А.Н. Матвеев - Атомная физика (1121290), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Следовательно, [Я , x] == p j m . Учитывая (19.7), находим— = [я , i ] = —.drm(19.23)§ 19. И зм ен ени е динамических переменны х во времени t 2 5Аналогичные равенства получаются идля других составляющих операторакоординаты и импульса.П роизводную от оператора координаты естественно отождествить соператоромскорости.Равенство(19.23) показывает, что в квантовоймеханике между оператором скорости и оператором импульса существует такое же соотношение, какое вклассической механике между скоростью и импульсом.Вычислим теперь квантовую скобку Пуассона [Я , рх~\. Так как операторрх коммутирует с оператором кинетической энергии, то[Я,р х~\ = ~ Ф ир хп-р х Ё п) = - ~дхЁп.
(19.24)Аналогичные равенства получаются идля других составляющих импульса.Но оператор — 8Ёа/дх является оператором проекции силы на ось х:----- Еп = Fxдх(19.25)П оэтому второе уравнение Г ам ильтона (19.17) можно записать в виде$$Квантовая динамика мож ет быть п р едставлена ли бо посредстом не зависящ ихот времени операторов динамическихпеременны х и зависящ ей от времени волновой функции, ли бо п осредством зав и сящих от времени операторов дин ам ич еских переменны х и не зависящ ей от времени волновой функции. Возможны такж е представления, при которых зав и си мость от времени р аспр еделена о п р еделенны м сп о с о б о м м еж ду операторамии волновой функцией.В квантовой механике ср едн и е значэниякоординаты и импульса частицы, а такжесилы, действую щ ей на нее, связаны м е ж ду с о б о й уравнениями, аналогичнымисоответствующ им уравнениям кл ассич еской механики.*Запиш ите квантовые уравнения Гам ильтонадля оп ер ато р о в коорди н ат и им пульсов.В чем состои т аналогия м еж ду классическимии квантовы ми уравнениями Гамильтона?dРх= Frdr(19.26)т.
е. оператор производной от им пульса равен оператору силы. Наосновании формулы (19.6) с учетом(19.23) и (19.24) получаем~ <-*> = - </>*>,drт(19.27)^ <Л> = - < ~ У = <FX),(19.28)или в развернутом видеd Г1Г4>* Z'¥eV=-\'\'*px']>dV,dr.mJd_ ''¥*px'¥dV = dr.5Ёip* — -4>dv.дх(19.29)(19.30)Таким образом, производная по времени от средней координаты ( х )равна среднему импульсу, деленномуна массу частицы, а производная отсреднего импульса <р х) равна средней силе < — d E J d x ).
Следовательно,в квантовой механике средние значения координат и импульсов частицы,а также силы, действующие на нее,связаны между собой уравнениями,аналогичнымисоответствующимуравнениям классической механики,т. е. при движении частицы средниезначения этих величин в квантовоймеханике изменяю тся так, как изменяются значения этих величин вклассической механике.Эти утверждения, записанные ввиде уравнений (19.29), (19.30), называю тся теоремами Эренфеста.Если обе части уравнения (19.29)продифференцировать по времени, апроизводную по времени от ( р х) вправой части результирующего уравнения исключить с помощ ью (19.30),то получается квантовый аналог1 2 6 4. Основные полож ения квантовой механикиуравнения движения Ньютона:d^сЁ<*> = < =(19-31)Этоуравнениепоказывает,чтосредняя координата частицы и средняясила в квантовой механике находятсяв таком же соотношении, в какомкоордината частицы и сила находятсяв классической механике, т.
е. связаныуравнением движения Нью тона.Пример 19.1. Гам ильтониан заряженной частицы, движущейся в м агнитном поле,Я = [ l/(2m)] (р - q А)2,где А - оператор вектор-потенциаламагнитного поля, являющийся функцией координат. Найти оператор скорости частицы v в магнитном поле иправила коммутации различных ком понент оператора скорости междусобой.По определению оператора скорости как производной от операторарадиуса-вектора частицы, пользуясьправилами дифференцирования операторов, находимv = dr/dr = (i/B)(Hi —гЯ) = (l/m)(p —q А),Н дРУК ~ К Р У= ~i —Кдуи два других аналогичных соотнош ения, получающихся в результатециклической перестановки индексов.Учитывая, что В = rot А, находим:iqhvx Vy - i yvx = — Bz,mm2iqhv j , - М» = - ~2 'miqhv,vx - v xvz = —j ВmЗадачи4.1.4.2.4.5.Н айти ком м утатор операторов х(&/<Хх) и х.Предполагая, ч т о _ А и В - некоммутирующие эрмитовы операторы, указать, какие изоператоров: а) АВ, б) А В — ВА, в) А В + ВА, г) А В А , д) А" (л -ц е л о е положительноечисло) - эрмитовы.Вычислить коммутатор [рп, х\.Н айти распределение импульсов частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме (см.рис.
55), волновая функция которой в х-представлении задана формулой (26.9).Для частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме, рассмотренной в задаче 4.4, найти4.6.Определить волновую функцию волнового пакета4.3.4.4.<р), <(Ar t 2>. <(Д*)2>00'F(x) = А | ехр [ —а(к — k0)2] exp( i kx ) d k,где А - нормировочная постоянная, а и к0 - вещественные числа (а > 0). Н айти ((Ах)2) и((Ар)2) для этого волнового пакета.Ответы4.1.
