А.Н. Матвеев - Атомная физика (1121290), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Смещение квантовых уровней пропорционально S 2.Э тот эффект называется квадратичным эффектом Ш тарка. Величинысмещений уровней энергии находятсяв результате решения (42.16).§ 48. Взаимодействие двухуровневого атома с когерентным р езонансны м излучением 26748. Взаимодействие двухуровневогоатома с когерентнымрезонансным излучениемОписывается квантовая картина поведения двухуровневого атом а в поле когерентного резонансного излучения.Уравнение Шредингера.
Длина электромагнитной волны много большеразмеров атом а, и поэтому во всемобъеме атом а напряженность электрического поля волны может бытьпринята постоянной и равнойS = <?0cos(co/).(48.1)Двухуровневый атом. Наиболее простая ситуация при взаимодействии П отенциальная энергия электрона вэлектромагнитного излучения с ато электрическом поле напряженности ём ом возникает тогда, когда можно равнасчитать, что излучение влияет лишь Г = — q t-S = - gr-$0 cos (со/) {q = —е).на два состояния атом а, а его влияние(48.2)на остальные состояния пренебрежимо мало.
Ясно, что возможность та где начало координат помещено вкого подхода обусловливается как центр атом а и г - радиус-вектор элексвойствами энергетического спектра и трона. Взаимодействием электрона ссостояний атом а, так и свойствами магнитным полем волны пренебрегаем, поскольку оно имеет релятивистизлучения. Д ля этогоскийпорядок малости по сравнению снеобходимо, чтобы излучение былодостаточно когерентным, ширина ли электрическим взаимодействием. Обоний излучения была достаточно м а значив оператор Г ам ильтона длялой и, кроме того, центральная часто электрона в атом е в отсутствие внешта со линии излучения находилась в него поля Я (0), запишем уравнениерезонансе с частотой квантового пе Ш редингера в атом е при наличиирехода между соответствующими внешнего поля (48.1) в видеэнергетическими уровнями,f id ¥ ( r ,f ).т.
е. выполнялось условие со = (Е 2 — -------- — = [Я (0) + К(0] Ч-(г, t),(48.3)id/— EJ/H, где Е х и Е 2 > ^ - с о б с т в е н ные значения энергии квантовых сос гдетояний атома. Если выполнение этого(48.4)условия оказывается достаточным Г(/) = —qr' # 0cos(co/)для того, чтобы можно было пре - оператор энергии взаимодействия,небречь взаимодействием излучения с соответствующий классическому выдругими квантовыми состояниями ражению энергии взаимодействияатома, то атом рассматривается как (48.2). Волновые функции стационардвухуровневой. Для упрощения рас ных состояний Ч'Дг) и ^ ( г ) , относячетов пренебрегают также конеч щихся к рассматриваемым уровнямностью времени когерентности, счи энергии, удовлетворяю т уравнениямтая излучение монохроматичным с Шредингера, независимым от времечастотой со, поскольку учет конеч ни:ности ширины линии излучения при= Я (0% , £ 2¥ 2 = H mt¥ 2.(48.5)выполнении условий, обеспечивающих возможность рассматривать атом Волновые функции 'Р 1 и х¥ 2 ортоноркак двухуровневый, тривиален.
По мированы. Волновую функцию Ч* (г, ?),тем же соображениям волну можно удовлетворяющ ую (48.3), ищем в висчитать линейно поляризованной.де17219258 10. Взаимодействие атома с электромагнитным полемV (г, /) = а, (О Ч'1(г) + а2(!) Ч*2(г).(48.6)П одставляя (48.6) в (48.3), получаемH d a ,_________fid я,f_____i dt1i dt= a 1(tf(0) + F) 4% + a2( # <0) + F ) ^ .(48.7)Умножая слева (48.7) на Ч** и Ч** иинтегрируя обе части равенства попространственным переменным с учетом условия ортонормированностифункции T j и Т 2Hda2=(48.9); °1V21 + а2Е2 + «2^2(48.10)V ' V j d x d y dz(48.11)- матричные элементы оператора V.Решение уравнения Шредингера.Уравнения (48.9) и (48.10) упрощ аю тся, если F tl = 0 и V22 = 0.
Это обусловлено свойствами симметрии волновых функций Ч^ и Ч ^. С учетом(48.4) выражение (48.11) может бытьзаписано в видеV;j = — q S о cos (tat) J 4'f (r)r4'J (r) dx d_ydz .(48.12)Поскольку функции Ч1, обладаю т определенной четностью и, следовательно, 4 ^ ( - r ) 4 ' i ( - r ) = 4 '* (r)4 'i(r), замечаем, что(48.13)| 4 'f (г) гЧ^ (г) d x d y d z0и поэтому с учетом (48.12) V tl = 0,V 22 = 0.
