Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 5. Атомная и ядерная физика (1121281), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Роль же плотности играет величина р = = гп) а. Поэтому из формулы для скорости звука в стержне получается 3 56) Колебания агпомое в одномерной прямолинейной цепочке 337 получается величина яхсгн7т, т.е. примерно в полтора раза больше правильного значения 2. 'н7т. 4.
Движение цепочки в общем случае может быть представлено как наложение волн различных частот, распространяющихся вперед и назад. Конечно, всякая реальная цепочка ограничена. Обозначим чиню атомов в ней через и, тогда ее длина будет 1 = (и — 1) а. Если атомы могут совершать только продольные колебания, то число степеней свободы цепочки будет и. Закрепим неподвижно крайние атомы. Этим число степеней свободы уменьшится на две и станет равным и — 2. Частным решением уравнения (56.1) будет волна (56.2), распространяющаяся вперед (к > О). Волна той же частоты, распросграняющаяся назад, также будет решением. Следовательно, частным решением будет и суперпозиция таких двух волн: с х с1ххцьх) цхь~ьх~ ххыс — ьх сьх) Но так как крайние атомы закреплены, то в любой момент времени их смещения должны быть равны нулю.
Значит, должно быть со+ цо = 0 бее 'ы+цое'ы = О. Из первого соотношения следует, что по = — бе. С учетом этого второе соотношение дает -см о ) или (56.8) в1пИ = 0 '! аким образом, получается стоячая волна б = бее™(е ™х — е™х) = — 2хбоз1пкке™ = 2бесйпйк в1псе1, (56.9) причем (А 0 1 2 .. А'ихкс) (56.10) или 1=Ас —, Л 2' т.е. на длине цепочки долзссно укладываться целое числе полуеолн.
Каждой стоячей волне (56.9) соответствует собственное, или нормальное, колебание цепочки. Максимальное значение Х получается при максимальном значении 1г = к/а, т. е. Хч„, = 1/а = п — 1. Однако это значение, как и значение Ас = О, следует исключить, так как им соответствуют такие значения к, при которых все атомы получают одинаковые смещения.
А поскольку крайние атомы неподвижны, то и все прочие атомы были бы неподвижны. Следовательно, в цепочке с закрепленными концами может возбудиться всего и — 2 нормальных колебаний, что в точности равно числу степеней свободы цепочки. Общее движение цепочки с закрепленными концами может быть представлено наложением таких и — 2 нормальных колебаний. Итак, для длитсых волн дейсп1еи пельпо мошсно 'пользоваться непрерывной моделью твердого тела. Это и делается в теории Дебая 338 Некотпорые макроскопические квантовые явления (Гл.
Ъ'П Рис. 99 равновесия — через ~„и п„соответственно. Как и раньше, проведем расчет в приближении ближайших соседей, т.с. примем во внимание силы взаимодействия только соседних агомов. На рис.99 показано расположение атомов цепочки в положении равновесия. Под каждым атомом обозначено смещение его из этого положения. Применительно к этому рисунку по аналогии с уравнением (56.1) получаем М(„= х(О„, — 2~„+ и„), тт)„= х(~„.ю — 2г1„+ ~„).
(56. 11) Затем ищем частное решение этой системы уравнений в виде монохро- матической бегущей волны еюО'и — йпа) О О е ( 1 — ьпа) (56.12) предполагая, что а меняется в интервале (56.3), причем под а теперь понимается расстояние между двумя соседними одинаковыми атомами. После подстановки в (56.11) получится (Мы~ — 2х)5о+ х(1+ егв )по = О, (56.13) х(1+ е ™а)Со+ (ты~ — 2х)т1о — — О. Исключение Со и по дает Мты~ — 2х(М + т)ы~ + 2х~(1 — совписа) = О, для вычисления теплоемкости твердых тел при низких температурах, когда заметной энергией обладают только длинные волны. К тому же выводу можно прийти и в общем случае, рассматривая колебания трехмерной кристаллической решетки, состоящей из одинаковых частиц (одноатомное гвердое тело). Только в таком трехмерном геле, если пренебречь анизотропией, к продольным колебан лм, рассмотренным выше для одномерной цепочки, добавляются еще две ветви поперечных колебаний, т.е.