х.4.2. в, г, д. 4.3.4.4. Га/(4яй)] \ f ( u _ ) + ( — 1)"+ ’/( « + ) I 2, где f (и)= sin и/и, и+ = (nfin ± ар)/(2Н). 4.5. 0; л 2я т / а ! ; (а1/ 12) [1 — 6Д я2л )]. 4.6.=(2тга)_1/4ехр \_ik0x — x 2/(4a)];^<((Ax)2) = а; *Р(р) = [2а/(тгй2)] 1/4 ех р [ —а(р —20Что такое представление?5ОСНОВНЫЕ п о н я т и яТ Е ОР ИИПРЕДСТАВЛЕНИЙ21Линейные конечномерныевекторные пространства22Линейные бесконечномерныевекторные пространства23Постулаты квантовой механики24Различные представленияквантовой динамикиВабстрактнойформулировке квантовой механики наиболее четко и ясно выявляется ее принципиально отличный от классической механикиподход к описанию движениячастиц.128 5 Основные понятия теории представлений20.
Что такое представление?На примерах представления функций в видерядов и интегралов разъясняется смысл понятия«представление»Различные представления функций.Функция и может быть с помощ ьюформулы (17.21) разложена по полной системе собственных функций некоторого оператора А. Совокупностькоэффициентов разложения ап полностью определяет функцию и. П оэтому вместо и можно пользоватьсясовокупностью коэффициентов ап, которая описывает функцию и, но вдругом представлении; в данном случае в том, где оператор А диагонален,или в ^-представлении.
Смысл выражения «оператор диагонален» будет сейчас пояснен.Матричные элементы операторов.Не только функции, но и операторыможно задавать в различных представлениях^. Пусть имеется некоторыйоператор В:и = Bv.(20.1)Зададим функции и и и в ^-представлении, т. е. в виде коэффициентов разложения по полной системе собственных функций ип оператора А:и = Ъапип,(20.2)v = ЪЪпип.(20.3)Подставив эти выражения в (20.1),умножив полученное равенство наигк и проинтегрировав, получимак = ЪВкпЬ„,(20.4)гдеВк„ = \щВипdV.,(20.5)Из (20.4) следует, что совокупностьчисел Вкп, которую можно записать ввиде матрицы, связывает волновыефункции и и v в Л-представлении.Сами числа Вкп называю тся м атричными элементами оператора В.Если вычисляются матричные элементы оператора А в /^представлении, т. е.
в качестве собственныхфункций выбираю тся собственныефукнкции оператора А, тоАы = \ K A u nd V = ),„\uiund V == K&t* (Аип = Хпи„).(20.6)Отличными от нуля являю тся лишьматричные элементы с к = п, являю щиеся диагональными элементамиматрицы ( А кп). Это означает, чтом атрица оператора в его собственномпредставлении диагональна. Теперьясен смысл выражения «в том представлении, где оператор А диагонален».Координатное представление.
С тационарное состояние квантового объекта (электрона и т. д.) во всем предшествующем изложении описывалосьволновой функцией Ч* = 4'(x,y,zJ, которую удобно обозначать Ч*(х), понимая под х всю совокупность пространственных переменных. Эту функцию можно представить в виде разложения по некоторой ортонормированной полной системе собственных функций ип в видеЧ'(х) = Zanun(x),(20.7)гдеап = ju*n( x ) y¥ ( x ) d x(20.8)-чи сл а.
Совокупность всех {ап} определяется волновой функцией Ч/, еслиизвестно Ч*, и полностью определяетЧ*, если известна эта совокупность.Функции ип являю тся собственнымифункциями ^ некоторого линейногооператора А и удовлетворяю т уравнениямАип = А пип,(20.9)где /^ -с о б ст в е н н ы е значения оператора А. П оэтому совокупность {ап} волновая функция стационарного состояния Ч* в том представлении, в§ 20. Что такое представление? 129котором оператор А диагонален, илив А -представлении.Взяв в качестве оператора А гамильтониан Я, получим собственныефункции х¥ п уравнения ШредингераЙЧ>Я = ЕЯЧ>Я,(20.10)где £■„-собственные значения энергии.
Разложение волновой функции Ч*по собственным функциямимеет видЧ» = 2 В Д ,,(20.11)Иb„ = I'Vz'Vd.x,(20.12)Совокупность {/>„} описывает функцию Ч* в ^-представлении, или в энергетическом представлении, или впредставлении, в котором гам ильтониан Я диагонален. Энергетическоепредставление часто используется вквантовой механике при рассмотрении различных вопросов. Широко используется также импульсное представление, или ^-представление, в котором в качестве собственных функций ип используются собственныефункции оператора импульса (18.7).Операторы в этих представленияхописываются матрицами вида (20.5).Об этих матрицах говорят как обоператорах в соответствую щем представлении (^-представлении, /?-представлении и т.
д.). Отсюда ясно, чтовсе изложенное выше о квантовоймеханике с помощ ью волновой функции 'V(x), операторов координатых = х, операторов импульса рх —= (h/i)8/dx и т. д. может бытьсформулировано без использованиякоординат. Другими словами, волновая функция 4V x j, оператор координаты х = х, оператор импульса р х == (h/i)d/dx и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
