А.Н. Матвеев - Атомная физика (1121290), страница 40
Текст из файла (страница 40)
е. скалярное произведение бесконечномерных векторов | д~) и |/ ) , базисные представления которых задаю тсяфункциями д(х) и Дх), выражаетсяформулойОтсю да следует, что < х | х ') = 0 прих ф х', а в бесконечно м алой е-окрестности точки х = х' функция < х |х ')отлична от нуля, причемх+е| < x |x ')/(x ')d x ' = /(x) | < x |x ')d x ',x ~ ex~e( 22 . 10)где использована теорема о среднем.Следовательно,| <х | х' ) dx' = 1(22.11)при бесконечно м алом в. Это означает, что при х' = х функция < (х |х ')обращ ается в бесконечность, но так,что интеграл от нее по области, вклю чающей точку х, равен единице.Функция 5(х — х') = < (х |х '), обладаю щ ая такими свойствами, как5 (х - х') = 0(х' ф х),(2 2 .
12)1 44 5. Основные понятия теории представленийявляется 5-функцией Дирака. С ее помощ ью условие ортонормированности базисных функций | х ) при непрерывно изменяющейся переменной химеет вид( х | х'У — 8(х —х').(22.13)Свойства 5-функции Дирака. Онаявляется четной функцией своего аргумента. Это следует из (22.13):8 (х — х') = < х |х '> = < х '|х > * = 8*(х' — ,v) == 8 (х' — х ) ,(22.14)поскольку 5-функция вещественна.При наличии под интегралом производной от 5-функции по первой переменной в ее аргументе8' (х ■ У) = — 8(х8 (х — х')dx'ах(22.15)вычисление производится следующимобразом:|8 ' ( х — x')/(x')dx' = |d8 (х — х')Ах-f{x') Ах'== 7 .1'S (х - х')/(х') dx' = — Д х ) .dxdx(22.16)Это вычисление можно осуществитьтакже, произведя в подынтегральномвыражении замену:d8' (х —х') = 8 (х —х') — ,dx'(22.17)причем оператор А/Ах' действует навсе функции под интегралом, которыесопровождаю т 5' (х — х'). Вычислениеинтегралов при наличии в подынтегральном выражении производных от5-функции более высокого порядкаудобно производить с помощ ью заменыd"8 (х — х')dx"= 8 (х — х')d"dx'"(22.18)М ожно представить 5-функцию ввиде предела от функции, котораяотлична от нуля лишь в сколь угодном алой области вблизи точки х, однако принимает в этой области такиезначения, что интеграл по областиравен единице.
Например, функция(х - х')21(22.19)х') =7=ехра,/ксимметрична относительно точки х иявляется четной функцией своего аргумента. При лю бом ст| /- X;^(х — х') dx' = 1.( 22 .20 )Очевидно, что( 0 (х' ф х),lim /e ( x - x ) = jв—о(.00 (х = х).(2 2 . 21 )Следовательно,lim /<J(x — х') = 8 (х — х')<т О(22 .22 )Такого рода представлений 5функции в виде предела других функций существует бесконечное множество. М ожно ее выразить также в видепроизводной по х' от функции, которая везде постоянна, за исключениемточки х' = х, где она испытывает разрыв непрерывности с изменением значения на 1.Другие полезные представления5-функции могут быть получены изтеории рядов и интегралов Фурье.Например, известные из теории интегралов Фурье соотношения/(/с) = —= J е ikx'f(x') dx',Лу2я(22.23а)Дх) = - - L } f(k)eikx Ak,Jin(22.236)записанные в виде равенства~1Д х') dx', (22.24)Дх) = f,2л§ 22.
Линейные беск онечномерные векторные пространства 146показываю т, что00i - J eiM* ' x,)dfc = 5(х - х').(22.25)~ осБесконечномерные операторы. Ихсвойства целесообразно рассмотретьна примерах конкретных бесконечномерных операторов, которые играю тглавную роль в квантовой механике.Бесконечномерный оператор определяется в полной аналогии с конечномерным как правило, по которомубесконечномерному вектору | ¥ ) сопоставляется бесконечномерный вектор | ф ) [см. (21.18)]:[Ф> = Л |¥ > .(22.26)В базисном представлении действиеоператора сводится к преобразованию проекций вектора |Ч*) в проекции вектора | ф ), т.
е. к преобразованию функции Ф (х) в (функцию ф (х).Рассмотрим оператор D, действия которого в базисном представлениисводятся к преобразованию функцииЧ* (х) в ее производную ф (х) = c№/dx.Для соответствующих векторов равенство (22.26) принимает вид| d¥/dx > = D\'¥ }.(22.27)Так же как и в случае конечного числаизмерений, бесконечномерные операторы в базисном представленииописываются матричными элементами, образую щ ими бесконечномерныематрицы.Умножая обе части уравнения(22.27) слева на <(х|, получаемdT/dx = < х |6 |Т > ,(22.28)где учтено соотношение (22.4).
П ринимая во внимание (22.7), перепишем(22.28) в видеdT/dx = J < х | D | х' ">< х' | ¥ > dx' == | < х | Z) | х' > ¥ (х') dx'.(22.29)10 21 9Сравнивая (22.29) с (22.16), находимвыражение для матричного элементаоператора D в ортонормированномбазисе векторов |х ) :( х \ Ь \ х ' У = Dxx. = 8'(х - х') == 8 (х — х') — ,dx(22.30)где использовано равенство (22.15).Заметим, что в Dxx, — 5' (х — х') предусмотрено интегрирование по второму индексу х', а действие операторасводится к взятию производной попервому индексу х. Ф ормула (22.29),представленная в видеdT/dx = ф (х) = | DXXW (х') d x ',(22.31)аналогична (21.38) и отличается отнее только тем, что величины к и / в(21.38) принимаю т дискретные значения, а величины х и х' в (22.31) непрерывны.
