А.Н. Матвеев - Атомная физика (1121290), страница 27
Текст из файла (страница 27)
24 3.3. 1 0 " 12 м 3.4. 5,1 10 14 м 3.5. 13,6 В 3.6. 3 10 11 с 3.7. - 1 3 ,6 эВ3,4 эВ, - 1 ,8 эВ 3.8. 10,2 В 3.9. 1 06 1 0 '10 м, 6,8 эВ 3.10. 1,37 107 м/с 3.11. 1,25 105 с 13.12.4,27 105 с 1 3.13.2,6 10 13 м 3.14. а) 4,12 10 ' 6 с -1 , б) 2,19 106 м/с, в) 13,2 эВ,г) -2 7 ,2 эВ, д) — 13,6 эВ 3.15.9,13 10“ м /с2 8,31 10 10 Н 3.16.7 1015 Гц,1,13 мА, 13,3 Тл 3.17. 0,1 нм 3.18.3 3.19.2,3 10 14 м 3.20.0,039 м3.21. 91,2 нм, 820,6 нм164Уравнение ШредингераОСНОВНЫЕПОЛОЖЕНИЯКВАНТОВОЙМЕХАНИКИ17Основные сведенияиз теории операторов18Представлениединамических переменныхпосредством операторов19Изменениединамических переменныхво времени7 219Квантовая механика изучает объект, который невстречается в классической физикеи называется квантовым.
В классической физике он проявляет с е бя либо частицей, либо волной взависимости от обстоятельств, од нако теряя при этом часть свойствквантового объекта. Поэтому классические образы, понятия, пространственно-временные соотношения и т. д. в применении к квантовому объекту, теряют свой привычный смысл, но используютсяза неимением других, а также потому, что квантовый объект является нам всегда в такой ситуации, когда эти образы, понятия,пространственно-временные соотношения и т.д. имеют (хотя и приблизительно)свойпривычныйсмысл.
В квантовой модели необходимы также и другие образы,понятия и т.д., не имеющие классических аналогов, но позволяющие объяснить наблюдаемые з а кономерностибезнаглядногопредставления о происходящем.4. О сновны е полож ения квантовой механики16. Уравнение ШредингераОбсуждаются условия применимости уравненияШредингера, свойства волновой функции и еенормировка, физический смысл собственныхфункций и собственных значений, принцип суперпозиции состояний.Уравнение Шредингера.
Изложенные в§10 соображения, которые привели кформулировке уравнения Ш редингера(10.5), следует рассм атривать лишькак наводящие соображения.Уравнение Шредингера (10.5) является новым уравнением физики, неявляющимся дифференциальным уравнением классической физики. Его дифференциальная ф орма является лишьнаиболее близким к классической форме представлением. Свидетельствомквантового характера этого уравнения является присутствие в нем постоянной Планка h.Уравнение Шредингера записывается в двух наиболее распространенных формах. Его запись в формеV2¥ (г) + (2m/h2) [Е - Еп(г)] Ч» (г) = 0(16.1)более удобна для нахождения функции(г) как решения дифференциального уравнения.Другая ф орма записит> = EV,(16.2)гдеЯ = —[й2/(2т)] V2 + £ п(г),(16.3)более удобна для исследования принципиальных вопросов квантовой м еханики и обобщения уравнения Шредингера.
Обе формы записи будут вдальнейш ем обсуждаться и использоваться.Стационарные состояния. Уравнение Ш редингера (16.1) описывает состояние движения корпускулы, которое не изменяется во времени и осуществляется при постоянной энергиикорпускулы. Такое состояние называется стационарным. Ошибочно думать, что в стационарном состояниикорпускула каким-то образом перемещается с течением времени из однойточки в другую, движется по какой-тотраектории и т.
д. Движение корпускулы в классической механике понимается как ее перемещение в пространстве с течением времени. Движение корпускулы в квантовой механикепонимается в более ш ироком философском смысле (Аристотель) как изменение вообще. Поэтомудвижение связано не с пребыванием встационарном состоянии, а с изменением стационарного состояния. Этоимеет глубокий смысл, потому что вмире что-то происходит только тогда, когда что-то изменяется. Если ничего не изменяется, то ничего и непроисходит.Если бы все составные части мираперешли в стационарное состояние,то этот переход был бы величайшимсобытием в истории Вселенной, послекоторого она перестала бы существовать. С этим событием м огло бысравниться лиш ь другое событие, когда из некоторого стационарного состояния Вселенная перешла в нестационарное состояние, в котором онаи пребывает сейчас. Это другое величайшее событие - возникновение Вселенной.
Возможно, «большой взрыв»,происшедший около 10-15 млрд. летназад, в результате которого образовалась Вселенная, и был этим переходом из стационарного состояния внестационарное. Но этого никто незнает, потому что о состоянии Вселенной до взрыва современная наукане может сообщ ить ничего вразумительного, хотя уже давно занимаетсяэтим вопросом.Состояние Вселенной в целом неявляется стационарным, но ее состав§ 1 6 . У равнение Ш редингера .99ные части (например, атомы) могут ной, однозначной и конечной во всехнаходиться в стационарных состояни точках. Если потенциальная энергияях. Однако если бы они пребывали Е п(х,у, z) имеет поверхности разрывавечно в этих состояниях, то с ними непрерывности, то на таких поверхничего не происходило бы и наука не ностях функцияи ее первая произзнала бы об их существовании.
