А.Н. Матвеев - Атомная физика (1121290), страница 38
Текст из файла (страница 38)
. , 1>л}. Скалярное произведение( v \ v ) = Y.v*vt.(21.44)Поэтому сопряженный вектор запишем в виде строки чисел< г |->(»?, v*2, . . „ О -(21-45)что позволяет образовать скалярноепроизведение по правилу умножениястрок и столбцов матрицы. Поэтомув базисном представлении векторовоперация сопряжения сводится к замене столбца на строку и комплексному сопряжению элем еню в строки:фГ = ХЧ' ! ( i \ A +\ky.IПо формуле (21.25) имеемА * = 0 \ А +\к) = ( к \ Л \ 0 = А 1(21.48)(21.49)где А к1 совпадает с (21.39). Следовательно [см. (21.48)],(21.50)tВ матричном виде это равенство записывается так:ф * = Х 11'1* Л к1.( ф Г ,ф ;,....ф: ) = с р г .
'р ; , . . . , ’р :) х/ а *п а *21 ... а :,A\l А 2 ••• А*п2(21.51)\\ ЛА *1 пА *2п•••А*Л лЗначит, матрица, представляю щ ая сопряженный оператор Л + , получаетсяиз матрицы оператора А транспонированием строк и столбцов и комплексным сопряжением элементов мат-§ 21. Линейные конечномерные векторные пространства 137видерицы:M l1 л.21*12 • ■■ АА 22 "•• АX (Аи - 8И К - = 0 (г = 1 ,2 ,..., п).(21.55)J~ lц ,А„2 ■' А ,/ А п А*21 ■■■ А1 а 2 ЛА*22 ■- А(21.52)А*2п ■ • А,Ац —АЭто правило выражает основное свойство (21.25) сопряженных операторовв матричном виде. Свойство (21.27)эрмитовости оператора выражаетсяравенствами A ki = A ik. Единичныйоператор представляется матрицей сотличными от нуля диагональнымиэлементами, равными единице.Собственные векторы и собственные значения оператора.
Собственнымвектором оператора Л называется та кой вектор | v ) , действие операторана который сводится к умножениювектора на число, называемое собственным значением оператора. Уравнение на собственные значения и собственные векторы имеет видA\v} = A\v).(21.53)В уравнении (21.53) собственное значение оператора А обозначено той жебуквой А, что и оператор, но безсимвола . В базисном представленииэто уравнение имеет вид (21.40):Al 2А22- А• • А 1„• ■ А 2„= 0.(21.56)■ АшУравнение (21.56) является алгебраическим уравнением п-й степени иимеет п корней. Эти корни назы ваю тся собственными значениями оператора Я.
Среди корней могут быть иодинаковые. В этом случае говорят овырожденных собственных значениях.Д ля каждого невырожденного собственного значения решение системыуравнений (21.55) дает соответствующую собственную функцию. Если всеп собственных значений невырожденные, то имеется п различных собственных функций. Важное свойство эрмитовых операторов состоит в том,что их собственные значения вещественны. Д ля доказательства рассмотрим уравнение (21.53) на собственныезначения, которое после умноженияслева на ( v | приводит к равенствуА п1А„ 2(21.57)Сопряженное с (21.57) соотношениеимеет видА п2гдеA 2i(v\A\v) = A(v\v).^/4ц А 12 ••• А 1п4 ц А 22 ••• АA„iЧ тобы эта система уравнений имеланетривиальные решения, детерминантее определителя должен быть равнымнулю:( v \ A + \v) = A * (v \v ).(21.54)Ац = ( i \ A \ j ) , Vi = ( i\ v ).Матричное уравнение эквивалентносистеме п линейных уравнений дляопределения п неизвестных величинкоторые удобно представить в(21.58)Д ля эрмитовых операторов А + = А иэто соотношение имеет вид равенства(v\A \v) = A*(v\v).(21.59)Вычитая почленно (21.59) из (21.57),находим0 = (А - A * ) ( v \ v ) .(21.60)138 5 Основные понятия теории представлениймерность которого равна степени вырождения.
В этом подпространствеА = А*,(21.61) исходя из некоторой системы линейнонезависимых векторов можно ортогот. е. собственное значение А вещест нализацией построить ортонормировенно.ванный базис подпространства. ВекСобственные векторы, принадле торы этого ортонормированного бажащие различным собственным зна зиса ортогональны не только другчениям, ортогональны. Обозначим другу, но и всем собственным вектоэти различные собственные значения рам , принадлежащим другим собстА , и А , а собственные функции М ,),венным значениям, как это следует изМ 7).
Тогда(21.65). Итак, каждый эрмитов опеА \ А , ) = А 1\ А , ) ,(21.61а) ратор имеет ортонормированный базис собственных векторов. В базисеA I A J) = A J \ A J).(21.616)собственных ортонормированных векУ множая (21.61а) на ( A j ,|, а (21.61 б) — торов м атрица эрмитова операторадиагональна, причем диагональнымина М ,) , получаем(AjIAjA,) = A,(AjlA,),(21.62а) элементами матрицы являю тся вещественные собственные значения эр( A , \ A \ A J) = A J( A l \ A j y.(21.626) митова оператора.Собственные значения унитарногоСопряженное с (21.626) соотношениеоператора выражаю тся комплексныс учетом эрмитовости А имеет видми числами, равными по модулю еди< / д Л к > = л;<^|л,>.(21.63)нице, а его собственные функции, приВычитая почленно (21.63) из (21.62а), надлежащие различным собственнымнаходимзначениям, ортогональны.