колебаний, перпендикулярных к волновому вектору к и совершающихся во взаимно перпендикулярных плоскостях. Число нормальных колебаний, как и число степеней свободы, утраивается. 5. До сих пор предполагалось, что кристалл состоит из одинаковыл атомов. В случае кристаллов, элементарная ячейка которых содержит несколько различных атомов, добавляются колебания этих атомов относи гельно друг друга. Для качественного решения вопроса воспользуемся опять одномерной цепочкой, но состоящей из двух разных атомов, чередующихся друг с другом (рис.99). Массы этих атомов обозначим через М и т (М ) т), а их смещения из положений 5 56) Колебания агаомов в одномерной прямолинейной цепочке 339 откуда г и ( ог = — — (М+тх Мт ~ ) .
(56.14) 0 я/4 я/2 зя/4 я Этой формулой и определяется спектр собственных частот колебаний цепочки. Из-за двойного знака перед квадратным корнем получаются две ветви частот. Знаку минус соответствует частота ьг1 = ыг (к), знаку плюс — частота ыг = огг(К).
Ветвь огг = ыг(1г) называется акустической или дебаевской, ветвь ыг = огг(к) оптической или борновской. Обе ветви представлены на рис. 100. При малых й (длинные волны) частота ыг также мала и меняется линейно в зависимости от Й. В этом слутому ~„= Оь. Это значит, что сосед- ав ние атомы с массами М и т (и вообще все атомы, расположенные на отрез- 2н ке, малом по сравнению с длиной волны) колеблются в одинаковых фазах. Ю1 При таких колебаниях цепочка можег быть аппроксимирована сплошной одномернои моделью. Йо Ветвь ыг = ыг(к)характеризуется тем, что для нее при к — э 0 ыг не стремится к нулю, а, наоборот, стремится Рис.
100 к максимуму. При малых к каждое из уравнений (56.13) переходит в М~о = — тпо, а потому М4 = — тг1. Это значит, что в этом случае соседние атомы с массами М и т колеблются в противополооюных фазах, т.е. происходит колебание одного атома относительно другого. 6.
В трехмерной кристаллической решетке, элементарная ячейка которой содержит з атомов, существуют Зз ветвей порл4альных колебаний. Из них три ветви акустические: одной соответствуют продольные колебания, двум другим поперечные. Остальные Зз — 3 ветвей оптические. Частоты некоторых нормальных колебаний могут совпадать изза симметрии решетки. Частоты акустических колебаний для длинных волн стремятся к нулю, для таких колебаний они пропорциональны нолновому вектору. В этом случае соседние атомы элементарной ячейки движутся синфазно, и кристалл можно рассматривать как сп ошную срес1у.
Оптические колебания характеризуются высокими частотами, не обращающимися в нуль для бесконечно длинных волн. При оптических колебаниях происходят сильные смещения атомов элементарной ячейки относительно друг друга. Рассеяние света на тепловых акустических волнах сопровождается изменением частоты, в этом состоит явление Мандельштамов Бриллюзна (см. т. Гч', 3 99, а также задачу 2 к 3 57). Оптическая ветвь колебаний характеризуется частотами и = ог/2тг 10гг — 10'г Гц, они лежат в инфракрасной области спектра, почему и получили название оптических.
Оптические колебания могут сопровождаться изменением 540 Некотпорые макроекопичеекиеквантовые явления (Гл. Ъ'П электрических моментов элементарной ячейки (например, в случае кристалла [МаС!, когда имеет мес го относительное смещение ионов?заз и С! ). Тогда возникают инфракрасные полосы поглощения и соответствующая им аномальная дисперсия в оптическом спектре кристалла. С инфракрасными колебаниями связано явление комбинационного рассеяния гвегпа (см. т. !'7', е 5100). Г!онятно, что ввиду дискретности пространственной решетки волновой вектор 1е, как и в одномерной цепочке, определен не однозначно. К нему можно прибавить произвольный вектор 2кК, чтобы фаза колебаний всех атомов ы1 — (сг изменилась на 2кп, гдо и произвольное целое число (положительное или отрицательное). Физически такое изменение ни в чем не проявляется.
Если аз, аз, аз базисные векторы кристаллической решетки, то вектор К определяется выражением К = 777аз + пзаз + пзаз, (56.15) где пы пз, пз произвольные целые числа (положительные и отрицательные), а аз, аз, а*, — базисные векторы обратной решетки, т. е. [азаз( „[аза,(, (адаз) (аз(азаз)) (аз[азаз() ' (аз [аз аз)) (см. т. 11, з 130, а также т. 1, 5 7).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
