А.Н. Матвеев - Атомная физика (1121290), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Однако эти собственные векторы заведомо не могутсоставить полную систему линейнонезависимых векторов для образования базиса векторного пространства,поскольку пространство бесконечномерно. Во-вторых, наличие совокупное! и бесконечного числа ортонормированных векторов в бесконечномерном линейном векторном пространстве не гарантирует полноту образованного из векторов этой совокупностибазиса, потому что при вычитании изэтой совокупности конечного числавекторов в ней по-прежнему остаетсяих бесконечное число.Рассмотрим решение этой проблемы на примере оператора К. Уравнение (21.53) для определения собственных функций и собственных значенийимеет видК \к} = к\к},(2 2 .4 3 )где к - собственное значение, | к ~)собственный вектор оператора К,принадлежащий собственному значению к.
Будем реш ать это уравнение вбазисном представлении. Удобно перейти к х-представлению. Умножимобе части (22.43) на <х| слева:(х\К \к ) = к(х\к).(2 2 .4 4 )П реобразуя левую часть этого уравнения аналогично (22.29), находим| К | к ) = J (x | К | х ') (х' | к ) dx' == -j^-<x| / c> ,(2 2 .4 5 )1 4 8 5. Основные понятия теории представленийгде К = — Ю. Обозначая <х | к ) ==получаем вместо (22.44)уравнение для определения собственных значений и собственных функций:- i ^ 4 \ ( x ) = fc4\(x).(22.46)Его решениеЧух) = Ле‘кх,(22.47)справедлива также для физическогогильбертова пространства, в названиикоторогодлясокращ енияслово «физическое» обычно опускается.Значение постоянной А в (22.47)находится из условия нормировкиЧ,^(х) на 5-функцию и поэтому принимается равным 1Д/2тг [см. (22.25)]:осгде Л -п р о и зв о л ьн ая постоянная, к { к \ х } ( х \ к'у d x —произвольный вещественный пара < /с|/с') =метр, который является собственнымзначением оператора - id/dx, входящего в (22.46).
Функция Ч,к(х) дляdx = 5( к - к ' ) ,(22.48)области — оо < х < оо может бытьпринята в качестве собственной функции, принадлежащей собственному где <(х | к ) = Ч, к(х ) и учтено равенствозначению к. Она удовлетворяет усло (22.25).
Таким образом, проекциивию (22.42).вектора|fc)вбазисевектоФ ормально функция (22.47) удов ров | х ) задаю тся функциями Ч, к(х):летворяет уравнению (22.46) не толь(22.49)ко при действительных, но и при | /с > -> (11-/Тж)ёкх.комплексных значениях к. ОднакоПоскольку X -э р м и т о в оператор,при комплексных значениях к условие совокупность векторов | к ) образует(22.42) не удовлетворяется и, следо полный базис, по которому можновательно, К не эрмитов оператор.
разложить произвольную функциюП ространство функций, которые м о | / ) , принадлежащую гильбертовугут быть нормированы либо на еди пространству:ницу, либо на 5-функцию Дирака, называется физическим гильбертовым(k\x)(x\f)dxпространством. В математике гиль m = ( k \ f ) =бертовым пространством функцииназывается векторное пространство,которое содержит только собствен(22.50)Xf(x) dx.ные векторы, нормируемые на единиу/ ъ .цу. Однако в квантовой механикечрезвычайно больш ая роль принадле Разложение функции | / ) по базисужит несобственным векторам, кото векторов |х ) имеет видрые не могут быть нормированы наединицу, а нормируются на 5-функцию Дирака.
Это приводит к необхо /( х ) = <х I/ > =димости соответствующего расширения понятия гильбертова пространства. Принимается, что теорема о пол(22.51)1 j c,kxf ( k ) d k .ноте базиса, образованного собственy/bzJными векторами эрмитова оператора,v—crif00§ 22 Линейные бескон ечн ом ерн ы е векторные пространства 148Сравнение этих формул с (22.23)показывает, что преобразование Фурье дает переход от представлениявектора в одном полном базисе | л ) кего представлению в другом полномбазисе | /с) .
