А.Н. Матвеев - Атомная физика (1121290), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Выносить эти пара(21.15)метры и символы в индекс вектора неОтсюда с учетом (21.11) следует не всегда удобно или даже возможно.равенствоПоэтому Дирак предложил специаль§ 21Линейные конечном ерны е векторные пространства 1 33ное обозначение для векторов, которое учитывает требования к удобствунаписания векторов и операций с ними в квантовой механике.
Векторобозначается символом | ), внутри которого в строке выписываются параметры или символы, относящиеся квектору. Если, например, вектор характеризуется парой чисел п, т, то онзаписывается как |и , т ) ; если символом ® , то в виде | ® ), если буквой vt,то | t \ ) и т.д .Пространство векторов |i>,) квантовой механики является комплексным. Вместо того чтобы говорить оконтравариантных и ковариантныхвекторах, говорят о векторах и сопряженных векторах. Каж дому вектору| vt) сопоставляется сопряженный емувектор | vt) +. Совокупность векторов|и ,) + составляет линейное векторноепространство наряду с линейным векторным пространством, образуемымсовокупностью векторов It;,). С кладывать векторы этих различных пространств нельзя.
Все операции надвекторами должны проводиться впределах каждого из пространств.Эти пространства связаны между собой определением скалярного произведения, которое и порождает м етрику пространства.Сопряженный вектор записывается как (и, | = |г;,) + . Скалярное произведение вектора |i;,) на |и Л записывают в форме | и,) + • |= ( v t | • | Vj) == ( v j v j ) . Знаки | • |, стоящие между vtи v , играю т лишь роль указателя,разделяю щ его перемножаемые векторы, и поэтому заменены одной вертикальной чертой. Это делает записьскалярного произведения компактнойи удобной.Левая угловая скобка** с чертойотносится к вектору ( | , а п р а в а я -к*’ Скобкаbracket (англ.)вектору | ) . Это дало основание Д ираку назвать вектор ( | бра-вектором, авектор | ) -кет-вектором .
Поэтомучасто линейное пространство кет-векторов называю т кет-пространством, абра-векторов - бра-пространством.Операторы. Операция сложениявекторов и умножения векторов наскаляры характеризует свойства векторного пространства. Операции надвекторами описываются операторами, которые обозначаю т буквами илидругими символами со значкаминад ними, например Л, L, % и т.д .Оператор А определяет правило, покоторому вектору | Ч*) пространствакет-векторов сопоставляется вектор| ф ) того же векторного пространства, т. е.
по заданному вектору | Ч*)определяется вектор | ф ) . Это сопоставление записываю т в виде равенства|Ф > = /?|'Р>(21.17)и говорят, что оператор Я действуетвправо на вектор 14*), в результатечего получаем вектор |ф ) .Оператору А, действующему вкет-пространстве, соответствует сопряженный оператор А +, действующий в пространстве бра-векторов, потакому правилу,:если оператор А, действуя вправо навек гор | ¥ ) , дает |ф ) , то операторА +, действуя влево на вектор ('F I,дает (ф |:( Ф | = ( ¥ |Л +.(21.18)Отметим, чтооператор А + действует только на векгоры ( 'F |, а оператор Л -т о л ь к о навекторы I'F ).Принцип суперпозиции состоянийв квантовой механике требует, чтобыв качестве операторов использовались только линейные операторы.Оператор А называется линейным, ес1 3 4 5. Основные понятия теории представленийли он для лю бой пары векторов | ф ) иI1? ) и любых комплексных чисел а иР удовлетворяет условиюЛ ( а |ф ) + р |'Р » = а а | ф » + р а |» Р » .(21.19)Суммой операторов Я и В называется оператор А + В = С, которыйдля лю бого вектора | 4х) удовлетворяет требованиюС| У ) = А \ Ч>) + В \ У ) = (А + В) | У ).(2 1 .20)Произведением операторов А и В называется оператор ЯЁ = б , которыйпри всех векторах |Ч*) обеспечиваетвыполнение соотношенияD |¥ > = Л (S| VF>) =‘Р ).(21.21)Если Я В = ЁЯ, то операторы Я и Вкоммутирую т друг с другом, если жеА В ф ВА, то не коммутирую т.Произведением числа а и оператора А называется оператор В =аЯ,удовлетворяющий для лю бого вектора I'F ) равенству5 |Т > = а (Л |Ч '» = a i l T ) .(21.22)У множ ая (21.17) слева наи(21.18) справа на |^ ) , получаем равенства< ^ |Ф) = ( ^ А У ) ,(21.23)<ф|^> = < ^ М + |^>,(21.24)из которых с учетом (21.96) следует,что< Ч '|Л + Ю = < ^М |Ч ')*,(21.25)где звездочка означает комплексноесопряжение.
