А.Н. Матвеев - Атомная физика (1121290), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Если рассм отреть круговые орбиты электронов ватоме, то, согласно Бору, стационарными являю тся лишь те орбиты, придвижении по которым момент импульса L электрона равен целому числу86 3. Д искретность атомны х состояний/7=349Схема боровских круговых орбит и переходов между нимиЕ,зВ-2лиш ь дискретное множество орбит,характеризуемых условием (14.13).С помощ ью этого правила квантования нетрудно найти круговые стационарные орбиты водородоподобного атом а и соответствующие энергии. В водородоподобном атоме электрон с зарядом е вращается вокругядра с зарядом Ze.
М асса ядра многобольше массы электрона. Поэтомуядро можно считать неподвижным, аэлектрон - движущимся вокруг ядрапо окружности радиуса г.Действующая на электрон со стороны ядра сила притяжения Ze2/(4ne0r2)равна центростремительному ускорению электрона v 2/ r , умноженному наего массу:Z e 2j ( A m 0r 2) = m v 2/r.-6--8--10--12 -(1 4 .1 4 )Потенциальная и полная энергии электрона в поле ядра равны соответственно£ п = - Z e 2i(4m0r),Е = Е к + Е п = - Ze2/(%ne0r).(14.15)Серия-4-ВальмераИз правила квантования следует, чтоm2v2 = n2h2lr2.(14.16)Исключая из (14.14) и (14.16) и,получаем радиус стационарной орбиты-154яе0/г2 1 ,-13,53г —---------- п .Серия"Лаймана50Уровни энергии стационарных состоянийэлектрона в атоме водородапостоянных П ланка й:L = rih (n = 1, 2, 3, ...).(14.13)Целое число п называется квантовымчислом.Это правило квантования выделяет из всего множества орбит, допускаемых классической механикой,т е2(14.17)ZРадиус первой орбиты (и = 1) ватом е водорода (Z = 1) равенап = 4ле°йо,529 • 10“ 10 м(14.18)и называется первым воровским радиусом.
Схематически круговые стационарные орбиты в атом е водородаизображены на рис. 49.Энергия Еп электрона, находящегося на п-й стационарной орбите,определяется формулой (14.15), в которой под г следует понимать радиусi? 14 Ядерная м о д ел ь атома 87гп п-й орбиты. Следовательно,mZ2e4 1(14.19)Е.
=3 2 л 2Ео/г2 п 2Э та формула описывает уровни энергии стационарных состояний электрона в атоме водорода (рис. 50). Прип -* оо уровни энергии сгущаются ксвоему предельному значению Е , = 0.Состояние атом а с наименьшей энергией (п = 1) называется основным.Обобщение правил квантования наэллиптические орбиты.
Круговые орбиты являются частным случаем орбиты электрона, движущегося в кулоновском поле ядра. В общем случаедвижение электрона происходит поэллиптическим орбитам. Обобщениеправил квантования на эллиптическиеорбиты было выполнено Ч. Вильсоном и А. Зоммерфельдом.■ Механическая система с j степенями свободы описывается с помощ ьюобобщенных координат q, (г = 1, 2,. . .
, J) и обобщенных импульсов p t,которые определяю тся формулойР, = SEJdqt,где isK- кинетическая энергия системы, q - производные по времени отобобщенных координат. Если систем а имеет j степеней свободы, то на еедвижение с помощ ью j квантовых чисел и, (г = 1, 2, . . . , j) накладывается jквантовых условий, имеющих вид§P,d<7, = 2л/ги, (и, = 1, 2, 3, ...;|= 1 ,2 ,. ..,/ ) .(14.20)В этом выражении в качестве обобщенных координат ql выбираю тся такиекоординаты, которые разделяю тся,т.
е. в которых каждый импульс р ,является функцией только от соответствующей обобщенной координаты qt. В качестве области интегрирования выбирается вся область изменения соответствующей переменной.Условия (14.20) позволяю т из всегомыслимого по классической теориимножества движений выделить некоторое счетное множество фактическидопустимых движений, т.
е. проквантовать движение системы.Рассмотрим квантование эллиптических орбит водородоподобного атома. В качестве обобщенных координат выберем полярный угол ф и расстояние г электрона от начала координат совпадающ его с точкой нахождения ядра, имеющего заряд eZ.Кинетическая энергияЕк = 1/2т(г2 + г 2ф2)(14.21)и, следовательно, обобщенные им пульсыР у = 8 E J 8 ф = т г 2ф = const,p r = S E J d r = тг,где постоянство p v - следствие центрального характера действующих сил.Запишем закон сохранения энергии:Е = £ к - Z e 2/ ( 4 n e 0r) == (Pr + p l / r 2)/{2m) - Z e 2j ( 4 m 0r).(14.22)Поскольку в случае плоского движения система обладает двумя степенями свободы, всего имеется два квантовых условия (14.20):|р„с1ф = 2я/ш„,(14.23)§prd r = 2 n h n r ,(14.24)где целые числа п и пг называю тсяазимутальным и радиальным квантовыми числами.Из условия р(р = L = const следует,чтоP<p = L = n (ph,(14.25)где учтено, что ф изменяется от 0 до 2п.Чтобы выполнить радиальное квантование (14.24), надо выразить обобщенный импульс рг в виде функции от88 3 Дискретность атомных состоянийг.