В результате этого уравнения (48.9) и (48.10) упрощаются:hdali d/idt= b2 V l2 exp (- - mt) ,b lVl1 ехрU { E l= b x V 2l ехр(гсог),^ + « , ^ , + « 2 ^= a 1E l + a2 V l 2,(48.15)Уравнения (48.14) принимаю т видП&Ь1= b 2 V 12ex p [ - i (E2 - EJt/fi-] =“71Г=Rdali dta / t ) = bj( t)cxp(~iEjt/fi) (j = 1,2).(48.8)находим~7~d7 =/ d7(48.14)— «j V2l + a2E 2.Для решения этой системы уравнений перейдем к новым неизвестнымфункциям 6 ,(0 и b 2(t) по формулам^ 2=f4 '* 4 'j dxd.>-dz = 5iJ.,Hda 2~Е у )т=(48.16)где Е 2 — £ \ = Нсо.
Учитывая, что собственные функции определяются лишьс точностью до фазового множителя,можно всегда подходящим выборомэтого фазового множителя сделатьматричные элементы (48.12) вещественными числами и положитьVl2 = V21 = 2MSlcos((at) = Ш (е ,ш' + e ~ ‘“"),(48.17а)где2Ш = —4'*(r)r4,2(r)djtd>’dz == - 9? 0j4 '* (r)r4 '1(r)dxd3>dz,(48.176)а множитель 2Й введен для удобства.П одставим (48.17) в (48.16):d6ti — - = Q b 2( 1 + е _2,ш!),dt2V(48.18)db2г—d/= QZ>,(1 + е “ ).Величина Q, имею щ ая размерность с - 1 , в уравнении (48.18) определяет скорость измененияи Ь2.При не очень больших амплитудах S 0электрического поля волны она достаточно м ала по сравнению с со.
Этоозначает, что решение уравнения(48.18) представляет сравнительно медt) 49 Динамика спина в п ер ем ен ном магнитном поле 2S9ленное изменение b t и Ь2, на котороенакладываю тся быстрые колебания счастотой со. От этих быстрых колебаний можно избавиться, произведяусреднение уравнения по периоду2л/со, в течение которого b t и Ьг изменяются незначительно и могут считаться постоянными. В результатеусреднения получаемdb,db-,i— = Qb2, i — - = ПЬ2,(48.19)dfdtгде ( e ±2'" ') = 0. Представление решения этих уравнений в видеb1(t) = cos(£2/), b2(t) = —/sin(fi<) (48.20)обеспечивает нахождение двухуровневого атом а при t = 0 в состояниипоскольку Ь2(0) = 0.
С учетом (48.20)и (48.15) можно вместо (48.6) написать¥ (г, 0 = cos (£2, <)е“'£‘'/йy¥ i (г) - ism (Q 0 e '‘£2'/fi4 '2(r).(48.21)Очевидно, что ¥ (г, t) нормировано наединицу.Обсуждение физического содержания решения. Из (48.21) следует, что стечением времени электрон переходитиз состояния, описываемого волновой функциейв состояние Ч/2.Вероятность обнаружить его в состояниях 1 и 2 в момент времени tравна соответственно cos (Ш) иsin2 (Ш). Таким образом, электрон счастотой Q осциллирует между состояниями.Среднее значение дипольного м оментар = —q S -т(48.22)равно( р ) = j Ч/*р'Р dx dj> dz == Pl2«t«2 + P21«2«l,гдер0.
= f ¥,*17 'dx dу dz.(48.23)(48.24)Учитывая, что p12 = p2i и значенияа, и a2 no (48.22), можно представить(48.23) в виде<р> = —Pi2sin (2£2<)sin(co<)(48.25)Следовательно,дипольный момент осциллирует счастотой внешнего поля волны со, аамплитуда этих осцилляций изменяется сравнительно медленно с частотой 2Q.М аксимального значения дипольный момент достигает в тот моментвремени, когда cos (Ш) = sin (Q t) == 1 /^ 2 .49.
Динамика спина в переменноммагнитном полеОписывается квантовая динамикапеременном магнитном полеспинавПостановка задачи. В § 38 был построен оператор спина и с его помощ ью полностью рассмотрено движение спина в постоянном магнитномполе, которое сводится к его прецессии. Проекция спина на направлениеиндукции магнитного поля являетсяинтегралом движения. Изменение направления спина на обратное не происходит.В переменном магнитном полекартина движения спина кореннымобразом изменяется и возможно изменение его направления на обратное.Спин в магнитном поле имеет дваэнергетических состояний и, следовательно, является двухуровневой системой. Все двухуровневые квантовыесистемы обладаю т рядом общихсвойств, которые, в частности, былирассмотрены в § 48 на примере двухуровневого атома.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
