А.Н. Матвеев - Атомная физика (1121290), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Это возможно в том случае,когда по каким-либо причинам нельзя определить состояние с помощ ьюполного набора величин и надо довольствоваться неполным описанием.В этом случае в результате измеренийфизических величин в рассматриваемой системе можно установить:а) какие чистые состояния 4%, Ч<2,Ч»3, ... присутствуют в исследуемомсостоянии, поскольку известно, какимчистым состояниям соответствую т теили иные значения физических величин;б) вероятности0>2, 0>ъ, ..., скоторыми чистые состояния 4 ^ , *Р2,Ч'з, ...
присутствуют в исследуемомсостоянии, поскольку вероятностьможет быть вычислена по относительной частоте появления того илииного результата измерения.Однако по этим данным невозможно построить волновую функциюисследуемого состояния, потому чтов ожидаемом на основании принципасуперпозиции представлении'V = l a n'i>n(18.22)Лизвестны лиш ь квадраты модулейкоэффициентов \ап\2 = 0>п, но неизвестны сами коэффициенты. Коэффициенты ап известны лишь с точностьюдо фазовых множителей ехр(/а„).
Т аким образом, волновая функция вэтом случае остается неопределенной.Состояния, которым нельзя сопостаv) 18 Представление динамических переменны х посредством о ператоров 11Бвить никакую волновую функцию, называются смешанными.Смешанные состояния описываются набором волновых функций 4%,4*2, 4*3, ... чистых состояний, входящих в смешанное состояние, и набором вероятностей # 15 ,^ 2, ^ 3, ..., скоторыми чистые состояния 4^, 4,2,4*3, ... входят в смешанное.Зная наборы волновых функцийчистых состояний и соответствующиевероятности, можно вычислять средние значения физических величин всмешанном состоянии. Если физическая величина представлена оператором А, то ее среднее значение(A) = l^ J ^ A % d V .(18.23)Сравним (18.23) с формулой длясреднего в чистом состоянии, т.
е. втом случае, когда состояние описывается формулой (18.22):( А ) = j 4 ' * A 4 < d V = £ a * a „ j 4 )* A 4 )„dV +П+ Il a * a m^ * A ^ mdV =п ф т т= ^ „ ^ A 4 > ndV+ Xппф т т(18.24)Гейзенберг Вернер(1901-1976)Немецкий физик, один изсоздателей современнойфизики, создательквантовой механики (вматричнойформулировке), авторпринципанеопределенности Авторважных работ поструктуре атомного ядра,релятивистскойквантовой механике,квантовой теории поля,теории ферромагнетизма,философииестествознанияСравнение (18.23) с (18.24) показывает, что в выражении для среднего вчистом состоянии присутствует дополнительный член, учитывающийинтерференцию различных состояний, входящих в чистое состояние.Следовательно, смешанное состояниеесть некогерентная смесь составляю щих его чистых состояний, а чистоесостояние есть когерентная смесь составляю щ их его чистых состояний.П римером смешанного состоянияможет служить состояние молекулгаза, находящегося в тепловом равновесии, если имеется в виду их тепловое движение (а не внутреннее состояние).
В этом случае волновыми функциями чистых состояний, входящих всмешанное состояние, являю тся плоские волны, а соответствующие вероятности даю тся распределениемМ аксвелла.Соотношениенеопределенностей.Вычислим ком мутатор операторовкоординаты х и импульса р. У читывая (17.7), находим^ ~ИдИдИ[р „ , х ] = ----- х — х ------= (18.25)i дхi дхiАналогичныеются и дляорцинаты ипроекции этихкоммутируют.IЯ. Я = °-соотношения получадругих проекций коимпульса.
Различныеоператоров, очевидно,Например,(18.26)Из (18.25) следует, что координата иимпульс при измерении не могутдавать одновременно определенныхзначений. Измеряя одновременно участицы в некотором состоянии координату и импульс, мы будем получать значения этих величин, разбросанные около некоторых средних.Такой разброс величин в математикехарактеризуется дисперсией или сред-116 4 Основные положения квантовой механикиним квадратичным отклонением. Соотношение неопределенностей, установленное Гейзенбергом и поэтомуназываемое соотношением неопределенностей Гейзенберга, выражаетсвязь между дисперсией координатыи импульса частицы.СоотношениенеопределенностейГейзенберга.
Обозначим ( х ) и ( р )средние значения координаты и импульсачастицы(дляпростотынаписания рассматриваем одно измерение). Дисперсии, характеризующиеразброс величин около их среднихзначений, вычисляются по формулам<(Лх)2> = { (х - < х » 2 > = < х2> - 2 < х < х » + О ) 2 = <х2> - <х>2,(18.27)<(Др)2> = <(Р~ О » 2) = О 2) - 2<рО>> ++ О ) 2 = <Р2> - <р У •(18.28)$$*О дноврем енно измеримы динам ическиепеременны е,которые представляютсякоммутирующ ими операторами.Состояния,описы ваемы еполностьюопр еделен н ой волновой функцией, называются чистыми состояниями С остояния, которым нельзя сопоставить никакойволновой функции, называются см еш а н ными состояниями.
