А.Н. Матвеев - Атомная физика (1121290), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Однако в квантовой механике приизмерении физической величины в состоянии 4* получается не какая-токомбинация из Lj и L 2, а только одноиз двух значений: либо L 1? либо L 2;какое конкретно из этих значений получится в результате измерения, м о жет быть предсказано только вероятностно и зависит от соотношениякоэффициентов а 1 и а2 (см. § 18). Т аким образом, содержание принципа104 4. О сновны е полож ения квантовой механикисуперпозиции квантовой теории (16.22)существенно отличается от содержания принципа суперпозиции в классической физике.Второе существенное различие принципов суперпозиции квантовой и классической физики состоит в следующем.
Если в классической физике имеются, например, два одинаковых колебания, то в результате их суперпозиции получается новое колебание,отличное от исходных, причем физические величины в новом колебанииимеют, вообще говоря, иные значения, чем в исходных колебаниях, участвующих в суперпозиции. В квантовойтеории сложение двух одинаковых состояний сводится к умножению волновой функции на постоянную величину и, следовательно, приводит ктому же состоянию, потому что волновые функции, отличающиеся постоянным множителем, описывают однои то же состояние.
Физические величины в результате такой суперпозиции не изменяю т своих значений, потому что не изменяется состояние.Принцип суперпозиции показывает, чтоиз имеющихся квантовых состоянийможно образовать многими способами новые состояния и каждое состояние можно рассматривать как результат суперпозиции двух или многихдругих состояний, причем бесконечным числом способов.Суперпозиция квантовых состояний является физическим принципом,но представление состояния как результата суперпозиции других состояний является чисто математическойпроцедурой и всегда возможно независимо от физических условий.
О днако насколько это целесообразно икакое именно представление целесообразно, зависит от конкретных физических условий.М атематическое следствие принципа суперпозиции (16.22) вы ражается следующим требованием: уравнение, которому удовлетворяет волновая функция, должно быть линейным,потому что только для линейных уравнений сумма решений с произвольными коэффициентами является также решением. В эксперименте проверяется непосредственно принцип суперпозиции состояний, а заключениео линейности уравнений выводится изрезультатов этих экспериментов.17. Основные сведенияиз теории операторовИзлагаются математические сведения из теорииоператоров, необходимые для понимания математического аппарата квантовой механики.Описание физических величин в классической физике.
В математическомаппарате квантовой механики большое значение имеет понятие оператора. В классической механике каждая физическая величина характеризуется ее числовым значением в той илииной точке пространства, в тот илииной момент времени. Например, скорость частицы описывается в каждыймомент времени вполне определенными числами vx, vy, ^ -п р о е к ц и я м искорости на оси координат.
Иначеговоря, физические величины классической механики описываются функциями координат и времени.В общем случае функцией называется правило, по которому числу илисовокупности чисел ставится в соответствие другое число или совокупность чисел. Задача классической м еханики состоит в отыскании функциональных зависимостей между различными величинами.Описание физических величин вквантовой механике. В квантовой механике физические величины, вообще§ 1 7 .
О сновны е сведения из теории оп ераторов 106говоря, не могут иметь определенныечисловые значения. Рассмотрим, например, величину, характеризующуюместонахождение частицы. В классической механике местоположение частицы в каждый момент времени описывается тремя чи сл ам и -коорд и н атами частицы. В квантовой механикеможно говорить лишь о вероятностинахождения частицы в той или инойобласти пространства. Эта вероятность вычисляется с помощ ью волновой функции.
Но волновая функция непозволяет представить координатыместонахождения частицы как функции времени. Квантовая механика позволяет вычислять лишь вероятностьтой или иной координаты и ее среднеезначение. Например, если имеетсяочень большое число совершенно идентичных, независимых друг от другафизических систем, которые описываются одинаковой волновой функцией,то при измерении числового значениякакой-либо физической величины получаются в каждом измерении, вообще говоря, ее различные числовыезначения. Квантовая механика предсказывает вероятность получения то го или иного числового значения измеряемой величины.В связи с этимв квантовой механике физическая величина характеризуется не ее числовым значением, а оператором, которым эта физическая величина представляется.
В данной конкретной ситуации числовое значение физическойвеличины неопределенное, а оператор, который описывает физическуювеличину, вполне определен.Определение оператора. Функцииосуществляют связь одних чисел сдругими числами. Операторы осуществляю т связь одних функций с другимифункциями.Оператором называется правило,с помощ ью которого каждой функции из некоторого множества функций сопоставляется функция из тогоже или некоторого другого множества функций.Операторы обозначаю т буквамисо значком Л сверху, например А, В ит .д .
