А.Н. Матвеев - Атомная физика (1121290), страница 20
Текст из файла (страница 20)
В частности, изнее нетрудно получить как формулуС теф ан а-Б ольц м ан а (11.1), так и закон смещения Вина (11.3).Противоречие формулы Планказакономерностям классической физики. В рамках классической физикиформулу (11.17) получить не удается.В формуле (11.10) ( £ ) является средней энергией излучения, приходящейся на частоту со. Естественнопредположить, чтов состоянии*Черными называются тела, которые п оглощают всю падаю щ ую на них электромагнитную энергию.Ч ерное тепо явпяется н аи бол ее э ф ф е к тивным излучателем тепловой радиации.Р асп редел ен и е энергии по спектру и зл учения черного тела описывается ф о р м у лой Планка.Закон см ещ ения Вина опр еделяет длинуволны, на которую приходится максимальная плотность распределения э н е р гии теплового излучения черного тела подлинам волн.Закон С теф ан а-Б ол ьц м ан а утверждает,что энергетическая светимость поверхн ости пропорциональна четвертой степениабсолютной термодинамической тем пературы.Н аправлениераспространения,поляризация и ф а за волны вынужденного и злучения совпадаю т с соответствующ имихарактеристиками вынуждающего и зл учения.П олож ениемаксимумаспектральнойплотности излучения черного тела зав и сит от шкалы, для которой определяетсяспектральная плотность излучения.
Максим ум спектральной плотности и зл уч ения по шкале частот приходится на б о п е едлинны е вопны, чем по шкале длин вопн.В чем состоит причина различного положенияэтого максимума.термодинамического равновесия онаравна средней энергии осцилляторов,излучающих и поглощ ающ их излучение этой частоты. Если бы этого равенства не было, то энергия должнабыла бы перетекать от поля излученияк осцилляторам или наоборот. Тогдапод ( £ ) можно понимать среднююэнергию осцилляторов, испускающихизлучение частотой со.Распределение числа осцилляторов по энергиям должно подчинятьсяраспределению Больцмана.
Следовательно, число осцилляторов, имею щих энергию Е ,N(E) = Ае~Е/ (кТ) = Ае~*Е[а = 1/(/сГ)].(11.18)В классической физике осцилляторы могут иметь всевозможные энергии, т. е. Е в (11.18)-непреры вная величина. Средняя энергия осцилляторов в этом случаеСОA f Ее~ЕпкГ) d Е< * > = ^ ---------------=A J e - E«*T> d Eо=д °?U - ° E d E = kT .да 0(П-19)П одставляя (11.19) в (11.10), получаем формулу Рэлея-Д ж инса (11.12).Это не удивительно, потому что привыводе (11.19) мы провели в явномвиде вычисления, которые при выводеф ормулы (11.12) содержались в теореме о равнораспределении энергиипо степеням свободы статистическойсистемы. Вычисления, приведшие к(11.19), сделаны для того, чтобы найти путь к теоретическому выводуформулы (11.17), которая просто угадана.
Н а этом пути П ланком былсделан первый ш аг к созданию квантовой теории.§ 11Дискретность квантовых состоянийи введение представления о квантовании энергии. Д ля теоретического вывода формулы (11.17) Планк предположил, что осциллятор может обладать не лю бой энергией, а лишь дискретным набором энергий, пропорциональных минимальной энергии Е ^Еп = пЕ, (л = 0, 1, 2,...).(11.20)Средняя энергия осциллятораСОI< £ > = ^ ------------- =л= 0S00= ----- У е_0,£1п =8а «=о—, а = —.1кТ( 1 1 .2 1 )П одставим (11.21) в (11.10):«гwa (T) =к2с3 еЕ^ кТ) - Г( 11. 22)где Е 1 остается пока неизвестной величиной.
Д ля того чтобы эта форм ула совпала с интерполяционнойформулой, правильно описывающейспектр излучения черного тела, необходимо принятьЕ1 = йсо.(11.23)Планк Макс(1858-1947)Немецкий физик,основоположникквантовой теории Ввел(1900) квант действия и,исходя из идеи квантов,вывел закон излучения,названный его именемИ злучение черного тела 73Таким образом, чтобы получитьформулу (11.17), правильно описывающ ую спектр излучения черного тела,пришлось допустить, что осцилляторне может обладать лю бой энергией, аможет иметь лишь дискретный наборэнергий. Осцилляторами моделируются атом ы вещества стенок оболочки полости.
Следовательно,внутренняя энергия атом ов не можетизменяться непрерывно, а изменяетсяскачками, т. е. атом может обладатьлиш ь энергией из некоторого дискретного ряда значений. Это обстоятельство выражается также словами,что энергия атом а квантуется.Если характеризовать состояниеатом а его энергией, то можно сказать, что состояния атом а дискретны.Представлениеоквантованииэнергии и о дискретности атомныхсостояний совершенно чуждо классической физике, поскольку там состояние движения механической системы и ее энергия могут изменятьсятолько непрерывно.Квантовые переходы.
Каждое издискретных состояний атом а характеризуется своей энергией. В этом состоянии атом пребывает некотороевремя, и состояние называется стационарным. При п е р е х о д е в другоесостояние с меньшей энергией разность энергий АЕ испускается в видекванта света, частота ю которого связана с энергией АЕ соотношениемю = AE/h. М ожет быть также совершен п е р е х о д из стационарного состояния с меньшей энергией в стационарное состояние с большей энергией,но для этого необходимо, чтобы энергия АЕ была сообщена атому извне.Это случается при поглощении атом ом кванта света частотой ю = AE/h.Спонтанные и вынужденные п е р е х о д ы .
