А.Н. Матвеев - Атомная физика (1121290), страница 34
Текст из файла (страница 34)
При достаточно больш ом расстоянии онаможет быть больше — 13,6 эВ, например равна — 12,5 эВ. Тогда, длятого чтобы полная энергия быларавна —13,6 эВ, как это дается экспериментом, необходимо считать кинетическую энергию электрона в этойточке отрицательной, что бессмысленно. Таким образом, неосмотрительное применение корпускулярныхпонятий к анализу экспериментальных фактов сразу же привело к противоречию.
Однако рассуждение, приведшее к противоречию, недопустимоиз-за наличия соотношения неопределенности, поскольку понятие оположении электрона непригодно дляописания движения электрона в атоме. М атематически это выражается втом, что, зафиксировав координатуэлектрона, мы неправомочны в д альнейших рассуждениях говорить обимпульсе, а следовательно, и о кинетической энергии как об определенной величине.П оэтому нельзя считать, что электрон в атоме одновременно имеетнекоторые импульс и координаты.Следует заметить, что речь идетименно о том, что электрон не имеетопределенных значений импульса икоординаты, а не о том, что их нельзяодновременно измерить.
Принципнеопределенности позволяет оценить,с какой точностью можно приближенно описать движение электрона в рамках картины движения точечной частицы по какой-то траектории с определенной скоростью, т. е. не о том , скакой точностью справедливы квантовые понятия, а о том, с какой точностью справедливы классическиепонятия. Нетрудно видеть, что в случае атом а представление о движенииэлектрона по некоторой траекториивообще ни в каком приближении невозможно. Это связано с тем, чтоесли в качестве неопределенностиимпульса взять его максимальновозможное значение, то для неопределенности координат получаютсязначения, имеющие порядок размеров атома.
В других случаях с достаточной точностью можно говорить одвижении электрона по траектории.Например, если заряженная частицапролетает в среде с перенасыщеннымпаром, то она оставляет за собойслед. В этом случае приемлемо представление о движении частицы вдольследа в пределах некоторой области,поперечные размеры которой вычисляю тся по соотношению неопределенности.Пример 18.1. Волновая функцияэлектрона в атоме водорода в состоянии с наименьшей энергиейT (r) = (7i«g)“ 1/2 е - ^ о ,гдеа0 = 4л:г0И2/{те2) = 0,529 хх 1 0 " 1°м - радиус первой боровскойорбиты. Собственная функция опера-1 2 2 4 Основные п олож ения квантовой механикитора импульсаЧ у г ) = (2л/г)- 3/2 е ~ |р ' г/^.Н айти вероятность того, что импульсэлектрона в атоме водорода заклю чен по модулю между р и р + dp.Находим волновую функцию электрона в атоме водорода в /7-представлении:С(р) = {2пП)~ш [ lP(r)e_'p'r/^dK == ( 2 п П ) ~3/ 2( п а 3) ~ 1/2 j e “ r/“o “ W ^ d KВычисление интеграла удобно вести всферических координатах с полярнойосью, направленной вдоль р:X|е х р ( — r / a 0 — i p - T / H ) d V = 2л [ r 2d r хо+1х [ е х р ( —r/a0 — ipr cos 0/Я) d cos0 =-1X= [ 2 nfi/(ip)] J { e x p [(— 1/ a 0 + ip/K)r] -0- e x p [ ( — 1j a 0 - i p / H ) r ] } r d r == 8тМо/г4/(/г2 + a l p 2)2.Следовательно, плотность вероятности, что импульс электрона равен р,дается выражениематом а (по порядку величины), т масса электрона.
Потенциальная иполная энергии электрона равны соответственно Еп = — е2/(4пе0а), Е == Е к + Е и = Н2/{2та2) — е 2/(4 п е0а).Полная энергия Е = Е(а) при малых аположительна [ £ (а -> 0) -> оо], а прибольших а -о т р и ц а те л ьн а и стремится при этом к нулю [ £ (а -»-> со) -* —0]. Поэтому она имеет минимум при значении а0, определяемом из условия дЕ(а)/да = 0: а0 == 4ne0fi2/(me2). При а = а0 движениеэлектрона в атоме водорода устойчиво, а полная энергия равна Е(а0) == — т<?4/(32л;2£о/г ), что в данном случае совпадает с точным значениемминимальной энергии по теории Бора(14.19) и с соответствую щ им результатом квантовой теории атом а водорода (30.24).
Значение а0 совпадает срадиусом Бора (14.18) атом а водорода.Такоеточноесовпадениерезультатов является случайным и несодержит в себе какого-либо болееглубокого смысла, поскольку в исходных предпосылках речь ш ла лишьо порядках величин.\ С ( р ) \ 2 = * а 3 П5/ 1 п 2(Н2 + а 2р 2ПИнтегрируя его по всем направлениям импульса р, т. е. умножая наэлемент объема в пространстве импульсов 4np2dp, находим вероятностьтого, что импульс электрона заклю чен по модулю между р и р + dp:Ъ2а3 Нър 2п(П + alp )Пример 18.2. Пользуясь соотнош ением неопределенности Гейзенберга,оценить минимальную энергию электрона в атоме водорода.По соотношению неопределенности импульс электрона р к h/a и егокинетическая энергия Ек = р 2/(2т) == h2/(2ma2), где а-л и н ей н ы й размер19.
Изменение динамических переменныхво времениОписывается переход от представления квантовой динамики посредством изменяющейся вовремени волновой функции к представлению спомощью зависящих от времени операторовдинамических переменных.Дифференцирование операторов по времени, скобки Пуассона. С течениемвремени средние значения динамических переменных, вообще говоря, изменяются.