Равенство (21.25) вы ражает основное свойство сопряженныхоператоров. С помощ ью этого соотношения с учетом линейности операторов и свойств скалярного произведения векторов, выражаемых равенствами (21.9), нетрудно доказать следующие правила сопряжения произведений и сумм операторов:(А + В ) + = А + + В +, (АВ)+ = В+А +,(аА)+ = а*А +, (Л +)+ = А.(21.26)Оператор Я называется самосопряженнымили эрмитовым, если длянего А + = А. Равенство (21.25) в этомслучае< Ч '|Л Ю = « М 1 Ч '>(21-27)выражает основное свойство эрм итова оператора.Единичным I называется такойоператор, который лю бой вектор | Ч*)оставляет без изменения:\'¥)= t\'¥).(21.28)Нулевым 0 называется оператор,переводящий лю бой вектор | Ч/ ) внулевой вектор |н у л ь):|нуль> = 0 IT ).(21.29)Обратным к Я называется оператор А ~ 1, удовлетворяющ ий равенствамАА ~1 = А ~ 1А = Т .(21.30)Заметим, что не лю бой оператор имеет обратный.Унитарным называется операторА, удовлетворяющ ий условиямА А + = А +А = f.(21.31)Отсюда следует, что для унитарного оператора между собой совпадаю т его обратный и сопряженный.Нетрудно показать также, что произведение двух унитарных операторовявляется унитарным и что скалярноепроизведение не изменяется при одинаковом унитарном преобразованиивходящих в него векторов.Представление векторов и операторов в ортонормированием базисе.
Ф ормулой (21.6) лю бой вектор можетбыть представлен в виде разложенияпо лю бой совокупности линейно независимых векторов. Из этой совокупности посредством ортогонализа-§ 21Линейные конечном ерны е векторные пространства 136ции [см. (21.76)—(21.82)] можно построить совокупность п ортонормированных векторов, которые обозначим | / ) (i = 1 ,2 ,..., и). Они удовлетворяю т условиям орт онормированности (21.10), которые в обозначенияхДирака имею т вид<*!/> = V(21-32)Разложение (21.6) произвольноговектора |и ) по ортонормированномубазису из векторов |г ) записываемтакже очень компактно:(21.33)где и, - проекции вектора |и ) на орты|г ) базиса. Умножая (21.33) слева на(у | и принимая во внимание (21.32),получаем0 » =L ^ < /'1 0 = Z v^ j, = vj i= lI= 1(21.34)Ф ормула (21.34) позволяет находитькоэффициенты vt в разложении (21.33).Совокупность чисел {i\, v2,vn}полностью определяет вектор |и ) взаданном базисе из векторов 11),| 2 ), .
. . , | и ). Эта совокупность называется представлением вектора |и ) вбазисе из векторов | г). Все операции свекторами могут быть выражены посредством операций над совокупностью его проекций. Кет-вектор| v ) в представлении заданного базисапринято записывать в виде столбцаего проекций:If>(21.35)Операторы в заданном базисепредставляются в виде матриц. Записав векторы | 1Р ) и |ф ) в ( 2 1 .
1 7 ) в видеразложения (21.33)1ф> = L<Pjl/’>. I*?) = L ‘p.l0(21-36)j'где ф7 = < /'|ф ), Ч/, = <i | *Р) - проекции векторов | ф ) и | *Р) на орты|у ), |/ ) . получаем1ф,1/>= ^ 1 ^ ,1 0(21.37)JВ (21.36) и (21.37) суммированиепо / и j распространяется на все ортыбазиса и пределы суммирования вявном виде не указываются.
А налогично будем поступать и в дальнейшем, когда это не может привести кнедоразумению. У множая (21.37) слева на ( к \ и учитывая, что < fc|j) = 8k;,< /с |/) = 5Ь , находимФк = Х < ^ М 1 0 Ч ', = Х Л ,Ч '„(21.38)гдеAkl = ( k \ A \ i )(21.39)- матричные элементы оператора А.Выразив векторы | Ч*) и | ф ) в виде(21.35), запишем (21.17) как матричное равенствоФ1ф2Фп )А ц А 12аЛ/ч \А 21 А 22\^ ,iА п2 ••• А(21.40)в котором правило умножения задается формулой (21.38). Таким образом, в ортонормированном базисеоператоры представляются квадратными матрицами, а действие оператора на вектор сводится к умножениюматрицы на столбцы из проекций вектора.
Все действия над операторамимогут быть выражены в виде действий над матрицами. В частности,сложение операторов сводится к сложению соответствующих элементових матриц; умножение о п е р а то р о в -к136 5 Основные понятия теории представленийумножению матриц; умножение числана оператор - к умножению числа навсе элементы представляющей егома грицы.Выражения сопряженных векторови м атриц могут быть найдены аналогично. Разложение сопряженного к|и ) вектора ( v \ записывается аналогично (21.33):/ * **ч►(!>!, V2 , .
. . , V„).(21.46)Скалярное произведение векторов\ v ) = ' Z v-l'), |w> = Х>,|г>(Iс учетом (21.43) равно(21.46а)(w | v) = J] w* v,.(21.466)(21.41)где ^ -п р о е к ц и и вектора <Ч’| на орты(г | сопряженного базиса. Умножаяравенство (21.41) справа на |у ), находим< Ф > = ^-Выражая в (21.18) бра-векторы<4*1 и <ф| в виде (21.43), получаемсоотношение(21.42)(21.47)Отсю да на основании (21.176) следует, что <и|/>* = С = < /1^) = vp где Vjопределено в (21.34). Тогда [см.(21.41)]умножение которого справа на |/с)приводит к равенству<” 1= ! » ,* < 'I-(21.43)П оэтому сопряженный вектор ( i;| взаданном базисе выражается совокупностью чисел {v*, v*,V*}, ком плексно сопряженных с совокупностью чисел ( d 1? г 2 , ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
