А.Н. Матвеев - Атомная физика (1121290), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Поскольку вэтом случае полный гамильтониан(включающий возмущение) зависитот времени, энергия не сохраняется ипоэтому стационарных состояний несуществует. Следовательно, в этомслучае задача о нахождении поправокк собственным значениям энергии невозникает. Задача состоит в приближенном вычислении волновых функций уравненияI ctвиде разложения по волновым функциям 'Ри0>(Г, f)* п dtИ злагается метод нахождения волновых функций зависящего от времени уравнения Шредингера, когда оператор Гам ильтона явно зависитот времени• ~ - ЙНестационарная теория возмущений 241|4 '* 4 'd x d jd z = £ | С„ | 2 = 1.(43.7)Покажем, что если условие (43.7) выполнено при каком-либо одном м о менте времени, например начальном,то оно выполняется и при лю бомпоследующем моменте времени.
Длядоказательства умножим (43.5) наС* и просуммируем по т:i tr m dt— V Vтп с *т сп ■(43.8)24 2 9 Теория возмущенийС другой стороны, умножая комплексно сопряженное к (43.5) уравнениена Ст и суммируя по т, получаем- I — Ст =i t dt тv l „ С: с т = X V L С* Сл,= zж ,и(43.9)т Упгде последнее равенство-результатизменения обозначений индексов суммирования. Вычитая почленно (43.8)из (43.9), находим- т : 1 С с т = X‘ dt тZ,c*mcn(vL-v mn). (4з.Ю )в которой С („0) определяются из начальных условий.Пусть в начальный момент времени, когда включается возмущение,система находилась в стационарномсостоянии, описываемом функциейT (p0).
Тогда(43.14)С<°> = 5.так как в начальный момент в разложении (43.3) имеется лиш ь одинчлен номера п = р. Уравнение (43.13)для нахождения первой поправкипринимает видМСУ(43.15)= Lу* V 5пр = Vг тр .iЕсли оператор возмущения эрмитов, то V%m — Vm„ и, следовательно,правая часть равенства (43.10) обращается в нуль. Значит,X C *C m= const,(43.11)что и требовалось доказать. Такимобразом, условие нормировки (43.7) стечением времени сохраняется.Вычисление поправок к волновымфункциям. Уравнение (43.5) можнорешать по методу последовательныхприближений, взяв за величину первого порядка малости возмущение V.П редставим коэффициенты Ст в видеCm= CLD) + CL1) + CL2) + ...
,(43.12)где коэффициент С („ ] имеет тот жепорядок малости, что и возмущениеV, коэффициент С („ ] является величиной второго порядка малости относительно возмущения и т. д.Подставив (43.12) в (43.5) и приравнивая между собой величины одинакового порядка малости, получаемсистему уравненийfid C (*+1)i(к ="d/0, 1,= Z K .c f >2, . . ."),(43.13)dtт пОтсюдас й >(0~ sfvmM d t .(43.16)И так, волновые функции первогоприближения найдены.
Аналогичном огут быть вычислены и последующие приближения.Пример 43.1. Найти вероятностьпоглощения фотона атом ом , находящимся в электромагнитном поле.Д ля электромагнитного поля в вакууме в отсутствие зарядов запишем${т, t ) = — д А (г, t)/dt, В = V х А.При V •А = 0 имеем1 д2А лV А - - j - т т = 0.с2 d t2М онохроматическая плоская волна круговой частоты со описываетсяформулойА(ю; г, /) = 2А0((о) cos (к ■г —со/ + cpj == А0(со) {ехр [г (к ■г - со/ + <pj] ++ ехр[ —/'(к г - со/ + cp j]}.Если со = кс, то£ = —2соА0(со)sin (к т - со/ + <рш),§ 43.