Дифференцируя обе частиравенства( Я у = $Ч>*А ЧМК(19.1)по времени, получаем§ 19. И зменение динамических переменных во времени 123ГС'd'V*,-A4'dV +У dtSAу 'Т Й„дЧ>+ Ч**А — dV.(19.2)dtПринимая во внимание, чтоНдЦ>^НдЦ>* ^------- = Я Ч ' , ---------- = Я*Ч>* = ЯЧ**,i dti dtкой механикой, квантовыми скобкамиПуассона. Эта аналогия проистекаетиз следующих обстоятельств. В классической механике полная производная по времени динамической переменной А, являющейся функцией координат, импульсов и времени, даетсяформулойdА(19.3)перепишем (19.2) в видедЯЧ>* — 4>dV +(НЧ)*)(А'¥) d V dth.(19.4)xV * A H y¥dV.Пользуясь эрмитовостью оператораЯ, второй интеграл в правой частиравенства можно преобразовать:дА dр , \(1М)Воспользовавшись уравнениями ГамильтонаdXjдНdpiдНdtдр-dtдх-(19.10)где Я -ф у н к ц и я Гам ильтона (18.8),получаем равенствоdАдАX 'fdH dAdtdp; d x tдА дН^dpt д х(дА(19.5)= \'¥*HA'¥dV.( дА dx,d7 * й + 2 J f e d 7 + S d 7/dt{(Я Ч '* )Л ‘Р d V = $(АЧ')ЙЧ>* d V =дА(19-11)ОкончательноdГf дЯdtв котором величина+ -(Н А - А Н ) \ ' ¥ dV.НJ(19.6)Таким образом, производная отсреднегозначениядинамическойпеременной представлена как среднеезначение от некоторого оператора.Естественно этот последний операторпринять за определение производнойот оператора динамической переменной.
О бозначая производную отоператора Я символом dA/dt, наосновании (19.6) можно написатьdЯдАdtdt_,~~ = — + 1Н, А1(19.7)[Я , А-] =[Н, Я ] = - [ Й , Я ] _ = - ( Й Я - Я Й )НВ(19.8)называется, по аналогии с классичесд А дН '\dpi д х {dpi дх:(19.12)называется скобками Пуассона. Аналогия между (19.7) и (19.11) позволила назвать оператор (19.8) квантовыми скобками Пуассона. Если операторА или величина А явно от времени независят, то формулы (19.7) и (19.11)принимаю т видdЯГ.,— = Н, А ,dtLJdАdtгде ком м утаторгд Н д АН, А(19.13)(19.14)Квантовые уравнения Гамильтона.Аналогия между квантовыми и классическими формулами идет еще дальше.
Классическое уравнение (19.14)определяет изменение произвольной1 2 4 4 Основные п олож ения квантовой механикидинамической величины со временеми является уравнением для этой динамической переменной. В частности,она содержит в себе уравнения движения. Взяв в качестве А в этом уравнении величину х, находимdxд Н дхдх д НдНdrдр дхдр дхдр— = [Я, х] = -------------------= — . (19.15)Аналогично выбрав в качестве А величину р, получимdpд Н дрдр д НдНdrдр дхдр дхдх— = [Я, р~] = ----- L _ J L — = _ — .(19.16)Таким образом, уравнение (19.14) содержит в себе уравнения движения вформе Гамильтона.Уравнение (19.13) является квантовым уравнением для оператора Я,которым изображается некоторая динамическая переменная, т. е.
это уравнение определяет закон изменения соответствующей динамической переменной. Взяв в качестве динамических переменных оператор координаты и импульса частицы, получимследующие квантовые уравнения движения в форме Гамильтона:dxЛd/i— = [Я, х], - р = [Я, p j .drdr(19.17)В правых частях этих уравнений стоятквантовые скобки Пуассона, определяемые равенством (19.8).Интегралы движения.
Пусть оператор А некоторой динамической переменной не зависит явно от времени икоммутирует с гамильтонианом. Т огда на основании (19.7) имеемdА— = 0.dr(19.18)В этом случае ( А ) с течением времени не изменяется, так как из (19.18)следует, чтоUdra) = 0,(19.19)т. е. среднее значение этой переменной постоянно. Постоянной остаетсятакже и вероятность найти при измерении динамической переменной Ато или иное числовое значение А п.Чтобы это показать, заметим, чтовероятность.^„ = K I 2 = l R ( r ) Т ( Г , Г)d К|2,(19.20)где и^ - собственная функция оператора А, принадлежащая собственномузначению А п; Ч *-волновая функциястационарного состояния, в которомпроизводится измерение Я.
Н езависимость ЗРП от времени становитсяочевидной, если в явном видевыписать аргументыа„ = j и* (г, r m r , r)dV = е - ,Et/лJ ‘Р(г)м*(г)dК(19.21)где У (г, t) = е х р ( - iEtlh)'¥(r). Ясно,что | ап |2 не зависит от времени, что итребовалось доказать.Теоремы Эренфеста. Вычислимквантовые скобки Пуассона [Я , х],[Я , р х~\. Так как оператор координатых коммутирует с оператором потенциальной энергии £„(г), входящей воператор Гам ильтона, и, кроме того,он коммутирует со всеми составляю щими оператора импульса, за исключением составляющей р х, то[Я, х] = Ч Н х - хЯ) = —; .(fil-i - хр2х).nImn(19.22)Ho p2xx = p xipxx) = Px{xpx + h/i) = (pjc)px ++ (Ni)Px = (*Px ++ (b/i)px = xpl ++ (2h/i)px.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
