(/+ 1) + /с] = 0 ,(30.18)которые приводят к формулеа к+ 1 =а к(к +- B / J a )/[(/с/ ++1 —1) (к + 21 + 2)] .(30.19)Какова кратность вырождения уровней энергии атома водорода?Сформулируйте правило отбора для главногоквантового числа.В чем состоит физический смысл распределения плотности в электронном облаке?ная с некоторого члена к = к0 справедливо неравенствоак + \!ак ~= (1 ~ Е к)/(к+ 1) > (1 -Е* )/(1 + к ),(30.21)причем при достаточно больших к0величина гк может быть сделанасколь угодно малой.
Неравенство(30.21) показывает, что начиная с к == к0 члены ряда (30.16) растут быстрее, чем члены рядаоо п — е У1e(1_V= I------ г “- р‘ -к=0(30-22)п -П оэтому функция v, определяемаябесконечным рядом (30.16), растетбыстрее, чем функция (30.22). Числоек может быть выбрано сколь угодномалым. Следовательно, если v представляетсябесконечнымрядом(30.16), то функция (30.14) на бесконечности обращается в бесконечность, что недопустимо.
П оэтому ряд(30.16) не может быть бесконечным.Оборвем его на к, т. е. будем считать,что ак ф 0, ак+1 = ак+2 = • • • = 0. Изформулы (30.19) видно, что условиеобрыва ряда имеет видB ijA-/- 1-к= 0.(30.23)Учитывая значения величин В и А,определенных в (30.2), находим следующее выражение для уровней энергии водородоподобного атома:mZ2e* 1£ ■ = - - - ■,.32я2£оЯ2п2 ’гдеп = I + к + 1.ч(30.24а)(30.246)1 90 7 Атом водорода и в одородоп одоб ны е атомыЦелые числа п, 1 и к называю тсясоответственно главным квантовымчислом, орбитальным квантовым числом и радиальным квантовым числом.Поскольку I и к могут приниматьзначения 0, 1, 2 ,.. и т.д ., главноеквантовое число принимает значенияи = 1 ,2 , 3, .
. . .(30.25)j ( s - l ) ( q + s ) ( q + s - 1) ,_ 22\P(30.32)Сравнение (30.31) с (30.26) показывает, что уравнения совпадаю т, если в(30.31)<7 = 2 / + 1,и — / — 1 = 5 = к.Радиальные волновые функции.Уравнение (30.15) для функции v сучетом (30.23) может быть переписано следующим образом:pv” + [2 (/ + 1) — р ] v' ++ (п - / - 1)и = 0.(30.26)Следовательно,Рассмотрим функцию/ = e~pps+?.Д* = N .
i e ^ V e P '^ ’Cp)(k = n - l - 1).(30.27)Дифференцируя эту функцию по s,получаем уравнениеpj' + p f - ( s + q ) f= 0.(30.28)Дифференцируя его s + 1 раз, находимрf s+2) + iq + 1 ~ p)/(s+U + (5 + 1) / w = 0.(30.29)"v = N „ Q ^ V \(p )(30.34)и радиальная волновая функция,являю щаяся собственной функциейуравнения (30.4), записывается следующим образом:(30.35)Коэффициент N n[ находится из условия нормировки:соf R l r 2dr =О=( г / л у - 3 Nt, ] с- «р2(' + U Q f !+ “ Ш2,+ " d p = 1,ОВведем теперь новую функцию g поформуле/<s>= e-P pV(30.30)П одставляя это выражение в уравнение (30.29) и сокращая на множитель е~ррч, получаем для g уравнениеР в " + [0 + 1 - P ] g ' + s g = 0.(30.33)(30.36)где г = р /(2 у А), причем А дается равенством (30.2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
