А.Н. Матвеев - Атомная физика (1121290), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Из условия сам осопряженности (17.10), записанногодля и„ и ит в видеju*Aumd V = jumA*i/*dV,(17.15)с учетом (17.14) следует, что(17.12)( К - К ) ^ * и пd v = 0 .(17.16)т. е. собственное значение X самосопряженного оператора А является действительным числом.Ортогональность собственных функций. Собственные функции линейногосамосопряженного оператора, принадлежащие различным собственнымзначениям, ортогональны друг другу,т.
е. интеграл по всей области изменения независимых переменных от произведения одной из них на функцию,комплексно сопряженную с другой,равен нулю. Пусть и„ и ит~ собственные функции оператора А, принадлежащие различным собственным знаТак как Хт Ф Хп, то получаем (17.13),что и требовалось доказать.Условие самосопряженности произведения двух самосопряженных операторов. Пусть операторы А и В сам осопряженные, т. е. удовлетворяю т условию (17.10). Учитывая самосопряженность оператора А, имеем**]v*ABudV=\uB*A*v*dV.*Функцией называется правило, по котором у числу сопоставляется число, а о п е ратором называется правило, по которому функции сопоставляется функция.Собственные значения эрмитовых оп ер аторов вещ ественны е числаСобственные функции эрмитовых о п е р а торов, принадлеж ащ ие различным с о б ственным значениям, ортогональны другдругу.Что такое вы рож денны е собственны е зн ач ения?Чем отличаю тся условия норм ировки для д и с кретного и непреры вного спектров соб ствен ных значений?Что такое полнота систем ы собственны хфункций линейных операторов?j v * A B u d V = j(BuJA*v*dV.(17.17)Из условия самосопряженности оператора В следуетf ( 3 u ) A * v * d V = \ ( A * v *) ( S u ) d V == luB*A*v* d V(17.18)Таким образом,(17.19)Отсю да видно, чтопроизведение двух самосопряженныхоператоров является самосопряженным оператором только в том случае,когда эти операторы коммутируют.Нормировка собственных функций.Собственные функции определяютсялишь с точностью до произвольногопостоянного множителя.
Этот м ножитель можно подобрать так, чтобысобственные функции были норм иро108 4. О сновны е полож ения квантовой механикиваны на единицу:\ и* и пd K = 1.(17.20)Полнотасистемы собственныхфункций. В теории линейных операторов доказывается, что система собственных функций широкого класса линейных операторов является полнойортогональной системой функций,т.
е. не существует функции, котораябыла бы ортогональной всем функциям системы. Исходя из этого утверждения доказывается, что лю баяфункция, удовлетворяю щ ая весьмашироким математическим условиям,которые в физических приложениях,как правило, выполняются, можетбыть разложена по полной ортогональной системе собственных функций линейного оператора, т. е. представлена в виде бесконечного рядаи = а 1и1 + а2и2 + ■■■ + апи„ +(17.21)где ап-постоянны е чйсла, называемые коэффициентами разложения.Эти коэффициенты разложения могутбыть найдены путем умножения обеихчастей равенства (17.21) на собственную функцию и? и интегрирования пообласти изменения переменных.
Ввиду условия (17.13) все интегралы справа, за исключением члена с номером /,обращ аю тся в нуль, а интеграл отпроизведения uf ut на основании (17.20)равен единице. П оэтому для коэффициента а{ в (17.21) получаема; = \ufudV.(17.22)О тметим, что собственные функциимогут нумероваться не одним индексом, а некоторой совокупностью индексов. В этом случае в выписанныхвыше формулах под индексами, которыми обозначаю т собственные функции, следует понимать совокупностьиндексов, а суммирование в (17.21)как суммирование по различным совокупностям индексов. Условия ортогональности (17.13) и (17.20) можнозаписать в виде единой формулы:Ju*umd V = 6 nm =f 1 (и = т),(0 ( п ф т).(17.23)Если п и т означаю т некоторую совокупность индексов, то п = т понимается как равенство соответствую щих индексов из совокупностей, обозначенных п я т .Вырожденные собственные значения.
Пусть одному и тому же собственному значению принадлежит неодна собственная функция, а несколько. В этом случае данное собственноезначение называем вырожденным.Собственные функции, принадлежащие вырожденному собственному значению, вообще говоря, не ортогональны друг другу, но ортогональныдругим собственным функциям, принадлежащим другим собственнымзначениям. Однако с помощ ью процесса ортогонализации (см. § 2 1 )собственные функции, принадлежащиевырожденному собственному значению, всегда можно подобрать так,чтобы они были ортогональны другдругу.Непрерывный спектр собственныхзначений.
В предшествующем изложении формулы выписывались применительно к дискретному спектру собственных значений. В случае непрерывного спектра некоторые формулыизменяются. Пусть оператор А имеетнепрерывный спектр собственных значений X. Собственную функцию, принадлежащую собственному значениюX, обозначим U), причем предполагается, что число X изменяется непрерывно.Условие ортогональности (17.13)собственных функций, принадлежащих различным собственным значениям, полностью сохраняется для непрерывного спектра:§ 1 7 .