Оба эти базиса одинаковопригодны для представления векторов, принадлежащих гильбертовупространствуБазис из векторов |fc) генерируется эрмитовы м оператором К, м атричные элементы которого в этомбазисе равны(к\К \к') == к '( к \к ') = к'8(к-к')(22 52)Обозначим X - оператор, которым генерируется базис из векторов |х )Собственные векторы | х ) , по определению оператора Я, удовлетворяю туравнениюJ?| х) = х| х ) ,(22 53)и, следовательно, матричные элементы оператора X в этом базисе равны(х' | X | х ) = х8(х' —х)(22 54)Результат действия оператора %на вектор |/ ) обозначим |ср).Х |/ ) = |ф )(22 55)Тогда<x|jei/> = f<xmx'><x'i/>dx' == x f ( x ) = <х IФ > = ф(х)Следовательно, ср(х) = x f ( x )вие оператора X на вектордится в х-представлении книю на х проекций /(х ) этого(22 56)и дейст|/ ) своумножевектора:* |/(х )> = | */(*)> ,(22 57)где под |х / ( х ) ) понимается кет-вектор, проекции которого на базисныевекторы |х ) равны x f ( x ) .Коммутатор операторов X и К .Действиям операторов X и К на кетвектор | / ) соответствую т в х-пред-ставлении следующие операции надпроекциями вектора'Х |/ > - * / ( * ) ,(22 58а)d/(x)(22 586)Следовательно,,d №Х К |/> -> —ixdxX K \ f >.(22 59а)(22 596)1&сХ^ Х)и поэтомуd/(x)d/(x)IX—;----- h IX—---- +dxdx+ !/(*) = « / ( x ) - i f | / >(22 60)Поскольку I / ) -произвольны йвектор, из (22.60) получаемIX,K] = iTкет(22 61)Это важное коммутационное соотношение между X и К, которые являются основными операторами квантовой механики.
Большинство другихоператоров квантовой механики выражается в виде функции от X и # == ПК, где Н- постоянная Планка.Соотношение взаимности операторов X иМ атричные элементы операторов X и К в своих собственныхбазисах даю тся выражениями (22 54)и (22.52). Найдем матричный элементоператора X в собственном базисеоператора К:е~хе Xdx =itООxe‘ik~k )xdx == i — 8(k — k') = i8'(k —k'),(22.62)1 5 0 5 Основные понятия теории представленийгде при переходе от первого интеграла ко второму произведена заменапеременной интегрирования х— х,или, другими словами, учтено, что5(/с' — к) — 8(/с — к'). Обозначим f ( k )проекции вектора | / ) в базисе оператора К. Из (22.62) следует, что проекции вектора % \/ ) в этом базисеравны idf(k)/dk.
Проекции векторав собственном базисе К наосновании (22.52) выражаю тся в видеkf(k). С учетом (22.58) заключаем,что проекции векторов X | / ) и К | / ) вбазисе оператора £ равны соответственно x f ( x ) и —J d f ( x ) / d x , а в базисе оператора К - соответственноid f( k )/ d k и k f ( k ) .23. Постулаты квантовой механикиИзлагается абстрактная формулировка квантовой механикиСмысл аксиоматического представления физической теории. Физическаятеория всегда возникает как результат наблюдений, опыта и экспериментальных исследований, приводящих кпостроению физической модели соответствующей области явлений. М одель формулируется и описывается наматематическом языке и называетсятеорией данной группы явлений.
Всеобширное содержание теории можносвести к небольш ому числу основныхположений, из которых посредствомлогических и математических операций можно получить все следствиятеории. Совокупность этих основныхположений принято называть аксиомами или постулатами теории. Всяклассическая механика Н ью тона базируется на трех п остулатах-закон ахН ью тона; вся классическая электрод и н а м и к а -н а уравнениях М аксвеллаи т.д .Изложение теории исходя из еепостулатов является наиболее кратким и в большинстве случаев наиболее изящным.
Оно широко используетсявтеоретическойфизике.Однако при этом предполагается, чтофизическая модель и соотношениеиспользуемых в модели понятий сфизической реальностью имею т ясноеи непротиворечивое толкование, асамо аксиоматическое изложение теории не затуш евывает ее экспериментального происхождения. А ксиоматическая формулировка физической теор и и -р езу л ьт а т экспериментальных итеоретических исследований, а отнюдь не инструмент этих исследований.
Тем не менее это важный факторфизических исследований, потому чтов наиболее ясной и краткой формепредставляет проблему соотношенияфизической теории и физическойреальности.В первых четырех главах этойкниги были изложены экспериментальные факты, которые привели квозникновению квантовой механики,а также основные положения квантовой механики в наиболее привычномпредставлении-координатном .
Этопредставление кажется некоторой м о дификацией моделей классическойфизики и выглядит наиболее «естественным» и «понятным». Однакоименно благодаря этому оно наименее приемлемо для изложения существа квантовой механики и частоприводит к его искажению. Например, квантовая механика излагаетсякак теория, основанная на дифференциальном уравнении Шредингера, азатем говорится об «операторном методе» квантовой механики. При таком подходе невозможно вообще понять суть квантовой механики, потому что при этом не учитываетсяразличие физической природы динамических переменных классической и§ 23.
Постулаты квантовой механики 151квантовой физики. Этим же обстоятельством обусловливаются некоторые «парадоксы» квантовой механики, которые по своей сути являютсянедоразумениями. П оэтому целесообразно сформулировать основныеположения квантовой механики вабстрактном представлении, когдавсе э 1и 1рудное 1и устраняются самисобой.Постулаты квантовой механики.Целесообразно сформулировать основные положения квантовой механикидля наиболее простого случая нерелятивистского движения отдельной частицы в одном измерении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
