А.Н. Матвеев - Атомная физика (1121290), страница 39
Текст из файла (страница 39)
х"/п'= < >j( z k;><c'ii)it)> =n=i = 1X ( ek \ ei ) ( e ' i \ v ) -(21.84)I^ 1Связь между представлениями оператора в различных базисах. Операторв базисе представляется матричнымиэлементами. Связь между матричными элементами оператора в различных базисах легко находится в результате представления единичногооператора в виде (21.75):(е к\Я\етУ = (ек\1А1\ет) == <*кЩ К Ж 1 М £ 1 0 < 4 1 ) 0 =ij= ' L ( ek\e'i y ( e ' i\ A \ e ' j ) ( e ' j \ em) .(21.85)i. jФункции от операторов.
И ^определения линейного оператора Я и операций сложения, умножения операторов и умножения оператора на скаляр, выражаемых формулами (21.20)(21.23), следует, что функции(2 1 .86)(2 1 .£позволяет найти оператор ехр Я длявесьма ш ирокого класса операторовЯ, а ряд1/(1 - х ) =X де",(21.89)сходящийся лиш ь в области | jc | < 1,допускает определение оператора1/(1 — Я) лишь для весьма ограниченного класса операторов Я.Производная от оператора по параметру.
Если оператор Я зависит отпараметра а, т. е. Я = Я (а), то производная по а дается формулойdA (а)А (а + Аа) - А (а)= lim. (21.90)daДаОАаВ базисном представлении матричные элементы оператора d ^ ( a ) /d aвыражаю тся производными по а отсоответствующих матричных элементов оператора А.Важным для квантовой механикиявляется операторА (а) = ехр (а В),(21.91)где В -эр м и т о в оператор. Выбирая в§ 21.
Линейные конечномерные векторные пространства 141качестве базиса представления собственный базис оператора В, находимd A (a)/da = Sexp (а В) = BA (a) = A (a) B.ровать представленную этими данными ситуацию.Из условия нормировки |У ) следует,что<(Ч/ |Ч/ ) = )(х|2 4- |(3|2 +Такую же формулу можно получить и + | у | 2 = 1 . Собственные значениянепосредственно из представления энергии равны Е х = h со, Е 2 = Нсо,оператора ехр (а В) в виде ряда Е 3 = 2/zco. Вероятность при измерении энергии получить результаты /гсо(2 1 .88):или 2/zco равны | а |2 + | р |2 или | у |2. Вd " а" Я"* пап ~ 1Я"результате измерений система переLu|Luи!ходит в стационарные состоянияd a „ = o «!„=1(а1 1 > + р | 2 » ( | а | 2 + | р | 2Г 1/2 или |3>.а" Я"аВСобственными векторами опера= ветора А служат векторы (| 1) + |2 ) ) /v/2,» -!(И - 1)!(21.93)(| 1) — 1 2 ))Д /2 ,1 3 ), а соответствуюЭ го доказательство справедливо так- щие собственные значения равны а,— а, 2а.
Вероятности получения приже и для неэрмитова оператора В. Из(21.92) заключаем, что решением диф измерении физической величины А вференциального уравнения для опера состоянии Iх? ) значений а, —а, 2аравны | a + р 12/2, | a - J 3 | 2/2, | у | 2. Втора Арезультате измерения А система пеdA{a)/da = В А (а)(21.94)реходит в стационарные состояния(11 > + 12 » 2 -1^2 , (11> — 12 > )2 “ 1/2 ,является13 ). Величина А может быть измеренаодновременно с В. Собственными век(21.95)A (a) = D exp [J£(p)dp],торами оператора В являются векторыгде D = Л(0).
В (21.95) предполагается |1>, (|2> + | 3 » 2 _1/2, (| 2 ) — 13 )) 2 /2,независимость оператора б от а и а соответствующие собственные знасуществование экспоненциального опе чения равны 2Ь, Ь, —Ь. Вероятностиполучения при измерении физическойратора в правой части равенства.величины В в состоянии I 'P ) значенийПример 21.1. В трехмерном про 2Ь, Ь, —Ь равны |а | , |р + у |2/2_;странстве состояний в базисе собст |р — у |2/2. В результате измерения Ввенных векторов | 1), 12 ), |3 ) опера система переходит в собственные сотор Н и операторы физических вели стояния оператора В, зависимость отчин А и В имею т видвремени которых представляется в виде(21.92)/ 1 0 0\/ о 1 о''Н = На I 0 1 0 \ , A = a l \ 0 0\ 0 0 1/2В=Ь0\ 0 0 2)е“‘“ ' | 1>, (е“,ю( | 2) + е“ 2,“ '|3 » Д /2 ,| 2> —е “ 2‘“' | 3 ))Д/2.0 001.0 1 оСистема находится в состоянии | ¥ ) == а | 1 ) + р |2 ) + у |3 ) , где Iх? ) - н о р мированный кет-вектор.