Если оператор А выражает правило, согласно которому функции исопоставляется функция v, то это символически записывается в видеv = Au.(17.1)Если, например, оператор А означаетдифференцирование„dА =— dxто v будет производной от и:dduv = Ай = — и — —dxdxЛинейные операторы. Правила, спомощ ью которых одним функциямставятся в соответствие другие функции, могут быть самыми разнообразными, т.
е. операторы могут иметьсамые разнообразные свойства. Вквантовой механике для того, чтобыудовлетворить принципу суперпозиции состояний, используются лишьлинейные операторы. Оператор Аназывается линейным, если для лю бых функций их и и2 из рассм атриваемого класса функций и для любыхпостоянных чисел а 1 и а2 выполняетсяравенствоА{а1и1 + а2и2) = а1Аи1 + а2Аи2.(17-2)Сумма и произведение операторов.Если для любой функции иСи = Ай + Ви, С^и = А хи — Вхи,С2и = Я2(В2и),(17.3)то С, С\, С2 называю тся соответственно суммой операторов А и В, разностью операторов Л у и В х и произве1 06 4 Основные положения квантовой механикидением операторов Я 2 и В 2:В называется операторС = А + В, C t = A t - B v С 2 = А 2В 2.(17.4)1А~ В ] + = А Ё + В А .Алгебраические свойства суммы иразности операторов аналогичны алгебраическим свойствам суммы и разности чисел: можно группироватьслагаемые, изменять их порядок ит .д .
Но алгебраические свойствапроизведения операторов значительно отличаются от алгебраическихсвойств чисел: произведение операторов зависит от порядка сомножителей в этом произведении:(17.8)Собственные значения и собственные функции линейных операторов.Если в результате применения оператора А к некоторой функции и получается та же функция и, умноженнаяна некоторое число X, тоАй = Хи.(17.9)Если функция и непрерывна, однозначна и конечна, то она называетсясобственной функцией оператора А,принадлежащей собственному значению X. Число X называется собственАВФВА,(17.5)ным значением оператора А.
Обычнот. е. произведение операторов, вооб оператор и его собственное значениеще говоря, некоммутативно. Рассмот обозначаю тся одной и той же буквой.Совокупность собственных значерим пример, когда в качестве оператора А берется умножение на коор ний оператора называется его спектдинату х, а в качестве оператора В — ром. Если оператор А является линейоператор дифференцирования, т. е. ным дифференциальным оператором,А = х, В = d/dx, тогда А В = xdu/dx и то, как доказывается в теории линейных дифференциальных уравнений,dddВАи = — xu = и + x — и = (1 + x — ) и.его спектр может быть как дискретdxdxdxным, т.
е. состоящим из ряда чисел,так и непрерывным, т. е. состоящимd _dПоэтому A B = x — , BA = 1 +и из непрерывного множества чисел,axaxзаключенных в некотором интервалеddзначений. М ожет случиться, что частьx ~ = A B ф \ + x — = BA.(17.6)спектра будет дискретной, ч а с т ь -н е dxdxпрерывной.Коммутирующие и антикоммутиЛинейные самосопряженные (эрмирующие операторы. Операторы А я В товы) операторы. В квантовой механазываю тся коммутирующ ими, если нике применяются не лю бые линейих произведение не зависит от поряд ные операторы, а лишь самосопряка сомножителей: А В =^ВА. Если для женные, или эрмитовы, операторы.двух операторов АВ выполняется Оператор А называется самосопряравенство А В = — В А, то эти опера женным, если для любых двух функторы называю тся антикоммутирую ций и и vщими.Оператор А Й - В А называется ком j v * A u d V = \uA*v*dV,(17.10)мутатором операторов А и В я обозгде интегрирование производится поначается следующим образом:всей области изменения независимыхА В - В А = [А, Я].(17.7)переменных, совокупность дифференАнтикоммутатором операторов А и циалов которых обозначена dV.§17Важнейшее свойство самосопряженных операторов, обусловливаю щих их применение в квантовой механике, состоит в том, чтособственные значения самосопряженных операторов являю тся действительными числами.Доказательство этого положенияследует из равенства (17.10).
Пусть Абудет самосопряженным оператором,а и -собственная функция, принадлежащая собственному значеию L Тогда Ай — Хи, или А*и* = Х*и*. Принявв (17.10) v = и, имеемkju*udV=X*ju *udV(17.11)илиХ=Основные сведения из теории операторов 107чениям Хп и Хт. Тогда высказанноеутверждение может быть м атематически записано в виде равенства\u*umd V = 0 (т ф п).(17.13)Докажем это утверждение. Собственные функции ип и ит удовлетворяютуравнениямАи„ = Хпип, Аит = Хтит,(17.14)причем Хп и Хт ~действительные числа, поскольку оператор А являетсясамосопряженным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
