А.Н. Матвеев - Атомная физика (1121290), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Спин в переменном магнитном поле ведет себя аналогично двухуровневому атому впеременном электрическом поле.260 10. В заимодействие атома с электромагнитным полемБудем считать, что составляю щ аямагнитного поля по оси Z постоянна,а составляю щ ая в плоскости X Y изменяется со временем:В = В0 + В(1)(/),(49.1)Sl0)—ТогдаHda +i dtгдеВ(0) = ( 0 ,0 Д О)),В (1)(0 = г Д 1^ ). Ж /’МЛ].(49.2)Оператор Гам ильтона для спина вмагнитном поле определяется формулой (38.4) и имеет видН = — (q/m)( В<0) + В(1)) •s.(49.3)Оператор спина s выражается формулами (36.5)-(36.7). Н апомним, чтоформулы (36.5)-(36.8) даю т представление спина в базисе собственных векторов его Z -проекций.Уравнение Шредингера. Зависящееот времени уравнение Шредингера сгамильтонианом (49.3) имеет видКd.—Ч»(0 >,(49.4)где на основании (38.6)Н=5fL(2тfit01Eg' - iff[' '- # 01(49.5)В последующем для упрощениянаписанияформулучтем,что— qhj(2m) = eh/(2me) = цв - м агнетонБора.Решение уравнения.
Решение уравнения (49.4) ищем в виде| Ч»(0 > = fl+(t) | Z, + > + fl_(01Z, - >, (49.6)где |Z, + ) и |Z, — ) - базисные функции в собственном представленииоператора спина [см. (36.2)]. П одставляя (49.6) в (49.4) и принимая вовнимание (36.2), получаемИd ( а лi dA a _&xl) -= Ив/a# 0) / Va+ /Я*."• (49.7)+ Btl) - /Si11 a(49.8)Hda_= Ивi dtfit1' +I(i4 - St0,a-Для упрощения дальнейших вычислений будем считать, что индукция магнитного поля в плоскости X Yописывается формулами1cos(rar),= fl<01)sin(Mf). (49.9)Отсюда’ + гД*,11 = Btf1[cos((ot) + /si n (со/)] == S<01|exp(+ iat).(49.10)Введя обозначение цв B[0) = Е, представим уравнения (49.8) в видеKd а+...= Е а + + ^в б ’01’ех р (— Ш) а _ ,i d<(49.11)Hda_i d/Д ля решения (49.11) перейдем кновым неизвестным функциям b +(t) иb-(t) по ф ормуламa+(f) = M 0 e x p [ - iEt/K],a_(t) = b_(t)exp[iEt/fi].(49.12)Полезно сравнить (49.12) с (48.15) и споследующим ходом решения уравнений в § 48.
П одставляя (49.12) в(49.11), находимKdb+=i d/|xB S q 'e x p f — /(о — 2E/H)t] b_,(49.13)Rdb_= цв S^'expf/fo —2E/d)t] b+.i d/§ 50. Теория дисперсии 261Особенно просто эти уравнения реш аются присо = 2 Е/И,(49.14)когда они приобретаю т видAb +db i — = Q b _ , i ----- = £ » + ,dfAt(49.15)гдеП = цв Д<о1)/Л.(49.16)Решение уравнений (49.15), удовлетворяющих начальному условиюЬ + (0) = 0, задается формуламиb + = sin (Qt), b_ = / cos ((It).(49.17)В решении (49.17) можно добавитьеще общий произвольный множитель, который по условиям нормировки функции (49.6) на единицуполагаем равным единице. С учетом(49.17) и (49.12) волновая функция(49.6) принимает свою окончательную форму:14^(0 ) = sin(Q /)exp( — iEt/H)\Z, + ) ++ /cosQ/ ехр (iEt/h) \Z, — ).(49.18)Вычисление средних значений оператора спина проводится аналогичнотому, как это сделано в § 38 [см.(38.13), (38.15)].
В результате вычислений средних в состоянии ^ ( z ) ) находим:( L ) = (h/2) [sin 2(Sit) — co s2(Q/)] == (-k/2)cos(2Qt),( s xy = — (h/2)sin(2Slt)sin(2Et/h),( $ уУ = (/z/2)sin(2£2/)cos(2 Et/h).(49,19)(49.20)(49.21)Прецессия спина. Ф ормула (49.19)показывает, что Z -проекция спинаосциллирует с частотой 2D, междуположительным и отрицательным направлениями.
Из (49.20) и (49.21) следует, что в плоскости X Y проекцияспина вращается вокруг оси Z счастотой 2Е/Н и модулируется повеличине с частотой 2Q. Это означает,чтоспин осуществляет прецессионноедвижение вокруг оси Z с частотой2 Е/И и одновременно изменяет счастотой 2Q угол между «своим направлением» и осью Z. Так образуется аналогия между движением спина вм агнитном поле и движением гироскопа, на который действует моментвнешних сил, стремящихся изменитьугол прецессии гироскопа.50. Теория дисперсииДаегся постановка задачи теории дисперсии ирешение соответствующ ей квантово-механической задачи.Задача теории дисперсии. Из классической электродинамики известно,что показатель преломления п средысвязан с диэлектрической восприимчивостью х среды соотношениемп2 — 1 = х,(50.1)причем х связано с поляризованностью Р и напряженностью электрического поля S равенствомР = х б 0? ,(50.2)где 80 —диэлектрическая постоянная.Однако поляризованность Р равнасумме дипольных электрических моментов р отдельных атом ов, находящихся в единице объема:Р = £р.(50.3)Электрический момент р каждогоатом а можно разбить на две части:р = Pi = р2.Здесь первая часть не зависит от напряженности внешнего поля и ориентирована беспорядочно, так чтовклад от этой части в сумму (50.3)равен в среднем нулю.
