А.Н. Матвеев - Атомная физика (1121290), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Ясно, чтоэти соотношения должны быть релятивистски инвариантными.Состояниедвижениям атериальной частицы характеризуетсячетырехмерным вектором энергииимпульса (px,p y,p z,iE/c). Плоскаяволна характеризуется совокупностьювеличин (kx,k y, k z, ia>/c), которые также образую т четырехмерный вектор.Релятивистски инвариантное соотношение между этими двумя векторамидолжно иметь следующий вид:8.где И = 1,05-10~34 Дж •с-п о сто ян н аяПланка. Основанные на этом предположении эксперименты в последующем полностью это обосновали.
С оотношенияВолны де БройляОбсуждаются уравнения де Бройля и свойстваволн де Бройля. Показывается несостоятельность представления о частице как о волновомпакете.Уравнения де Бройля. Наличие у светакорпускулярных свойств в течениедлительного времени оставалось незамеченным. После обнаружения уэлектромагнитных волн корпускулярных свойств возникает вопрос, необладаю т ли, в свою очередь, м атеГкх = Гку = Гкг = ~со = к ' ’(8Л)где h ' - некоторая постоянная, илиЕ = h' со,р = /г'к,(8.2)где р и к - трехмерный вектор импульса частицы и волновой вектор. ДеБройль отождествил постоянную h' в(8.2) с универсальной постоянной И,входящей в формулы (1.2) и (1.7), т.
е.принял, чтоh' = Н,(8.3)Е = йсо,(8.4)р = /гк,(8.5)выражающиесвязьмеждукорпускулярными и волновыми свойствами частиц, называю тся уравнениями де Бройля.f; 8 Волны де Б рой ля 57Плоские волны и фазовая скорость. И з оптики известно, что плоская волна с частотой ю и волновымвектором к может быть представленав комплексной форме в виде функции4?(r,t) = Л е -,(ш' - к г),(8.6)где А -ам п л и ту д а волны. Н а основании уравнений (8.4) и (8.5) можносказать, что волновые свойства частицы, имеющей импульс р и энергиюЕ, описываются плоской волной34Распределение амплитуд в группе волнТак как v < с, тофазовая скороеib волн де Бройля- т(£' - р О(8-7) всегда больше скорости света.Ч*(г, f) = Ае нОднако это не составляет какого-либо противоречия с теорией отноФазовой скоростью волны назысительности, которая запрещает сувается скорость, с которой движутсяществование скоростей, больших скоточки волны с постоянной фазой.рости света.
Утверждение теории отЕсли ось X направлена по вектору р,носительности справедливо лиш ь длято условие постоянства фазы Et —процессов, связанных с переносом— р х — const. Ф азовая скорость волнмассы и энергии. Ф азовая же скоде Бройля вычисляется в результатедифференцирования этого уравнения рость волны не характеризует скорость переноса энергии и массы часпо времени:тицы.
Их перенос характеризуетсяЕ - p d x /d t = О,(8.8) скоростью частицы, которая определяется не фазовой, а групповой скооткударостью волн де Бройля.dxтс2сВолновой пакет и групповая ско(8.9)— = Vb = E p = ------= с - ,рость. И з плоских волн можно поdtmvvстроить группу волн, т. е. совокупгде v - скорость частицы.ность волн, волновые числа которыхк заключены в достаточно узком интервале.
М атематически эту группуБройль Луи Виктор деволн можно представить следующим(1892-1987)образом:Французский физик, одиниз создателей квантовойтеории Открылволновую природуэлектрона Автор работпо теории атомного ядра,распространенияэлектромагнитных волн вволноводах, истории иметодологии физикиV( x , t ) =12лA(k)e~'tm,k>'~ кхЫк,(8.10)где А (к) отлична от нуля лишь вузком интервале волновых чисел(к0 — е, к0 + е) (рис. 34). М ножитель1/(2к) введен для того, чтобы согласовать выражение (8.10) с обозначениями, принятыми в теории интеграловФурье.58 2. Волновые свойства корпускулВолновой пакет, представляемыйфункцией (8.10), зависит от (x,t). Онотличается от нуля в некоторойобласти значений л:, а его ф орма иразмеры меняются с течением времени. И з общих свойств преобразований Фурье можно сделать заключениео длине волнового пакета в пространстве:чем в более узком интервале волновых чисел амплитуда А ( к ) в (8.10)отлична от нуля, тем больше пространственные размеры волновогопакета.Если амплитуда А(к) отлична отнуля в достаточно м алом интервалезначений волнового числа к вблизик0, то функцию со(/с) можно разложить в ряд Тейлора в точке /с? иограничиться первым членом по к —кп .со(/с) = ю0 + (к — k0)dco0/dk0,(8 .