О сновны е сведения из теории операторов 109\ u* u , . d V = b (к ф \ ') .( 17.24)Однако норм ировать собственныефункции непрерывного спектра наединицу, как в дискретном спектре,нельзя, потому что интеграл от квадрата модуля собственной функции непрерывного спектра обращ ается вбесконечность:\и*икd ^ = со.(17.25)П оэтому собственные функции непрерывного спектра нормирую т с помощ ью дельта-функцииО (к ф 0),(17.26)8(Х) =оо (к = 0),причем(17.27)Основное свойство 8-функции, которое легко доказывается с помощ ью[еоремы о среднем, состоит в том,что для широкого класса функций f ( k )выполняется равенствоh.( 0 [)i вне (а, ЬУ\,а(/(*•) |> внутри (а, />)].(17.28)Таким образом, 8 (А.) является предельным случаем некоторой функции,которая стремится к нулю во всехточках X, отличных от нуля, а вблизинуля стремится к бесконечности так,что интеграл по области, вклю чаю щей нулевую точку, равен единице.Вместо условия ортонормированности (17.23) для дискретного спектра вслучае непрерывного спектра имеем\u*uk.dV= 5 (А -А ').(17.29)ставляю т непрерывное множество чисел ал и находятся из условия$ u * u d V = fu*dVfaAu;dX = j a xc/Xju*uxdK == JaAdA.5(A/- А.) = а А..(17.31)Если спектр отчасти непрерывный,отчасти дискретный, то разложениенекоторой функции по собственнымфункциям является суммой ряда(17.21) и интеграла (17.30):“ = Е а»"п + К " А .(17.32)ппричем коэффициенты а„ и ах определяю тся формулами (17.22) и (17.31).Суммирование и интегрирование в(17.32) распространено на всю область изменения соответствующихпеременных.Формула для суммы произведенийсобственных функций.
Из формулы(17.21) для разложения произвольнойфункции по системе собственных функций может быть получено важное соотношение для суммы произведенийсобственных функций. П одставляя(17.22) в (17.21), находими{х) = X a,«iW ==L K * (x ')M (x ')d х'щ(х)=I= \dx'u(x') [^Kf(x')K,(x)].(17.33)Сравнивая (17.33) с (17.28), заклю чаем, что£ uf{x') м,(х) = 5(х — х').(17.34)1 Аналогичное соотношение може!быть получено и в случае непрерывного спектра. П одставляя (17.31) в(17.30), находими(х) = $axux(x)dX =Разложение некоторой функции пособственным функциям непрерывногоспектра имеет види = {яяиЛdA,(17.30)О тсю да следует, чтопричем коэффициенты я, теперь со\u*(x’)ux{x)dX = 5 (х — х ’).= §ux(x)dX$u* (х')и(х') dx' == $dx'u(x')$u*(x')ux(x)dX.(17.35)(17.36)1 1 0 4.
Основные положения квантовой механики18. Представление динамическихпеременных посредством операторовИзлагается физическая интерпретация математическою аппарата квантовой механикиПостулаты квантовой механики. Вклассической механике для описаниядвижения частиц используются координаты, импульсы частиц и другиефизические величины, называемые динамическими переменными. В каждыймомент времени они имею т определенные числовые значения.
Главнаязадача описания движения частиц вклассической механике состоит в определении зависимости динамическихпеременных от времени.В квантовой механике можно говорить лишь о вероятности того илииного значения динамической переменной и о среднем значении динамической переменной, а не об ее определенном числовом значении в данныймомент времени и изменении этогозначения со временем.
Поэтому классическое описание движения частицыи выражение динамических переменных в виде функций времени теряю тсмысл. Основные положения квантовой механики аксиоматически могутбыть сформулированы в виде следующих четырех постулатов (более общая формулировка этих постулатовдана в § 23).1.
Состояние движения частицыописывается волновой функцией Ч\2. К аж дая динамическая переменная представляется определенным линейным эрмитовым оператором.3. При измерении числового значения некоторой динамической переменной, изображаемой операторомА, с определенной вероятностью получается одно из чисел A.l5 Х2, ..., Хп,...,являющихся собственными значениями оператора А.Вероятность получения при измерении того или иного значениявычисляется с помощ ью следующегоправила. Обозначим ип собственныефункции оператора А измеряемой динамической переменной^U„ = X„U„,которые составляю т полную ортонормированную систему, и разложимнормированную волновую функциюпо этой системе собственных функций:У = Ъ атиттВероятность того, что при измерении динамической переменной А будет получено числовое значение Хп,равна \ап\2.4.Волновая функция 4* подчиняется уравнению Шредингера (16.16).Вычисление средних значений динамических переменных.
В теории вероятностей среднее значение величины ( А ) , принимающей значенияХ„(п = 1, 2, ...) с вероятностями \ап\г,вычисляется по формуле<Л> = £ > „ К | 2.( 18.1)пЭто правило может быть обобщено:среднее значение динамической переменной, представляемой операторомА, в состоянии, характеризуемом волновой функцией Ч*, задается формулой(А) = ^ A V d V .( 18.2)Если представитьи Ч** в видерядов (17.21) и подставить полученные ряды в (18.2), то, произведя необходимые действия, получим формулу(18.1), что доказывает обоснованность (18.2).Оператор координаты.
Операторы,представляющие динамические переменные, должны быть самосопряженными эрмитовыми операторами. Вы§ 1 8 . Представление динамических переменны х посредством о ператоров 111бор их конкретного вида определяетсясогласием полученных с их помощ ьюрезультатов с экспериментами.Величина Ч, *(х)Ч,(х) характеризует плотность вероятности нахождения частицы в точке х (для простотынаписания формул рассматриваемслучай одного измерения). Следовательно, среднее значение координаты( х ) = |T*(A')T(x)xdx = j4F*(x)x4'(x)dx.(18.3)Сравнение (18.3) с (18.2) показывает,что в качестве оператора координатых следует вы брать оператор умножения на эту координату, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