Из (14.22) следует рг = (А + 25/г ++ С/г2)112, гдеА = 2тЕ, В = mZe2/{4ne0), С = и2й2.(14.26)Поэтому условие радиального квантования (14.24) имеет вид§ (А + 2В)г + С/г2)112 dr = 2пНпг,(14.27)причем область интегрирования включает в себя все возможные значения г,т. е. от минимального значения домаксимального и обратно до минимального.
Минимальные и максимальные значения г являю тся теми значениями, при которых подынтегральное выражение обращ ается в нуль.Физически это соответствует тому,что в этих точках максимальногоприближения электрона к ядру и м аксимального удаления электрона отядра радиальная скорость электронаобращ ается в нуль, а следовательно,обращ ается в нуль и радиальный им пульс р г = тг = 0. Интеграл (14.27) вычисляется обычными методами и равен$04 + 2В/г + С/г2)1'2dr =гдеR = Z 2e4m/(32n2Eo/i3).= - 2ni ( у / с - В/у/А) (I = у / ^ \ ) .Итак,iZe2 т4яЧ у /Ъ п Е= (и„ + пг) кОтсю даZ 2eAm132я2Еой2 (nr + nv\Z 2eAm 132л Еой ижением для энергии (14.19) в случаекруговых орбит, мы видим, что дляэллиптических орбит получаются теже значения энергии, что и для круговых орбит, с той лишь разницей, чтовходящее в выражение энергии длякруговых орбит квантовое число оказывается суммой азимутального и радиального квантовых чисел.
У словиями квантования (14.23) и (14.24) изнепрерывного множества всевозможных эллипсов отбираю тся лишь определенные эллипсы, размеры и формакоторых определяются квантовымичисламии пг, причем все эллипсы,для которых+ nr = const, энергетически эквивалентны определенной круговой орбите.Спектральные серии атома водорода. В соответствии с условием частотБора излучение атом а происходитпри переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую. П ользуясь выражением (14.28), находим,что частота излучаемого светасо„, = R(l/l2 - 1/и2),(14.30)Е = -(14.28)где введено целое положительное числоП = пг + и„,(14.29)называемое главным квантовым числом. Сравнивая выражение (14.28) дляэнергии стационарных состояний вслучае эллиптических орбит с выра-(14.31)Ф ормула (14.30) по виду совпадает сф ормулами (13.1)—(13.5), найденнымиэмпирически для частот, излучаемыхатом ом водорода.
Величина R, вычисленная по (14.31), при Z = 1 сочень большой точностью совпадав!с величиной R в формулах (13.1)—(13.5),которая была найдена экспериментально. Ф ормула (14.30), полученнаяна основе элементарной квантовойтеории Бора, правильно описываетспектр атом а водорода.Различные серии в спектре излучения атом а водорода образую тся врезультате перехода электрона с внешних орбит на определенную внутренню ю орбиту.f} 14 Ядерная м о д ел ь атомаСерия Бальм ера (13.1) испускаетсяв результате переходов электрона стретьей, четвертой орбит и т.
д. навторую орбиту. Эти переходы показаны стрелками на рис. 49. СерияЛ айм ана (13.2) получается в результате переходов электрона со второй,третьей орбит и т. д. на первую орбиту (штриховые стрелки). Остальныесерии соответствую т переходам натретью , четвертую орбиты и т. д.Переходы, приводящие к излучению различных линий в спектре атом а водорода, могут быть также изображены на схеме уровней энергииатом а.
Н а рис. 50 стрелками показаны переходы, приводящие к излучению линий серии Бальмера, Л айм анаи Пашена.Энергия ионизации атома водорода.Если атом поглощ ает энергию извне,то энергия электрона увеличивается ион переходит на более внешнюю орбиту. Если сообщенная электронуэнергия достаточно велика, то он м о жет перейти на орбиту с п = go, т.е.покинуть пределы атома. В результате этого атом ионизуется. Энергия,необходимая для этого, называетсяэнергией ионизации.
Энергия ионизации для атом а водорода в основномсостоянии (п = 1) на основании (14.19)равна£„„„ = т е 4/(32л2е ^ 2) = 13,6 эВ.('14.32')^Главной особен ностью столкновений ачастиц достаточно больш ой энергии сатомами, свидетельствую щ ей о б ядернойм одели атома, является и зм ен ен и е направления движения а-частиц в результате столкновения на очень больш ие углы,близкие к 180Почему в модели атома Томсона невозможноотклонение а-частиц в результате столкновения с атомом на очень большие углы, близкиек 180о?В чем планетарная модель атома несовместима с представлениями классической ф изики?В чем состоят главные недостатки теорииатома Бора?Это теоретическое значение для энергии ионизации находится в хорошемсогласии со значением, полученным врезультате экспериментальных измерений.Спектр иона гелия.
Простейшимпосле атома водорода водородоподобным атом ом является ион гелия Не +.Вокруг ядра с зарядом Z = 2 в этоматоме вращается один электрон. Формула (14.30) в рассм атриваем ом случае может быть записана следующимобразом:Й„, = 4Я (1//2 - 1/и2),(14.33)гдеR = те*/(32к2£ & 3)(14.34)-постоянная Ридберга для атом а водорода.В крайней ультрафиолетовой части спектра иона гелия лежит серияй„,! = 4 Я ( 1 / 1 2 - 1/и2).(14.35)Серия®я. 2 = 4Я (1 /22 - 1/и2) == Я [ 1 / 1 2 - 1/(и/2)2](14.36)имеет частоты, которые при п = 4, 6,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