Нестационарная теория возмущ ений 243В = — 2к х A0(co)sin(k-r —со/ 4- (рю).При квантовом описании электромагнитного поля объемная плотностьэнергии равна /ко N (со)/Г, а при классическом она дается выражением(е0^ 2 + 5 2/ ц0)/2 == 4е0со24o(ra)sin2 ( k - г — cor + фш),откуда средняя объемная плотностьэнергии за период wo:) = 2е0со2Ло(со).Приравняем ее /гсоN (со)/'К:Ло(со) = й /V(o>)/(2f.0o>К).Плотность потока энергии/(со) = 2е0со2/1о(со)с = [JV(co)/ico/F]c = wmc.Гам ильтониан бесспиновой частицыН = [l/(2m j] (р - qA)2 4- <у<р.Для электрона в кулоновском полеядра с зарядом Z e потенциал ср == — Z e / ( 4 n e 0r) и, следовательно, приналичии внешнего электромагнитного поля1Ze2ЙдЧ»— ( - т + еA)2- J — Ч»..2 теi dt4m:0r_Кулоновская калибровка обеспечивает коммутируемость операторов V и А:V(A4») = (V-А)Ч» 4- A(V4») = А(УЧ').лieh% , / ) = ------- А -V .теП ространственная часть собственных функций Ч'*,01 (г, /) уравнения (43.2)дается соотношениями (30.39), а временная часть представляется множителем exp ( —iE„t/fi), причем собственное значение энергии дается формулой (30.24 6).
Собственные значениявырождены, а собственные функции,принадлежащие вырожденному собственному значению, ортогональны.При расчетах (см. § 42) каждое состояние, принадлежащее вырожденному собственному значению, надорассматривать как самостоятельное.Если при t = 0 атом находился всостоянии Ч/р(г, t), то для амплитудывероятности того, что он в момент tнаходится в состоянии(г, t), имеемС 2 Ч 0 = - - } < 4 ' J A - V | 4 ' p> eto-/d r ',те0гдеа>тр = ( Е т - Е р) / П и < 4 'J A -V |4 'p> == J4'* (г) А •УЧ'р(г) dx dy d z .Пусть излучение почти монохроматично и сконцентрировано в узкоминтервале частот Асо вблизи максимальной частоты со0. ТогдаТогда имеем:И дЧ(i dt\А (г, /) = j А 0 (со) {exp [г (к ■г - со/ 4- ф J ] 4-П2Ze14яг 0г2iefi------ A-V ++ к А‘ ) ' ■В слабых полях квадратичный по Ачлен весьма м ал по сравнению с линейным и им можно пренебречь.
И спользуя (43.1), гдей7 р2# 0)= - — V2 - 2 тезапишем16 *-,4ле0г’Лео4- ехр [ —г ( к т — со/ 4- cp j]} dco,I exp (/ фш) <4'm| exp (/k ■r) xmeAtatx A0 (со) • V14»p> dco J exp [г(соир - o>) /'] d/' —0g-------I exp ( —/фю)<Ч'т |е х р ( —гк т ) xm e Aotx A0(co) • V |4 'p>dco J exp ( /(comp + со)/'] dt'.0В общем случае продолжительность244 9. Теория возмущенийимпульса излучения много большеВероятность нахождения системыпериода 2л/сотр световой волны, из в состоянии т в момент времени tлучаемой атом ом при переходе р -+т.равнаОчевидно, что С^1’ (t) близко кнулю для всех частот ю, которые не I C ^ ( t ) \ 2 = ~ | Q(co)/(f,co - comp)dco,т е Ао>очень близки к сотр.