Для дока0 = ( A , - A * ) ( A J\ A, y.(21.64) зательства рассмотрим уравнения дляразличных собственных функций | А ,)Так как А , — А * ф 0, тои lAj}, принадлежащих различнымсобственнымзначениям А , и А } уни< А , \ А . ) = 0,(21.65)тарного оператора А:что и требовалось доказать.А \ А , ) = А,\А,),(21.66а)Если собственное значение вырож(21.666)дено, то ему принадлежат несколько A \ A j '> = A j \ A j '>.собственных функций, число которых Сопряженным с (21.666) является уравравно числу одинаковых собственных нениезначений (степени вырождения).
Л ю ( A j \ A + = A*(Aj \.(21.67)бая линейная комбинация этих собственных функций принадлежит тому Умножая обе части (21.66а) слева наже собственному значению, т. е. число соответствующие части уравнениясобственных функций бесконечно, но (21.67), получаемчисло линейно независимых функций( A J \ A +A \ A l '} = A f A l ( A ] \ A l).(2168)равно степени вырождения. Поэтомуможно сказать, что собственные функ Отсю да с учетом (21.31) находимции, принадлежащие вырожденному ( 1 - А * А ^ А ]\А,У=0.(21.69)собственному значению, образую тсобственное подпространство, раз ТогдаПоскольку< i; 11; ) ф 0, из (21.60) следует, что§ 21а *а , =1 а=А( A J\ Ai } = О, ( 1 # ДЛинейные конечном ерны е векторные пространства 13 9(2 1 .7 0 )первого вектора 11) возьмем вектор(2 1 .7 1 )К>:и утверждение доказано.Вырожденные собственные значения унитарных операторов анализируются аналогично вырожденным собственным значениям эрмитовых операторов, как это рассмотрено выше.Условие полноты ортонормированного базиса.
Разложение произвольного вектора | v ) по ортонормированному базису |г ) имеет вид(2 1 .7 2 )|f> = X 1 0 v,’|1 > = к > -(2 1-76)Непосредственной проверкой убеждаемся, что ортогональный к (21.76)вектор может быть представлен ввиде12 > = 11>2 > — I 1 > < 1 11’г >/< 1 11 X(2 1 .7 7 )поскольку< 1 | 2 ) = < 1 | р2) - < 1 |р2)= 0.(2 1 .7 8 )Аналогично, третий ортогональныйвектор|3 ) = | Р з ) - | 1 ) < 1 | Р з ) / < 1 | 1 > -|2><2|Рз>/<2|2>.где(2 1 .7 3 )v, = ( i \ v ) .Подставив в (21.72) выражение v, из(21.73), находим(2 1 .7 9 )Непосредственно проверкой убеждаемся, что < 1 |3 ) = 0, < 2 |3 ) = 0. Т аким образом, общее представлениек-го ортогонального вектора вы ражается формулойкif) =X;= 11 ' ) < г»= ( X1= 1I ' X ' O l 1’ )-(2 1 .7 4 )Стоящее в (21.74) справа в круглыхскобках выражение является оператором, который при действии на вектор|у ) оставляет его без изменения, т.
е.является единичным оператором I:X \ 0 0 \ = Т.1*0 = к > -XL / > < j 'K > / < / l y > -(2 1 .8 0 )J = 1Вектор | к } ортогонален всем предыдущим векторам | 1), | 2 ), . . . ,| к — 1). Ортонормированный базисный вектор получается посредствомнормировки взаимно ортогональныхвекторов |/с):(2 1 .7 5 )Равенство (21.75) играет фундаментальную роль в теории линейных векторных пространств и называетсяусловием полноты ортонормированного базиса.Построение ортонормированного базиса. Исходя из лю бой системы п линейно независимых векторов li^ ), |и2), . .
. , |f „ ) , можно построить ортонормированный базис следующимспособом.Сначала построим п взаимно ортогональных векторов. В качествеК > = 1к у / у / ( Ц к у .(2 1 . 81 )Векторы | ек) удовлетворяю т условию ортонормированности( e t \eky = 6,t .(2 1 .8 2 )Связь между представлениями вектора в различных базисах. Представлением вектора |и ) в ортонорм ированием базисе | е 1), | е2 ), . . . , | еп) является совокупность проекций ( e j i ; ) ,<<?2 I v )>•••> ( еп\v ) этого вектора наорты базиса. Записав вектор |и ) ввиде разложения по ортам другого14 0 5 Основные понятия теории представленийбазисаможет быть сопоставлен операторПС(21.83а)находимформулу, связывающуюпроекции вектора в различных базисах:(21.836)Эта формула выражает связь междупредставлениями вектора в различных базисах.
Видно, что она получается непосредственно в результатеиспользования соотношения (21.75):f(A)=£а„А\(21.87)Оператор $(Я) [см. (21.87)] называется функцией / (Л) оператора А. Ясно,что это определение имеет смысллишь тогда, когда ряд (21.86) сходится по крайней мере для всех значенийх, равных собственным значениямоператора Я . Если же область значений .х, для которых ряд (21.86) сходится, ограничена, то вопрос о вы ражении ф ункции/(Л ) формулой (21.87)требует дополнительного исследования. Например, ряд(<?k\ v) = ( e k \ I \ v ) =ех = Y.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