Пользуясь представлением опереходе атом ов из одного стацио74 3. Д искретность атомны х состоянийнарного состояния в другое при поглощении и излучении квантов света,можно простым методом, предложенным Эйнштейном, получить формулу Планка для излучения черноготела.Пусть имеется замкнутая полость,стенки которой нагреты до некоторойтемпературы Т и излучают и поглощ аю т фотоны. При излучении фотонаатом переходит с более высокогоэнергетического уровня на более низкий энергетический уровень. При поглощении фотона наблю дается перескок атом а с более низкого энергетического уровня на более высокий.Таким образом,с более низкого энергетического уровня на более высокий энергетическийуровень атом может перейти только врезультате поглощения фотона, т.
е.только вынужденно, в результате воздействия на него поля излучения.Самопроизвольно, или спонтанно,т. е. без воздействия внешнего поляизлучения, атом перейти на более высокий энергетический уровень не м ожет, так как это противоречило бызакону сохранения энергии.Возможны переходы атом а с болеевысокого энергетического уровня наболее низкий двух видов: во-первых,вынужденные, обусловленные внешними по отношению к атом у причинами; во-вторых, самопроизвольные,илиспонтанные,обусловленныевнутренними причинами.Коэффициенты Эйнштейна.
В равновесном состоянии справедлив принцип детального равновесия, согласнокоторому прямые и обратные процессы по каждому пути должны компенсировать друг друга. Применим принцип детального равновесия к двумстационарным состояниям атома,характеризующ имся квантовыми числами п и т . Энергии этих квантовыхсостояний обозначим Еп и Ет, причемдля определенности Еп > Ет. П рям ы ми и обратны ми процессами являются квантовые переходы атом а между стационарными состояниями.С уровня п на уровень т возм ож ны как спонтанные, так и вынужденные переходы, а с уровня т на уровень п - только вынужденные. О бозначим А пт отнесенную к единице времени вероятность, что атом из состояния п спонтанно перескакивает в состояние т, излучив фотон энергииШ = Еп — Ет.
Если N „ - концентрацияатом ов на уровне п, то в единицувремени в единице объема спонтаннона уровень т перейдет число атом ов<m = Nn Anm.(11.24)Обозначим Впт отнесенную к единице времени и единице спектральнойплотности излучения вероятность то го, что атом вынужденно, под воздействием внешнего поля излучения,перейдет из состояния п в состояние тс излучением фотона, энергия которого Ы = Еп — Е т. Число атом ов, вынужденно перешедших в единицеобъема в единицу времени с уровня пна уровень т,vB= N и w(о ^Вп т * .(11.25)v nm'>Наконец, пусть В тп- отнесенная кединице времени и единице спектральной плотности излучения вероятность того, что атом вынужденноперейдет с уровня т на уровень п споглощением кванта /ко = Еп — Ет.Очевидно, что если JVm- концентрация атом ов на уровне т, то в единицувремени в единице объема на уровеньп вынужденно перейдет число атом овvB(11.26)>у тп = N т wа> Втп .VВеличины А пт, Впт, Втп называю тсякоэффициентами Эйнштейна.Условия равновесия.
В случае равновесия концентрации N n и N m в сос§ 12. Опыты Ф р а н к а -Г е р ц а 75тояниях п и т не должны изменятьсясо временем. Это означает, что частота переходов с верхнего уровня нанижний равна частоте переходов снижнего уровня на верхний:Vе+1 vB(1127)у птv nm = vBv тп'\•'“ 'УПринимая во внимание (11.24) —(11 -26), получаемN„ Апт + N n wm В„т = N m wa Втп. (11.28)Согласно распределению Больцмана,концентрация атом ов с энергией Епропорциональна ехр [ —Е/(кТ)']:N„ = A ^ E^ kT\ N m = A t~ E^ kT).(11.29)П одставляя (11.29) в (11.28), находим- ЕтЦкТ)пт 1(11.30)-условие равновесия между излучением и черным телом.Формула Планка.
При неограниченномувеличениитемпературыспектральная плотность излучения w0)должна увеличиваться до бесконечности (wra-> 00 при Т-> оо). П оэтому, разделив обе части (11.30) наwm при Т-> оо, находимBnm = Bmn,(11.31)т. е. вероятность вынужденного перехода с верхнего уровня на нижнийравна вероятностивынужденногоперехода с нижнего уровня на верхний.С учетом (11.31) из (11.30) следует,что спектральная плотность излучения1(11.32)Вп т е‘1Теоретически определить A nm/B nm вформуле (11.32) элементарная квантовая теория излучения черного тела нев состоянии.
Однако можно воспользоваться следующими соображениями. При достаточно малых частотах,когда Иш/(кТ) « 1, ехр [кы/(кТ)~\ х 1 ++ /гю/(/сТ), формула (11.32) принимает видА„т кТ(11.33)В„„ йсоСравнение (11.33) с формулой РэлеяДжинса (11.12) показывает, что(11.34)AnJBnm = йсо3/(я2с3).Поэтому [см. (11.32)]Ясо31(11.35)Это формула Планка для излучениячерного тела.Таким образом, соображения, основанные на представлении о стационарных состояниях атом ов и об излучении атом ов как результате перехода атом а из одного квантового состояния в другое, позволяю т получитьзакон излучения черного тела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
