А.Н. Матвеев - Атомная физика (1121290), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Электронымогут находиться в различных состояниях независимо друг от друга.Распределение вероятностей местоположения электронов независимодруг от друга и для каждого электрона совпадает с распределением вероятностей в водородоподобном атоме. Полная энергия равна сумме энергий электронов. Энергетические уровни каждого из электронов совпадаю тс энергетическими уровнями водородоподобного атом а.
Однако такая сравнительно простая картина существенно изменяется, если принять во внимание взаимодействия электронов и ихспины.Тождественность различных электронов. Электрон является точечнойчастицей с определенной массой испином. Все физические свойства различных экземпляров электронов аналогичны друг другу. П оэтому еслиодин из электронов заменить другим,то в любой ситуации ничего не изменится.Обменное вырождение. Волноваяфункция (52.7) представляет решениеуравнения (52.5) с собственным значением энергии Е = Еа + Е ь.
Очевидно,чго из-за идентичности электроновничего не изменится, если электрон 2поместить в состояние а, занимаемоеэлектроном 1, а электрон 7 - в состояние Ь, занимаемое электроном 2, т. е.ничего не изменится, если электроныпоменять местами. Следовательно,Волновая функция, получающаяся врезультате такой перемены местэлектронов, также является решениемуравнения (52.5), Таким образом, наряду с волновой функцией (52.7) решением уравнения (52.5) будет волновая функцияЧ»(2, 1) = 'Р Я( 2 ) 'Р Ь(1),(52.11)принадлежащая тому же собственному значению Е = Еа + Еь.
Непосредственная подстановка (52.11) в (52.5)показывает, что это действительнотак. Таким образом, имеются двеволновые функции, принадлежащиеодному и тому же собственному значению, т.е. собственное значение энергии вырождено, что является результатом идентичности электронов. Этовырождение называется обменным.Симметрия волновых функций. Изтождественных электронов следует,что плотность вероятности найтипервый электрон в точке г15 а втор о й - в точке г2 равна плотности вероятности найти второй электрон вточке г1? а п е р в ы й -в точке г2. П оэтому|Ч»(1, 2)|2 = | т1)|2.(52.12)Тогда должно соблю даться одно изравенств:¥(1, 2) = Ч»(2, 1)(52.13)либо¥(1, 2) = - Ч»(2, 1),(52.14)т.
е. волновая функция должна бытьлибо симметричной, либо антисимметричной. Волновые функции (52.7)и (52.11) непригодны для описаниядвижения электронов с учетом ихтождественности, потому что они необладаю т определенными свойствами симметрии, т. е. они не являютсяни симметричными, ни антисимметричными. Однако с их помощ ьюможно построить искомые симметричные и антисимметричные функции.Уравнение (52.5)- линейное дифференциальное уравнение. Поэтомусумма его решений с произвольнымипостоянными коэффициентами являt) 52 Атом гелия 273ется также решением. Следовательно,функцииЧ «+>(1,2) = ¥ а( 1 ) В Д + ' В Д Ч У П ,(52.15)«Р'-'О, 2) = ^ ( 1 ) ^ ( 2 ) - ^ ( 2 ) ^ ( 1 )(52.16)также решения уравнения (52.5), удовлетворяющие требованиям, налагаемым на волновые функции, т. е.
волновые функции. Но в отличие от(52.7) и (52.11) волновые функции(52.15) и (52.16) обладаю т определенными свойствами симметрии:Ч/<+' (1,2) - симметричнаяволноваяфункция, ^ “ '( l, 2)-антисим м етричная. Поэтому эти функции в принципеприю дны для описания движенияэлектронов с учетом их тождественное I и.Выше обсуждалась тождественность электронов. Но, конечно, различные протоны также тождественныдруг другу, различные нейтроны также обладаю т свойством тождественности и т. д.
Поэтому все сказанноевыше о тождественности электронови выводы из этой тождественностиотносятся также и к другим элементарным частицам. В частности,для описания системы элементарныхчастиц пригодны не любые волновыефункции, а лишь волновые функции сопределенными свойствами симметрии: либо симметричные, либо антисимметричные. Какие конкретно, т. е.симметричные или антисимметричные, функции должны быть взяты дляописания той или иной элементарнойчастицы, зависит от ее спина.Очевидно, что волновые функции(52.15) и (52.16) принадлежат одномуи тому же собственному значениюЕ = Е а + Еь. Однако такое утверждение не справедливо, если учитывается взаимодействие между электронами.18219Обменное вырождение и симметрияволновых функций с учетом взаимодействия между электронами. Приналичии взаимодействия между электронами их волновая функция уже неможет быть представлена в виде произведения волновых функций каждогоиз электронов, т.
е. в виде (52.7) или(52.11) или в виде их линейных комбинаций (52.15) и (52.16). Благодаряэтому обменного вырождения приучете взаимодействия между электронами нет. Свойства же симметрииволновых функций (52.13) и (52.14)должны сохраниться и при учетевзаимодействия между электронами,поскольку эти свойс1ва симметрииявляю тся следствием тождественности частиц, которые сохраняются ипри наличии взаимодействия. Однакопри наличии взаимодействия симметричные и антисимметричные функции принадлежат различным собственным значениям.Волновые функции электрона сучетом спина.