11)'¥ (x ,0 ) =2n .A(k)elkxdk,где Ч*(л:, 0) описывает волновой пакетв пространстве в начальный моментвремени. И з (8.13) следует, что1 *А (к) ехр2п .=\х(dcon \dco0dk,Тогда [см. (8.12)]¥(*, t) =х-den,- t , о) хdk(8.15)х ехр —/(со0 —ккяА мплитуда этого волнового пакета4,1Ч' = ехр { - /[со0 - /c0(dco0/d/c0)]?} хik\ х --тг- tdkndk.( 8 .
12 )Ф ормула (8.10) при t = 0 принимает вид***Волна д е Бройля описывает волновыесвойства микрочастиц, но не свидетельствует о возм ож н ости представлениямикрочастиц волнами.Микрочастицынельзя также представить волновым пакетом Волны д е Бройля обладаю т д и с п е р сией в с в ободн ом пространстве (в вакуу м е).
Групповая скорость волны д е Бройля равна скорости микрочастицы, а ееф азов ая скорость всегда больш е ск ор ости света.К аково уни версальное соотн ош ен и е м еж дугрупповой и ф азо в о й скоростям и волн деБройля?dk =(8.14)[t, 0где ю0 = со(к0), dco0/d k 0 = dco/d/c | к-к о .Тогда [см. (8.10)](8.13)(8.16)Следовательно,волновой пакет в первом приближении движется без изменения формы.Скорость ei о движения определяется дифференцированием по tусловия постоянства аргумента функции в правой части (8.16):й( '- £ ') - *Она называется групповой скоростьюволнового пакета и равнаvT = dco/d/c |(8.18)Для волн де БройляvT = dco/d/c = dE/dp.(8.19)Учитывая, что Е = с ^ / р 1 + m^c2,получаем§ 9.
Э ксперим ентальны е подтверж дения волновых свойств корпускул 59vr = c p l j p 1 + m l c 1 = с2р / Е == c2mv/(mc2) = v.(8.20)Г рупповая скорость волны деБройля равна скорости частицы,свойства которой описываются посредством этих волн.Сравнение (8.20) с (8.9) приводит квесьма важному универсальному соотношению между фазовой и групповой скоростями волн де Бройля:v$vr = с2.(8.21)Ф ормула (8.20) наводит на мысльпредставить частицу в виде волнового пакета. Такая идея каж е1ся оченьпривлекательной, потому что водном образе объединяет волну и частицу, но она несостоятельна.Несостоятельность гипотезы волнового пакета. Главный аргументпротив этой гипотезы заключается вследующем. Частица является стабильным образованием.
В процессесвоего движения частица как таковаяне изменяется. Такими же свойствамидолжен обладать и волновой пакет,претендующий представлять частицу.Поэтому надо потребовать, чтобы стечением времени волновой пакетсохранял свою пространственнуюформу или по меньшей мере сохранялсвою ширину. Однако именно этимнеобходимым свойством волновойпакет не обладает: только в первомприближении, как это видно из (8.15),он сохраняет свою форму и ширину.Учет следующих членов в разложении (8.11) показывает, что волновойпакет с течением времени расплывается и не сохраняет ни свою форму,ни ширину.
Причиной расплыванияволнового пакета является дисперсияфазовых скоростей составляющих еговолн, вследствие чего более быстрыеволны уходят вперед, а более медленные отстаю т от волн со средней скоростью. П оэтомупредставление частицы в виде волнового пакета несостоятельно.Однако такое заключение справедливо лиш ь для волн, описываемыхлинейными уравнениями. Для нелинейных волн ситуация д р у г а я -в о зможны уединенные волны («солитоны»), которые пространственно сосредоточены в малой области пространства и распространяются без изменения своей формы и размеров.Х отя солитоны были открыты более100 лет назад, особенно большой интерес возник к ним в настоящее времяв связи с решением некоторых задачквантовой механики.
Затем солитонные решения были найдены во м ногих явлениях, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями. Солитоны также рассматривались в качестве кандидатов на рольчастиц. Однако достаточно удовлетворительных результатов в этом направлении не получено.9.Экспериментальныеподтвержденияволновых свойств корпускулОписываются эксперименты по проверке правильности представлений о волновых свойствах корпускул.Длина волн де Бройля. Волновыесвойства наиболее отчетливо проявляю тся в явлениях дифракции, условия наблюдения которой определяются длиной волны.
Длина волн деБройля частиц очень мала. Первоначально покоящаяся частица с зарядоме и массой т в результате прохождения разности потенциалов U приобретает скорость v, которую можноопределить из закона сохраненияэнергии, имеющего в случае нерелятивистских скоростей v « с вид1/ 1m v2 = eU,(9.1)2Волновые свойства корпускулдует, что при энергиях электроновпорядка нескольких электрон-вольтдлина волн де Бройля имеет порядок1 нм, т. е. порядок атомных расстояний в кристаллах. П оэтому волновыесвойства электронов при таких энер35гиях можно обнаружить в опытах подифракции на кристаллах (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