Вторая частьр2 индуцируется внешним полем и26 2 10. В заимодействие атома с электромагнитным полемнаправлена по напряженности поля:р2 = а е0ё ,(50.4)где а -а т о м н а я диэлектрическая восприимчивость. Подставляя (50.4) в(50.3) и сравнивая результат с (50.2),находимх = Na,(50.5)где ю„ = Е \0)/Гг, а функции /„ и ср„считаются того же порядка малости,что и возмущение.
П одставляя (50.9)в (50.8) и ограничиваясь членамипервого порядка малости, получаеме‘м,[Л(о)„ - со) - Я (0'1/„ + е -1“![/г(со„ + ю) - Я (0)]ср„= - 9? 0 т [ ( е ' “‘ + е ~ 'ю')/2]Ч/*0)(г).(50.10)где N - концентрация атомов. Задачатеории дисперсии заключается в вычислении показателя преломления п,т. е. величин а и х.Нахождение волновой функции.Считая падающий на атом свет м онохроматическим, а длину его волны много большей размеров атом а илимолекулы, можно электрическое полесветовой волны в атоме (или молекуле) представить в видеё = ё 0 cos (со/).(50.6)Приравнивая между собой члены приодинаковых экспоненциальных м ножителях, находим для определения /„и ср„ следующие уравнения:При решении задачи поле световойволны рассматривается как возмущение, причем, очевидно, энергия возмущения равнаV= —q i 0-г cos (со/) (q = —е).(50.7)/„ =Действие магнитного поля световойволны на движение электрона имеетпорядок vjc и в нерелятивистском случае перенебрежимо мало.
Тогда уравнение ШредингераЯд----------Я(0))'Р = V4>,i 8t(50.8)[Й (ю „- со) - Я<0,] / л = - (д /2 )ё0 • г Г » .(50.11а)[ЙК + (В) - Я <0>] ф. - - (q/2) ё 0 ■гП°Чг).(50.116)Представив искомые функции ввиде(50.12а)mФ„= S5„m^ 0)(50.126)и подставляя эти выражения в (50.11),получаемйЕ(со„ - сот - со)А„т'Р*®» =т= - ( 9/2)*0т«Р<°>(г),(50.13а)Щ со„ - сот + га)й„т4"°’ == - ( 9/ 2 ) ^ 0г 'Р<0»(г ).(50.136)где Н^0) - невозмущенный гам ильтониан, собственные функции которогоП 0) и собственные значения Е„(0> известны.Пусть до момента 1 = 0, когда наатом начала действовать световаяволна, он находился в стационарномсостоянии 4,<„0)(г).
Решение Ч^п(г, /)уравнения (50.8) будем искать в видеПосле умножения (50.13) на 4,<t0)* иинтегрирования по всему пространству с учетом ортонормированностифункций находим уравнения дляопределения коэффициентов А пк и Впк:й(со„- cot - са)Аяк = - (g/2)£0 Tj£\ (50.14а)й К - ®к+ ш) Впк = - (q/2) ё 0 ■г<°>, (50.146)У „(г, /) = 4/'°'(г )е '“У + /„(г)егде+ Ф„(г)е''<ш" + ш)',“ ш)' +(50.9)г<°>= j4/<k0|r vF*0)d;td>’dz(50.15)§ 50. Теория дисперсии 263-м атри ч н ы е элементы радиуса-вектора г.
Решение уравнений (50.14) выражается формуламиА„к = - £ о ' р£»/[2Й К * - ю)],(50.16а)Впк = - S 0 ■р£У[2/г (ш„к + о))],(50.166)где сопк = ю„ — сок - собственные частоты излучения атом а,= q r ffl- м атричный элемент вектора электрического дипольного момента. С учетом(50.16) и (50.12) выражение (50.9)можно записать в видеэтом результирующии момент единицы объема будет направлен по электрическому вектору световой волны,поскольку это направление являетсяединственно выделенным. Пусть дляопределенности электрический векторсветовой волны направлен вдоль осиY.
Тогда из (50.20) найдем# = Ру = N (р„„)у =“ N q { } № - [q/(2fi№F„m+ F*J*o Ы°> I2}.mFnm = eira7(®„m- <o) + e _‘“'/(o)„m+ <o),(50.21),<0 )L®„m- ю+ы„т +(50.17)Атомная диэлектрическая восприимчивость. Чтобы вычислить коэффициент атомной диэлектрическойвосприимчивости по формуле (50.4),необходимонайтиэлектрическийдипольный момент системы, индуцируемый световой волной. Для этогонеобходимо определитьР„„ = ^ ^ ( М г Ч 'Л г ,/) d.vdydz(50.18)с точностью до величин, линейных по$ 0.
Учитывая, чтоЧ»**. =- (2л у ! 2(+m+ W '^ 'C X 0’),где(50.19a)K m = Риш ' 8 0 [ e‘“7(Mnm “ CO) +++ «)],(50.196)получаемp™ = p‘ -' - ( Щ - "Z( wnmp<°> + и^1р'°„Г).(50.20)Чтобы перейти к величине х [см.(50.2)], необходимо произвести суммирование по всем молекулам, находящимся в единице объема. Пригде итп = y*m. Принимая во внимание,чтоFnm + F*m = 4co„mcos(co/)/(co2m- О)2), (50.22)можно выражение (50.21) переписать:& = Nq ^у1,у ОCOS (со/)СО(50.23)При выводе этой формулы быладопущенанепоследовательность,которая заключается в следующем.Учтено, что направление векторавдоль электрической напряженностиполя (ось У) является выделенным изакрепленным в пространстве. Собственные же функции, с помощьюкоторых вычислялись матричные элементы, найдены относительно некоторых осей, твердо закрепленныхотносительно атомов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