Физические свойстваспина, оператор спина и вектор спинабыли подробно рассмотрены в § 34,36, 38 и 49. Поскольку в этом параграфе все расчеты проводятся в х-представлении, вектор спина будем называть волновой функцией спина и обозначать S(+*(/'), S(_>(/) (z = 1, 2, ...), где/--номер электрона, к которому относится волновая функция; S<+ )волновая функция спина, проекциякоторого на выделенное направление(обычно ось Z) положительна (равнаЛ/2); S < _ ) - волновая функция с отрицательной проекцией спина на выделенное направление.
Обозначим ms квантовое число проекции спина (ш5 ==±72).Спин электрона слабо взаимодействует с его пространственным движением. Если Ч 'аО )-волн овая функция электрона, описывающая его про-274 11. М ногоэлектронные атомы•странственное движение, то полнаяволновая функция с учетом спинаимеет видили(52.17)в зависимости от ориентации спина.Спиновая функция двух электронов может быть представлена какпроизведение спиновых функций отдельных электронов. Очевидно, чтоиз двух спиновых функций электронов можно в принципе образоватьследующие произведения:5<+)(1)5<+)(2),(52.18а)S<+i(l)S(->(2),S(~’(l) S<+)(2),S(->(1) S,<“>(2).(52.186)1( 5 2 .2 0 а )Sm (l)S<"»(2) + S<+,(2)S<“ ,(1)0S‘->(])S(- ,(2)-1( 5 2 .2 0 6 )( 5 2 .2 0 b )б)антисимметричная функцияS<+»(1) S,- ,(2) - S<+)(2) S‘->(1)0.
(52.20r)В § 37 уже говорилось о сложениивекторов спинов с учетом пространственного квантования, чтобы получить полный спин системы электронов. Проекция полного спина на избранное направление равна суммепроекций спинов:ms = т(У + mi2).( 5 2 .2 1 )( 5 2 .1 8 b )(52.18r)В случае а) проекции спинов обоихэлектронов положительны, в случаеб) проекции спина электрона 1 положительна, а электрона 2 отрицательна и т.
д. Из-за тождественности электронов можно заключить, что волновая функция должна обладать определенной симметрией, т. е. быть либосимметричной, либо антисимметричной.Из (52.18) только функции а)и г) обладаю т определенной симметрией - являю тся симметричнымифункциями относительно перестановки электронов. Функции же б) и в) необладаю т определенной симметрией.Однако из них можно образоватьсимметричную и антисимметричнуюкомбинации:S<+,(l)S<-,(2) + S(+»(2)S<^)(1),(52.19)S<+)(1) S|-)(2) —Sl +)(2) S|-)(l).Таким образом, окончательно получаем следующие спиновые волновые функции:а) симметричные функцииms = m*11 + т{2)S ( ° ( l ) S l + ,(2 )'Указанные в формулах (52.20) квантовые числа ms получаются непосредственно по (52.21) с учетом определения волновых спиновых функций.И з формулы (37.22) следует, чтоквантовое число S полного спинадвух электронов может быть либо 0,либо 1.
Спрашивается: какие из волновых функций (52.20а)- (52.20г) принадлежат полному спину 1 и какиепринадлежат к полному спину 0?Прежде всего ясно, что функции(52.20а) и (52.20в) принадлежат полному спину 1, поскольку при полномспине 0 невозможны проекции спина,отличные от нуля. Эти функции симметричны. Если полный спин 1описывается некоторыми функциями,то и линейная комбинация этих функций должна описывать полный спин1. Но линейная комбинация, чтобыстать волновой функцией, должнаобладать определенной симметрией,а это возможно лишь тогда, когдасоставляющие ее функции обладаю тодинаковой симметрией.
О тсю да следует, что все функции, описывающиев данном случае полный спин 1,должны обладать одинаковой симметрией. П оэтому функция (52.206)§ 52. Атом гепия 275принадлежит так же, как и (52.20а) и(52.20в), полному спину 1. Волноваяфункция (52.20г) принадлежит полному спину 0, поскольку она обладаетдругими свойствами симметрии. Следовательно, симметричные спиновыеволновые функции (5 2 .2 0 а)-(52.20в)описывают триплетное состояние двухэлектронов (S = 1), а антисимметричная спиновая волновая функция(52.20г) описывает синглетное состояние двух электронов (S = 0).М атематическаяформулировкапринципа Паули. В § 37 принцип П аули был сформулирован так:два электрона не могут н а х о д и л ся в одном и том же квантовом состоянии, т. е.
не может существоватьдвух электронов, все квантовые числакоторых равны друг другу.Поэтому если, например, два электрона имеют одинаковые главное квантовое число п, орбитальное число / имагнитное mv то они должны иметьпротивоположноориентированныеспины, т.е . различные квантовые числа ms (ms = 1/2, ms = — 1/2). Спраш ивается: какие следствия можно извлечь из этого принципа при построении волновых функций?П олная функция двух электроновравна произведению спиновой волновой функции двух электронов на волновую функцию их пространственного движения. Если пренебречьвзаимодействием электронов, то вкачестве волновых функций пространственного движения электронов м ож но взять функции (52.15) и (52.16),обладаю щ ие определенной четностью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