Смеш анные состоя нияописываюсянабор омволновыхфункций чистых состояний, входящ их всм еш ан н ое состояни е, и вероятностями, скоторыми чистые состояния входят всм еш ан н ое состояние.С оотнош ение неопр еделенностей является математическим выражением наличияу частиц как корпускулярных, так и волн овых свойств. П оэтому оно является объ ек тивной законом ерностью , отражающейобъективные свойства микрочастиц, и необусловливается теми или иными о с о б е н ностями изм ерен ия соотвествую щ их величин в конкретном эксперименте.Как вычисляются сред н и е значения ди н ам и ч еских перем енных?Напиш ите выраж ения для о п ераторов ко о р д и наты, им пульса, м ом ента им пульса, потенциальной энергииЧто такое гамильтониан и оператор полнойэнергии частицы?Что м ож н о сказать об оп ераторе функциидинам ических перем енных?Для дальнейших расчетов удобно выбрать такую систему координат, вкоторой средняя величина координаты частицы и ее средний импульсравны нулю: ( х ) = 0, ( р ) = 0.
В этойсистеме координатсо<(Дх)2> = <х2> = { y¥*(x)x2x¥(x)dx, (18.29)- хX<(Лр)2> = 0 2>= J T*(x)p2T(x)dx =—X•Э ^ х )-Ах.ёх2(18.30)Соотношениенеопределенностейустанавливает связь между((Ах)2)иДля нахождения этойсвязи рассмотрим интегралd>P(x)/(0 =dx■£х¥(х)dx,(18.31)являющимсяположительно-определенной функциейвещественнойпеременнойОн равен7(0 = А^2 + С,(18.32а)гдеА = J x2vp*ipd x = <(ДХ)2^/ dvp*d¥\х ( ^ —¥ + ¥ * — )dx =В= -= -(18.326)dxdx/f x — 0F*¥)dx = - x 4 '* 'F |“ 00 +, dx+ J 'P*'P dx= 1,(1 8 .3 2 b )- XXC=d¥* d¥-dx = —dx dx= <P2>/fi2 = <(AP)2)/^ 2.d2T— - dx =dx( 1 8 .3 2 r)§ 1 8 . П редставление динамических переменны х посредством оп ераторов 117Условие положительности величиныI(Q на основании теоремы о корняхквадратного уравнения имеет вид4 А С ^ В 2.(18.33)Отсюда, заменив А, В, С их выражениями из (18.32б)-(18.32г) и извлекаяиз обеих частей неравенства кореньквадратный, получим соотношение неопределенностейУ < (Л *)2 > У < (Л р )2> > й/2,(18.34)которое показывает, что импульс икоордината частицы не могут одновременно иметь определенные значения и минимально возможное произведение дисперсий координат и им пульсов ограничивается постояннойПланка.Величины^ /((А х )2)иу / ((&Р)2) не могут быть одновременно равными нулю.
Соотношение неопределенностей является м атем атическим выражением наличия у частицкак корпускулярных, так и волновыхсвойств.Соотношениенеопределенностеймежду произвольными физическимивеличинами. Соотношение неопределенностей (18.34) может быть обобщено на произвольные физические величины. Пусть имеются две физические величины L и М, операторы которых L и М. М етодом, который былиспользован при получении соотношениянеопределенностей(18.34),может быть получено также и соотношение неопределенностей для величин £ и М , если только известен ком мутатор этих операторов:[L, М ] = iK,(18.35)где К -э р м и т о в оператор. Это соотношение имеет видv / < ( A l F > у < (Л М )2~> > ' - \ ( К У I,(18.36)где <(АL)2) и < (AM)2) -средние квадратичные отклонения рассм атриваемых физических величин:((AL)2) = ( ( L - ( L » 2>,<(ДМ)2> = < ( М - < М » 2>,(18.37)а |< К ) |- м о д у л ь среднего значения К.Введем обозначенияДL = L — <L>, ДМ = М - <М>и аналогичноинтеграл(18.31)(18.38)рассмотрим(18.39)I Q = J lK A L - ;A M )T |2 dKкоторыйявляется положительноопределенной функциейИспользуясвойство самосопряженности операторов AL и АМ и определение среднего, имеемI ® = \(CAL- iAM^ ^AL * + iAM*y¥*AV== $'¥*{t;AL+ iAM)&AL-iAM)'i'dV == j¥ * {?2(AL)2 - i^lAL, AM] ++ (AM)2}¥dK = г;2<(Д£)2 > - i^(\_AL, AM]) + <(ДМ )2>.(18.40)Принимая во внимание, что [AL,AM] = [L, М ] = iK, и пользуясь условием(18.33)неотрицательности(18.40), находим:У < (Д L)2) У < (Д М )2> ^< К > |,(18.41)что и требовалось получить.Обычно для упрощения соотнош ение (18.41) записываю т в видеALAM ^ 1-\ ( к у \ .(18.42)При этом необходимо учесть, что ALи AM в (18.42)-к о р н и квадратные издисперсий.Таким образом, соотношение неопределенностей, которое существуетмеждуфизическимивеличинами,полностью определяется правилом118 4.
Основные полож ения квантовой механикикоммутации этих физических вели в цилиндрической системе координат:чин. Отсюда, в частности, следует,И8(18.46)что если операторы двух физических L, = ----- .i 8срвеличин коммутирую т, то эти физические величины могут иметь одно Перестановочное соотношение для срвременно определенные значения, так и L z находится аналогично (18.25):как произведение их дисперсий равноИнулю [см. (18.17)].(18.47)[L z, ф] = Рассмотрим некоторые применения общей формулы (18.42) к конкрет Следовательно, в формуле (18.35)ным случаям. Прежде всего получим надо положитьс ее помощ ью соотношение неопре(18.48)деленности для координаты и им L = Lz, М = ф, iK = h/i,пульса, найденных в (18.34) непосред тогда [см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