Бесконечномерный оператор Dxx, является бесконечномерной матрицей, аналогичной матрицев равенстве (21.40), и его применениек вектору в базисном представлениисводится к интегрированию по второй переменной х'. Однако записатьDxx, в виде матрицы затруднительно,а представить его действие в видерезультата интегрирования слишкомгромоздко. Учитывая, что| 5 (х —x ') ~ ¥ ( x ') d x ' = ^ Т ( х ' ) | х=х.
=dx=dxdx(22-32)можно показать, что действие оператора 3 в х-представлении сводится квзятию производной d4,/d x без всякого интегрирования по переменнойх', т. е. просто как оператор дифференцирования. Именно такая процедура обычно применяется щэи вычислении действия оператора D. Однако при этом необходимо помнить1 4 6 5. Основные понятия теории представленийусловный характер такой процедуры,потому что в базисном представлении оператор D, как и все другиелинейные операторы, описываетсяматрицей.Оператор б не является эрмитовым оператором, потому чтоД ^ = 8 '* (х -х ') = 8 '( х - х ') == —8' (х’ — х) — — Dsx ,(22.33)П°°ф* (* )Кхх, ¥( х ' ) с1хс 1х ' =wиЛ * сdT(x')= —г|(ф *(х)5(х —х')--------d x d x '=dx'а аЬ= - ' Ф W — — dx,dx(22.38)< ¥ | £ | Ф>* = [f J У* (х) Кхх.
Ф(дсОdxdx']* =а ав то время как для эрмитова оператора должно было бы выполнятьсяравенствоD*XX= D X.X.(22.34)Чтобы сделать оператор б эрмитовым, необходимо умножить его начисто мнимое число, которое принятовыбирать в виде — / = —^ / — I. Получающийся в результате этого операторК = -*/25(22.35)удовлетворяет условию эрмитовости(21.25):= iD* =К?*- = ( - 'Dx(22.36)Однако для бесконечномерных операторов выполнение равенства (22.36)является лиш ь необходимым условием эрмитовости, но не достаточным.Чтобы в этом убедиться, возьмем двавектора | ф ) и | *Р ), представлениякоторых в базисе векторов | х ) д аются функциями ф (х )и 'Р (х ) на интервале (а, Ь). Э рм итов оператор К должен удовлетворять соотношению< ф | К | ¥ > = < ф | К ¥ > = < .£ Ч '|ф > * == < ¥ | К + | ф>* = < ¥ | К | ф > * .(22.37)Вычислим левую и правую части(22.37) в базисном х-представлении:<Ф|£|Ч'> =ьь= Л < ф | х ) ( х | ^ | х ' ) ( х ' | *P)dxdx' =.
L , ^ф*(х)= (4 * (х)—----- dx =dx= /'Ч/ (х)ф*(х)\ъфГ * ( х ) - ^ х , (22.39)laа - iМ| <где произведено интегрирование почастям. Видно, что< ф |^ |4 ') - < 4 '|^ |ф > * == г’Ч'(х)ф*(х)|Ь.(22.40)аСледовательно, условие эрмитовости (22.37) для оператора Ё. не выполняется, т. е. удовлетворение условию (22.34| еще недостаточно, чтобыоператор К был эрмитовым. Еще необходимо, чтобы правая часть в(22.40) была равна нулю:г¥(х)ф*(х)| - 0 ,(22.41)т.
е. оператор К, определенный равенствами (22.36), является эрм итовым лиш ь в том случае, когда проекции образующих его векторов в базисном представлении удовлетворяю т условиям (22.41). Эти условия соблю даю тся лиш ь при функциях, обращающихся в нуль на границах интервала (а,Ь), а также при периодических функциях, у которых период вцелое число раз меньше длины инервала b — а, т.
е. равен (b — а)/п, п == 1 , 2 , . . . , благодаря чему на границах интервала (а, b) они имеютодно и то же значение.i} 22 Линейные беск онечномерные векторные пространства 147Если интервал (а,Ь) бесконечен,т. е. а = — оо, b = со, то требования кфункциям для удовлетворения условия (22.41) необходимо уточнить.Если при х— оо и х —> оо функциистремятся к нулю, то соблюдениеусловий (22.41) очевидно. Однакопредставляется вероятным, что имеется и другой класс функций, которыев определенном смысле удовлетворяю т условию (22.41), хотя и не стремятся к нулю при х -» + оо. Возьмемв качестве примера функции е1кх привсевозможных вещественных значениях параметра к.
Они являю тся осциллирующими функциями при х ->-> + оо и не стремятся к определенному пределу. Не стремится копределенному пределу и произведение QlkxQ~lk'x при к ф к ' , хотя прик = к ’ предельные значения равны 1 иусловие (22.41) соблюдается. При к ФФ к' предельное значение произведения функций при х -> оо определяетсякак среднее значение по бесконечномуинтервалу, начинающемуся со скольугодно больш ого значения х, и еслипри этом значении произведение стремится к нулю, то в соответствую щ емвекторном пространстве оператор Кэрмитов.
Для функций е‘кх это условие имеет видhm е,кхе~,к х —X—*00a+L= hm а -* о оL - * ооei(fc“k )xd x — 0(к ф /с'),о(22.42)т. е. оператор 1C действительно эрмитов в пространстве соответствующихвекторовСобственные значения и собственные векторы. П роблем а нахождениясобственных значений и собственныхвекторов в бесконечномерном век10*торном пространстве значительноусложняется. Во-первых, уравнение(21.56) для определения собственныхзначений может бы ть в принципе записано и решено для сколь угоднобольш ой степени п. В результатеможно получить п собственных значений и соответствующее число собственных векторов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