Их водная должны оставаться непрерывсуществование обнаруживаем тогда, ными. В области пространства, где Епкогда они изменяю т свое стационар обращ ается в бесконечность, волноное состояние. В сущности говоря, вая функция ¥ должна быть равнатолько это и интересует науку, а не нулю. Непрерывность SP требует, чтосами по себе стационарные состоя бы на границе этой области функцияния.
Однако, чтобы изучить измене Ч* обращ алась в нуль.ния стационарных состояний, необхоУсловие нормировки волновой функдимо знать сами стационарные со ции. Волновая функция определяетсястояния. Другими словами,линейным уравнением с точностью достационарные состояния никаких со постоянного множителя, который можбытий в физическом мире не пред но вы брать так, чтобы удовлетворитьставляют, но позволяют понять и опи интерпретации l ^ l 2 =как плотсать события, происходящие в физи ности вероятности.
Так как vf'*vf'd\xlj’d zческом мире. Стационарные состоя вероятность нахождения частицы вния являю тся фундаментальным ис элементе объема dxdydz, тоходным моментом описания физичесj'P*'Pdxd>'dz = 1(16.4)кого мира.Офизических свойствах стационарпоказывает, что частица существует иных состояний уже говорилось в § 5, и находится где-то в пространстве.
И нздесь нет необходимости повторять тегрирование в (16.4) распространеносказанное. О тметим только еще раз на все пространство, хотя эффективнонаиболее фундаментальное свойство оно сводится к интегрированию постационарного состояния - его единст той области пространства, где плотво в том смысле, которое разъяснено ность вероятности нахождения частив § 5. Из физических свойств стаци цы отлична от нуля, т. е.
области, гдеонарных состояний вытекают м ате частицы наверняка нет (| 'Т' |2 = 0), исматическиетребования,которые ключаются из интегрирования в (16.4).предъявляю тся к волновой функцииРавенство (16.4) называется усло(х, у, z), описывающей стационар вием нормировки волновой функции.ное состояние.Такая нормировка возможна при дисМатематические требования к вол кретном спектре собственных значеновой функции. Волновая функцияний.
При непрерывном спектре собстявляется решением дифференциаль венных значений интеграл от l ^ l 2 обного уравнения (16.1), а [Ч1(х, у, z)\2- ращ ается в бесконечность и поэтомуплотностью вероятности нахождения используется другая нормировка, очастицы в точке (x,y,z). Другими сло которой сказано ниже.вами, | У (х, y,z) |2 dxdydz - вероятностьСобственные функции и собственнахождения частицы в объеме dxdydz ные значения.
Уравнение Шредингерав окрестности точки (x,y,z). Отсюда (16.1) имеет решения, удовлетворяю следует, чтощие перечисленным выше требованифункция ¥ должна быть непрерыв ям не при любых значениях Е, а лишь1 0 0 4. О сновны е полож ения квантовой механикипри некоторых, которые будем обозначать Е 1, Е 2, ..., Еп, . .. . Значения Е ,при которых (16.1) имеет решения,обладаю щ ие указанными свойствами,т.е. E t , Е 2, ..., Еп, .
. . , называю тсясобственными значениями, а функцииЧ ^, 4*2, . . . ,. . . , являющиесярешениями уравнения (16.1) при Е == Е 2, Е = Е 2, ..., Е = Еп, . . . собственными функциями, принадлежащими собственным значениям Е 1, Е 2,..., Е п.Ортогональность собственных функций. Две собственные функции, принадлежащие различным собственнымзначениям, ортогональны друг другу,т. е. интеграл от произведения однойиз этих функций на функцию, комплексно сопряженную с другой, взятыйпо всей области интегрирования, равен нулю.Для доказательства выпишем уравнение Шредингера в виде (10.5) дляфункции Ч,п и комплексно сопряженной с ней функции Ч**.:V24>„ + (2m/h2)(En - Еп)Ч>„ = 0,(16.4а)V2¥„*.
+ (2m/h2) (£„, - Еп) Ч»? = 0.(16.46)У множая первое уравнение на Ч/*.,в т о р о е -н а Ч>„ и вычитая почленно изпервого уравнения второе, получаемш*т72ш __ ш у2ш* »T n'vппуп' ~+ (2m/h2)(En - E n,)4>*4>n = Q.(16.5)Разность первых двух членов можнопреобразовать по формулеш*у2ш—ф п уч 2Ч>*=А и' ’пп= V (4, *V4,„ - Ч^УЧ»*) = div А,(16.6а)гдеА = Ч^.УЧ^ - Ч^УЧ»* .(16.66)Поэтому предыдущее равенство м ож но записать следующим образом:div А + (2m/h2)(En - £„.)Ч'*Ч'„ = 0.П роинтегрируем(16.7)последнее соотношение по некоторому объему V:jd iv A d F + (2m/h2)(E„ - ЕП)\Ч>*4 ndV= 0.vvПервый интегралО строградскоговать в интегралограничивающейпо теореме Г ауссаможно преобразопо поверхности S,объем V:j div Ad F = |А ■dS = J AndS.v(16.8)(16.9)sПринимая, что K->oo, и считая,что на бесконечности функции Ч/ стремятся к нулю достаточно быстро, такчто А стремится к нулю быстрее, чем1/г2, где г -р а д и у с сферы, внутри которой заключен рассматриваемый объем, получаем( £ „ - £ „ ) j 4'*4’„dF= 0.(16.10)К — осЗначит, при Е п фj y ^ n d x d y d z = 0 (п ф и')(16.11)Таким образом,собственные функции, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны друг другу.Условие нормировки и условиеортогональности:f 1 (n = ri),fVi'V.dxdydz = §„„■ = | 0 {пф п,^(16-12)где 5„„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
