А.Н. Матвеев - Атомная физика (1121290), страница 36
Текст из файла (страница 36)
д. сами являю тсяпредставлением более абстрактныхвеличин, лежащих в основе квантовоймеханики. Это конкретное представУ 219ление называется координатным илих-представлением. Для решения многих задач оно наиболее целесообразно и просто. Однако для решениядругих задач предпочтительнее пользоваться каким-либо другим представлением, например импульсным,или ^-представлением. Примеры та кого рода будут встречаться и в этойкниге.
Важно отметить, что задачапри этом может быть сформулирована и решена непосредственно, например в ^-представлении, минуя координатное представление. Выбор того или иного представления диктуетсяособенностями задачи. Исследованиеобщих вопросов теории обычно проводят без конкретного представления,т. е. в абстрактном представленииквантовой механики.В § 16-19 основные положенияквантовой механики были сформулированы в х-представлении.
Переход кизложению квантовой механики вабстрактном представлении аналогичен, например, переходу в классической механике или электродинамике от координатного изложения теории к бескоординатному. Д ля этогоиспользуется понятие вектора и всеоперации выражаю тся в виде операций непосредственно с векторами.Н адобность в координатной системепри этом отпадает.Основным понятием квантовоймеханики, с помощ ью которого описывается состояние, является вектор,называемый вектором состояния.Однако в отличие от классическоймеханики вектор состояния даже дляодной частицы является бесконечномерным.
Совокупность всех такихвекторов составляет пространство, вкотором оперирует квантовая механика. Д ля удовлетворения принципасуперпозиции состояний квантовоймеханики это пространство должно130 5. Основные понятия теории представленийбыть линейным. Обобщение свойствтрехмерных векторов на многомерные векторы конечного числа измерений проводится без всяких осложнений. Переход к бесконечномернымвекторам требует некоторых уточнений.
П оэтому сначала будет изложенатеория конечномерных векторныхпространств (см. § 21), а затем (см.§ 22) даны уточнения теории дляперехода к бесконечномерным векторным пространствам.21. Линейные конечномерные векторныепространстваИзлагаются основные понятия и результатытеории конечномерных векторных пространств.Линейное векторное пространство. Линейным векторным пространствомназывается совокупность векторов{vi, v2, v3, .
. для которых определены:1) операция сложения, удовлетворяю щ ая требованиям:а) сумма любых двух векторовпринадлежит тому же пространству;б) коммутативностиv. + v/ = v, + v;;в) ассоциативности(21.1а)Vf +(21.16)(V ,+ V*) = (V,. + V;) + v*;г) существования нулевого элемента О, ДЛЯ КОТОРОГО При ЛЮбоМ V;справедливо равенствоV; + 0 = vf;(21.1в)д) существования для каждого элемента V, такого единственного элемента ( —V,), чтоv, + ( —v() = 0;(21Л г)2) операция умножения векторовна скаляры {а, (3, ...} , удовлетворяю щая требованиям:а) замкнутости (т. е.
произведениелю бого вектора на скаляр принадлежит тому же пространству);б) распределительности умножения(а + P)v, = av,- + Pv;,(21.2а)а (у,- + Vj) = av,- + av,-;(21,26)в) сочетательности умноженияa(Pv,.) = (aP)v,.(21.2в)Совокупность чисел {a, (3, ...} называется полем, на котором определено рассматриваемое векторное пространство. Если скаляры - вещественные числа, то векторное пространствовещественно, а если комплексныекомплексное.Все эти определения являю тсяпрямым обобщением правил оперирования с трехмерными векторамиобычного пространства.Линейно независимые векторы. Совокупность векторов {vj, v2, .
. . , v„}называется линейно независимой, еслимежду ними не существует линейногосоотношения видапZ V rO ,(21.3)i= 1за исключением тривиального случая,когда все= 0.Если между векторами возможноравенство (21.3), то лю бой из векторов Vj при Оу ф 0 может быть выраженчерез остальные.Разномерность линейного пространства и его базис. Пространство имеетразмерность п, если в нем не существует больше чем п линейно независимых векторов. Если в и-мерномпространстве имеются некоторые плинейно независимых векторов v1? v2,.
. . , v„, то лю бой другой вектор vможет быть выражен через эти линейно независимые векторы, потомучто совокупность векторов {v, vl5 v2,. . . , v„}, по определению, линейно за§ 21Линейные конечном ерны е векторные пространства 131висима, т. е. выполняется равенствопav + X a .v. = °>(21-4)V= -(21 5)I= 1из которого следует, чтоX(a .
/ a ) V,-I- 1Нетрудно доказать, что коэффициенты разложения v по векторам v, в(21.5) единственны. В самом деле, если имеется другое представлениеv =ZP.V( 2 1 -6 )(= 1то, вычитая (21.6) почленно из (21.5),получаемпО = £ ( - a ,/ a - P,)v,.(21.7)■- iОтсю да ввиду линейной независимости v, следует, что—a,/а —Р, = 0,(21.8)т. е. р, = —а ,/а .
