А.Н. Матвеев - Атомная физика (1121290), страница 31
Текст из файла (страница 31)
е. применение оператора координаты £ к некоторой функции Д х ) сводится к умножению этой функции на х : x f ( x ) == xf lx), т. е. оператор х = х.Оператор импульса. Для нахождения оператора импульса вспомним,что, согласно гипотезе де Бройля,свободная частица, имеющая импульср х , представляется плоской волной сволновым числом к х = p j h и частотой ю = Ejh. П оэтому следует потребовать, чтобы уравнение на собственные значения для импульсаР 4 > = р х4>(18.4)имело решение в виде плоских волн:¥ = А е ~ Н(а,~ к*х) = A e ' ilEt~ p*x\(18.5)где А -несущ ественная для данноговопроса нормировочная постоянная.Сравнение (18.4) с (18.5) показывает, что в качестве оператора им пульса р х следует вы брать операторh 8_i дх(18.6)При таком выборе оператора р х уравнение (18.4) удовлетворяется функцией (18.5).
Аналогично выражаю тсяи другие составляющие оператораимпульса. П оэтому в векторной форме оператор импульсаписать в виде.Ь(. дд\. др=можноh+ 1у8у + h dz) = 7за(18.7)где ix, 1Я 12-о р т ы .Гамильтониан. В классической физике ф у н к ц и е й Г а м и л ь т о н а называется полная энергия, выраженная черезимпульсы и координаты частиц. Дляодной частицы полная энергия сводится к сумме кинетической и потенциальной энергий:Н ( т , р) = р 2/(2т) + Е п(г).(18.8)В квантовой механике функцииГ ам ильтона должен соответствоватьоператор. Он получается в результатеподстановки в (18.8) вместо р оператора р из (18.7):Н — ~ + ЕЛ г) = V2 + Е М2т2т(18.9)Момент импульса частицы.
В классической физике момент импульсачастицы определяется как векторноепроизведение радиуса-вектора частицы на ее импульс:L= гх р(18.10)или в координатном видеLx = УРг ~ zPrL y = zpx — x p z,Lz = x p y - y px.(18.11)В квантовой теории проекциям м о мента импульса ставятся в соответствие операторы следующим образом:~й /д8\l * = 7 V T z - ’ Ty)'„Й/ 8д\W’a T WЙ/ дд\L‘ = 7 \ х Ту - у Тх}° 8Л2)Оператор полной энергии. О п е р а т о р п о л н о й э н е р г и и Е следует выбрать12 4. Основные полож ения квантовой механикитак, чтобы его собственные значениябыли равны энергии Е частицы.
Н айдем его возможный вид на примересвободной частицы, обобщив результат на общий случай. Необходимопотребовать, чтобы уравнениеЁ У = ЕЧ>(18.13)имело решение в виде плоской волны(18.5), описывающей свободную частицу с энергией Е. Легко заметить,чтоя а£ = - - - .(18.14)i StНайденный для частного случая видоператора полной энергии (18.14)обобщается на произвольный случай.Оператор произвольной функциидинамических переменных.
Приведенные примеры операторов наводят намысль, что если имеется некотораяфункция F ( x , р) динамических переменных (х , р), то соответствующийэтой функции оператор F получаетсязаменой величины р ее операторнымвыражением (18.7). Во всех приведенных выше случаях это правило выполняется. Однако в общем случаепоступать так нельзя, посколькуполучающийся при этом операторпF I х , ------Iне является самосопряжен\ i ох)ным и, следовательно, не может бытьиспользован в квантовой механике.Так можно поступать лишь в томслучае, когда получающийся оператор самосопряжен. В частности, еслид\F(x, р) = F 1(x) + F 2{p),(18.15а)то соответствующий оператор записывается следующим образом:ных.
Выше было отмечено, что приизмерении динамической переменнойполучается вполне определенное числовое значение лишь в том случае,когда волновая функция, описывающая систему, является собственнойфункцией измеряемой динамическойпеременной. Но собственные функцииоператоров различных динамическихпеременных, вообще говоря, различны, поэтому различные динамические переменные не могут при измерениях одновременно давать определенные числовые значения.
Однако приопределенном условии это возможно.Необходимым и достаточным условием является коммутативность операторов этих динамических переменных. Д оказательство необходимостиусловия состоит в следующем.Пусть операторы А и В имеютобщие собственные функции и, следовательно, соответствующие динамические переменные одновременно измеримы. Тогда из уравненийАй = а и, Ви = (Зм(18.16а)находим, чтоАВи = (3Ай — (Зам,ВАи = аВи = а(3м.(18.166)(18.17)Отсюда видно, что операторы А и Вкоммутируют:А В = ВА.(18.18)Доказательство достаточности условия проводится следуюпдим образом.