П роанализиОдновременное измерение энергии иВ невозможно, за исключением случая, когда a = 1, р = у = 0.Если кет-вектор | ¥ ) представляетсостояние системы в момент времени1 4 2 5. Основные понятия теории представлений{ = 0, то в момент t ф 0 состояниесистемы описывается кет-вектором| ¥ (?)> = е~‘ш а \ 1 > + е ~ 'ю'р 12 ) ++ еу 13 ). Средние значения различных величин А и В задаю тся формулами ( А ) = (а*Р + р * а + 2 1у 12)а,<(В } = ( 2 | а | 2 + р * у е _ ,“ ‘ + у*|3е'®‘)&,из которых следует, чтоd < i>d<5>= 0, — — Ф 0.Atdt22.Линейные бесконечномерные векторные пространстваИзлагаются основные понятия и результатытеории бесконечномерных векторных пространств.Бесконечномерный вектор.
Из определения размерности векторного пространства заключаем, что в нем числолинейно независимых векторов бесконечно. Следовательно, ортонормированный базис состоит из бесконечного числа ортов и в базисном представлении вектор описывается бесконечным числом проекций.Теория линейного конечномерного векторного пространства, рассм отренная в § 21, справедлива при любыхконечных размерностях, в том числе исколь угодно больших. Это означает,что теория бесконечномерных линейных векторных пространств можетбыть построена исходя из теории конечномерного векторного пространства при стремлении числа измеренийк бесконечности, т.
е. обобщением результатов § 21 на случай бесконечногочисла измерений.Из-за отсутствия наглядного образа бесконечномерного абстрактного вектора целесообразно при обобщении теории конечномерного вектора исходить из базисного представления, в котором вектор характеризуется совокупностью чисел, взятыхв определенной последовательности.Число членов последовательностиравно размерности пространства. Вэтом представлении обобщение теории конечномерных линейных векторных пространств на бесконечномерный случай сравнительно просто.Рассмотрим функцию f(x), заданную на интервале (а, Ь). Разобьемэтот интервал на отрезки, ограниченные точками x t = а, х 2, х 3,х„ = b,причем точки записаны в порядке возрастания х. Совокупность чисел\ f ( x i), Д х 2), f ( x 3), ..., Дх„)} будемрассматривать как базисное представление кет-вектора [см.
(21.35)](22 . 1)Соответствующий(21.45)]бра-вектор( и , / 1 - { Л ( ^ ) , / * ( х 2), - ., / * ( * „ ) } .[см.(22-2)Совокупность п чисел, равных значениям функции д(х) в тех же точкахX j, х 2 , . . . , х „, является базиснымпредставлением вектора | п, д ). А налогично можно говорить и о другихвекторах, которые образую тся значениями других функций в точках х х,х 2 , . . . , х „ . Этим путем осуществляется построение всех возможных векторов линейного векторного «-мерногопространства.
Совокупность значений {f(x ,), / ( х 2), ..., f(x „) \ описываетприближенно поведение функции /(х )на интервале (а, Ь). Увеличение числаточек разбиения интервала (а, Ь) исоответствующее уменьшение интервала между точками приводят в пределе при п -> оо к базисному представлению вектора, число проекций которого бесконечно, т. е. к бесконеч-§ 22. Л инейные бескон ечн ом ерн ы е векторные пространства 143номерному вектору. Следовательно,функцию /(х ) можно рассматриватькак базисное представление бесконечномерного кет-вектораI /W M ,<Л - / * ( * ) .(22.3)Здесь число /(х )-п р о е к ц и я вектора| / ) на орт |х > , т. е./(дг) = < * | / > ,(22.4)где <(х| = | х ) + . Ф ормулы (22.3) и(22.4) являю тся в сущности лишь обобщением обозначений и понятий наслучай бесконечномерных векторов.Однако их смысл в случае бесконечномерных векторных пространств необходимо уточнить.Скалярное произведение.
В конечномерном случае скалярное произведение векторовl« J>ff(x i)\fix2/ д (х i)д ( х 2)IИ. S')(22 .66 )Условие полноты и нормировка базисных векторов. Условие (21.75) полноты базисных векторов | х ) с учетомнепрерывности х имеет тот же вид, нос заменой суммы на интеграл:| | х ') (х' |dx' = I.(22.7)У множим обе стороны равенства(22.7) слева на <(х| и справа на |/ ) :b^ ( x \ x ' ) ( x ' \ f ) d x ' = <x \ l \ f ) = ( x \ f ) .( 22 .
8 )Н а основании (22.4) равенство (22.8)принимает видК х Iх' >/(*') dx' = f(x).(22.9)1(22.5),д(хп)\А*п)в соответствии с (21.466) выражаетсяформулой< и , 0 | и , / > = X 9* (* .)/(* ,) •<0l/> = $g*(x)f{x)dx.(22.6а)Она имеет определенный смысл и м ожет быть использована при лю бомсколь угодно больш ом значении п, ноне имеет смысла при п -> оо и, следовательно, нуждается в видоизменениипри обобщении на бесконечномерноелинейное пространство. Это видоизменение очевидно: при переходе отдискретных значений х, к непрерывноизменяющейся величине х сумма в(22.6а) переходит в интеграл, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