Единственность представления (21.5) доказана.Совокупность векторов v, называется базисом пространства, а коэффициенты Рt- проекциями вектора \ вэтом базисе.Скалярное произведение векторов.Скалярное произведение векторов v, и\j, обозначаемоеявляетсячислом, удовлетворяю щ им следующим требованиям:1) < » , > > о (О только приV, = 0),(21.9а)2) < » > ,> = < » > ,> * ,(2196)3) < i;,|a Vj + pi?fc> == a< i;J|i;/ > + P < i;,|^ > .(21 9в)В формулах (21.9) для обозначенияскалярного произведения вместо круглых использованы угловые скобки, авместо точ ки -верти кальн ая черта.Это позволит в последующем перейти к обозначениям Д ирака для векторов, которые наиболее удобны дляквантовой механики.
В (21.96) звездочкой обозначено комплексное сопряжение. К роме того, надо обратитьвнимание, что в (21.9) буквы vt и v}набраны светлым ш рифтом, а не полужирным, т. е. векторный характер v,и \j обозначен угловыми скобками, ане полужирным шрифтом.Равенство (21.9в) показывает, чтоскалярное произведение линейно относительно второго вектора в произведении. Однако относительно первого вектора оно антилинейно:(av, + P r j O = a*(vl jvk) + $*(vj\vk).(21.9г)Это соотношение получается из(21.9в) с учетом (21.96) следующимобразом:(av, + Р и ,Ю = (vk\av, + Р^>* == (<*<Хк> + Р<>ьК »* ==+ P*<fjK >Модулем или нормой вектора называется число | v | = ^ / ( v | v ). Вектор, модуль которого равен единице,называется единичным.
Д ва вектораназываю тся ортогональными, если ихскалярное произведение равно нулю.Совокупность векторов {е1? е2, .е„}называется ортонормированной, еслидля всех векторов этой совокупностисоблю даю тся условия< е ,Ю = 8ц,(2110)где 8 - символ Кронекера.Скалярное произведение удовлетворяет важному неравенству\ ( v l\vJ) \ 2 ^ \ v f - \ v J\2,(21.11)называемому неравенством Шварца.В обычном трехмерном пространствеоно очевидно, потому что косинусугла между векторами по модулю1 3 2 5 Основные понятия теории представленийравен или меньше единицы. Д ля доказательства в общем случае рассмотрим векторV = V, v / r J i O / K I 2.(21.12а)If, + Vj\2 < к I2 + к I2 + 2 k l k l == ( k l + K I)2(21.16)эквивалентное (21.13).Сопряженные векторы.
В теории лиСоотношение (21.9а) для него при нейных векторных пространств больнимает видшое значение имею т понятия контравариантного и ковариантного векто<г, - vJ ( v J \ v , ' ) / \ v J \2 \ v l - v J( v J \ v , ' ) / \ v J \2 ') =ров и соответствующих проекций.= < kk> - < k k > < k k > /k l2 Эти векторы при переходе от одногобазиса к другому преобразую тся по-<^к>*<^к>/к12 +разному.
Однако при рассмотрении+ < ^ к > Ч ^ к > < ^ к > /к 1 4 == k l 2 - \ ( v l\vJ) \ 2l\vJ\2 > 0 ,(21.126) векторных пространств нельзя ограничиться лишь одним типом вектогде в последнем равенстве использо ров (контравариантным или ковавана формула (21.96). Из (21.126) сле риантным), потому что при этом недует (21.11), что и требовалось до удается решить важнейшую задачуказать.теории - анализ инвариантов преобВ трехмерном обычном простран разований. Обычно контравариантстве известно неравенство треуголь ные и ковариантные величины разлиника: длина стороны треугольника чаю тся положением обозначающихменьше суммы длин двух других сто их индексов.
Например, - ковариантрон. В общем случае многомерных ный вектор, е^-контравариантны йвекторов неравенство треугольника вектор. Эти векторы принадлежатзаписывается в видеразличнымлинейнымвекторнымI”, + tjl < k l + \Vj\(21.13) пространствам. Поэтому их нельзяскладывать между собой. СкалярноеД ля доказательства этого неравенст произведение определяется как операва заметим, чтоция умножения между ковариантными контравариантным векторами, чтоIf, + v/ = <k + f j k + Vj) =и обеспечивает инвариантность этого= k l2+ k l2 + <kk> + <kk> =произведения.= k i 2 + k i 2 + 2 Re<t>,k>,(2 U 4 )Лишь после введения метрикипространства можно скалярное прогдеизведение вы разить либо только че<kk> + <kk> = <kk> + <u.i uj>* =рез ковариантные, либо только через= 2Re<t>,| Vj).контравариантные величины и как быликвидировать различие между коваПоскольку для лю бого комплексного риантными и контравариантными векчисла z справедливо неравенство торами.В квантовой механике вектор соRez ^ |г |, соотношение (21.14) принистояния характеризуется обычно немает видодним, а несколькими параметрамиk + v j \ 2 ^ k l 2 + к I2 + 2| <г, | Tj) |.или символами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