При со ^ ^трпервый член С^Х) (?) отличен от нуля, а второй пренебрежимо м ал. В St® ) = | < ¥ т |е х р ( ; к т ) А 0 (с о )-У |¥ р> |2,этом случае Е т — Е р -\- йсо, следо / ( / , с о - с о тр) == {1 - cos [(со - сотр)/]}/(со - сотр).вательно, первый член описываетпоглощение ф отона (Ет > Ер). ПриФункция / имеет очень острый и узкийсотр = —со, Е т = Ер — Лео отличен отнуля второй член, а первый равен максимум при со = сотр . П оэтому внулю. Следовательно, второй член CU) (0 пределы интегрирования можно растянуть от —оо до + оо и исописывает испускание фотона (Е т << Ер). Поскольку для заданных т,р пользовать теорему о среднем в макэти две ситуации взаимоисклю чаю симуме подынтегрального выражения:2ке2щие, каждый из процессов может расic<;>(oi2 = — Q(amp)t.сматриваться отдельно с помощ ьюmiсоответствующего члена С $ ) (/).
Крометого, надо учесть, что излучение Вероятность 0* поглощения фотонанекогерентно и, следовательно, при2пе2расчете интерференционные члены>mp= j t \ c £ Wотсутствуют.Задачи9.1.9.2.9.3.9.4.9.5.9.6.В гамильтониане изотропного гармонического осциллятора, рассмотренного в задаче 6.6,добавляется возмущение V = \. ху( К - константа). Н айти первую поправку к энергии первоговозбужденного уровня.П ростой гармонический осциллятор, колеблющийся вдоль оси Z, находится в основномсостоянии. При t = 0 включается электрическое поле с напряженностью 6 (?) == о ехр ( — //т) вдоль оси, приводящее к появлению в гамильтониане возмущения V == — q \ S ( t ) Определить вероятность того, что осциллятор будет найден в возбужденномсостоянии при t -> ооК гамильтониану (27 1) линейного осциллятора добавляется возмущение а х 2. Найтипоправки первого и второго порядков к энергии с помощ ью теории возмущений.
Получитьточное решение задачи при наличии возмущения и сравнить с приближенным.К гамильтониану (27 1) добавляется возмущение рх3. Н айти первую и вторую поправки кэнергии.Н айти поправку первого порядка к уровням энергии частицы в бесконечно глубокойпотенциальной яме [см. рис. 55, формула (26.6)], если имеется возмущение V ( x ) = 0 приО < х < а/2 и V(x) = V0 при а/2 < х < а.Н айти поправку Д Е к энергииосновного состояния электрона в атоме водорода,обусловленную учетом гравитационного взаимодействия протона массы т р и электронамассы те. Гравитационная постоянная G = 6,672-10“ 11 Н м 2 к г - 2 .Ответы9.1. ± X H / ( 2 y / mD ) .9.2.
^г2(УоТ2/[2тЙ (о(т2сй2 + 1)].9.3. (л + 1/ 2)аЛ/(тсо);- (п ++ 7 2)а 2/г/(2т2ш3), (п + l/ 2) f i J ( d 2 + 2 а / т . 9.4. 0; - (30л2 + 30л + 11)02Й2/( 8 т 3ш). 9.5. VJ2.9.6. A E/ Ei = 8,8• Ю-40.44Мультиплетная структура термовато м ов и линий излучениякак результат спин -орбитальн оговзаимодействия45Э ф ф е к т Зе е м а н а10ВЗАИМОДЕЙСТВИЕАТОМАС ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ПОЛЕМ46Эфф ект П аш ена-Бака47Э ф ф е к т Штарка48Взаимодействиедвухуровневого атомас когерентным резон ансны мизлучением49Динам ика спинав п ер ем ен н ом магнитном поле50Теория дисперсии51Комбинационное рассеяниеВ лияние внешнего электромагнитного поля наатом сводится к изменению энергетических уровней и состоянийатома, а также свойств симметриисоответствующих волновых функций. Общий подход к рассмотрению вопросов взаимодействияатома с электромагнитным полемсостоит в том, что атом и электромагнитное поле рассматриваютсякак единая система, для которойуравнение Шредингера решаетсяподходящими в конкретной ситуации методами.10В заимодействие атома с электромагнитным полем44.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