Если операторы А и В коммутируют, то, обозначив для определенности собственную функцию оператораВ через и, т. е. считая, чтоЛ« = Р«,(18.19)(18.156)можно на основании (18.18) и (18.19)написатьЁАи = АВи = $Аи.(18.20)Условие одновременной измеримости различных динамических переменЭто означает, что функция А й - собственная функция оператора В, принад.._ /Й д \F = F lW + F 2 (J - j .§ 1 8 . Представление динамических переменны х посредством операторов 113лежащая собственному значению р.Но, согласно (18.19)^ собственнойфункцией оператора В, принадлежащей собственному значению р, является функция и.
Следовательно,функции Ай и и совпадаю т с точностью до числового множителя а:Ай = а и.(18.21)Это равенство показывает, что и - собственная функция оператора А, т. е.операторы В и А имеют общую собственную функцию и поэтому соответствующие им динамические переменные одновременно измеримы.
Теорема доказана.Принцип дополнительности. Из изложенного выше следует, что в квантовой механике для описания движения частиц нельзя пользоваться одновременно всеми теми переменными, которыми пользуются при описании движения частиц в классическоймеханике. Координата и соответствующий этой координате импульсчастицы м огут быть примером парытаких переменных. Следовательно, вквантовой механике состояние движения описывается меньшим числом переменных и является менее подробным, чем в классической физике, описанием.Выберем всевозможные физическиевеличины, операторы которых ком мутируют между собой.
Эти величины одновременно имею т определенные значения. Их совокупность даетполное квантово-механическое описание и составляет полный набор величин в квантовой механике, хотя вклассической механике для полногоописания движения необходимо пользоваться одновременно с этими величинами также и другими.Выбрав в качестве полного наборавеличин некоторые конкретные величины (например, в числе прочих8219координаты), мы исключим из рассмотрения другие (в данном случае вчисле прочих-им пульсы ), операторыкоторых не коммутирую т с ними и,следовательно, не могут входить втот же самый полный набор. Однакоэти другие величины, в свою очередь,могут входить в другой полный набор,которым можно также пользоватьсядля описания движения. В частности,можно пользоваться координатами ивременем и тогда получим описаниесистемы, рассматриваемой в пространстве и времени, но можно пользоваться и импульсно-энергетическими переменными и тогда получаетсяописание, в котором как бы теряетсясвязь с пространством и временем.Таким образом, ситуация такова: либо выбирается один полный наборвеличин, тогда при рассмотрении физического явления нельзя учесть некоторые важные особенности, которыесвязаны с величинами, не входящимив рассматриваемый набор, либо выбирается другой полный набор величин и тогда теряется то, что связано свеличинами первого набора.
В этом исостоит сущность принципа дополнительности.Из изложенного видно, что принцип дополнительности является просто констатацией ситуации, котораясуществует в квантовой механике. Нопри истолковании принципа дополнительности необходимо иметь в видуследующие обстоятельства.Прежде всего возникает вопрос обисточнике дополнительности. Очевидно, что дополнительность возникаетвследствие тех же обстоятельств, врезультате которых возникают и другие квантовые закономерности, т.
е.обусловливается свойствами микрочастиц, из-за чего их нельзя рассм атривать ни с чисто корпускулярной, нис чисто волновой позиции. В некото1 1 4 4 Основные положения квантовой механикиром смысле принцип дополнительности и есть констатация наличияэтих двух сторон в одном явлении.П оэтому попытка связать принципдополнительности с существованиемдвух классов измерительных приборов и с какими-то особенностями измерения некорректна.Далее необходимо определить значение принципа дополнительности.Иногда односторонне подчеркиваетсяразличие двух сторон дополнительности и забывается об их единстве.
Говорится, что можно принять во внимание одни стороны явления, но тогда из виду ускользаю т другие, и наоборот. Однако необходимо заметить,что речь идет о различных подходах крассмотрению одной и той же объективной сущности. Поэтому различные подходы к изучению и истолкованию явлений не исключают, а дополняют друг друга.
Всестороннее изучение явления возможно лишь тогда,когда оно действительно изучается совсех сторон. Принцип дополнительности и указывает на то обстоятельство, что в явлении имеется несколькосторон. Неправильное толкованиепринципа дополнительности состоитв попытке свести его содержание ктребованию изучать явления только скакой-либо одной стороны.Чистые и смешанные состояния.Для того чтобы полностью определить волновую функцию, описывающую данное состояние, необходимопосредством измерений задать полный набор динамических переменных.Волновая функция рассматриваемогосостояния является собственной функцией операторов, представляющихполный набор физических величин.При этом условии волновая функцияопределяется полностью и дает м аксимально полное описание системы,которое возможно в квантовой механике. Такого рода состояния, описываемые полностью определенной волновой функцией, называю тся чистыми.В чистых состояниях осуществляется максимально полное описаниесостояния квантовой системы.Однако в квантовой механике возможны и такие состояния, которымне соответствует никакая волноваяфункция.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
