Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 5. Атомная и ядерная физика (1121281), страница 85
Текст из файла (страница 85)
5. Воспользуемся теперь представлением о фононах для рассмотрения те лопроводиоети твердых тел. Мы имеем в виду диэлектрики, а не металлы. В диэлектриках перенос тепла осуществляется фононами, тогда как в металлах основную роль в этом процессе играют электроны. Само понятие теплопроводности относится к лок лько равновесному состоянию неподвижного тела, каждой точке которого можно приписать определенную температуру. Чтобы получить полностью равновесное состояние тела, можно, например, заключить его в жесткую оболочку, поддерживаемую при постоянной температуре. Тогда в результате теплового возбуждения фононов, их поглощения и рассеяния на других фононах, на примесях и дефектах решегки, на границах тела и окружающей оболочки, в конце концов установится полностью термодинамически равновесяое состояние тела, однозначно определяемое только температурой оболочки.
Оно характеризуется вполне определенным значением плотности энергии фононов в пространстве, вполне определенным распределением ее по спектру частот, хаотическим (в частности, изотропным) распределением направлений распространения фононов. В этом отношении равновесное состояние фононов в полости напоминает аналогичное состояние фотонов черное излучение. Локально равновесное состояние тела отличается от 3 57) Фононы и квовичастицы 345 полностью равновесного тем, что температура тела меняется от точки к точке, а все прочие параметры, характеризующие состояние тела с фононами, успевают принять практически равновесные значения, соответствующие этой температуре. Локально равновесное состояние и имеется в виду при рассмотрении теплопроводности. 6.
Вудем сначала предполагагь, что кристалл идеальный., т.е. не содержит примесей, а кристаллическая решетка лишена всех дефектов. Совокупность фононов в теле будем рассматривать как фояонный гав и воспользуемся для его теплопроводностн формулой и = — иСЛ, 1 3 (57.5) которую дает элементарная теория газов (см. т. 11, 3 89). Здесь С теплоемкость единицы объема тела (в прежних обозначениях С = нтсь), и средняя скорость фонона в тело, Л средняя длина свободного пробега фонона. Величина 6 имеет смысл средней скорости звука в теле, С определяется в квантовой теории теплоемкости твердого тела. Обе эти величины могут быть измерены экспериментально.
Наибольшие трудности встречает определение величины Л. В гармоническом (линейном) приближении звуковые волны (фононы) распространяются в идеальном кристалле, не встречая никаких препятствий. В этом приближении нет столкновений между фононами. Еспи бы кристалл был безграничным, то Л, а с ней и теплопроводность н были бы бесконечно большими. В следующих приближениях, когда в потенциальной энергии решетки учигываются члены третьей и высших степеней относительно смещений атомов из положений равновесия, появляются столкновения между фононами, ограничивакзщие их длины свободного пробега. Основное значение имеют члены третьей сгепени, приводящие к тройным столкновениям (см.
рисунки 101 а и 101 б). 7. Однако нормальные столкновения между срононами пе влияют на теплопроводность нристпалла. П ричпна этого та же, что и в аналогичном случае прохождения электрического тока через металл: электрическая проводимость металлов связана с длиной свободного пробега электронов и дырок, но столкновения между самими электронами и самими дырками на нее не оказывают никакого влияния (т. 111, 3 42, п. 2). Действительно, при нормальных столкновениях квазиимпульс фонона совпадает с истинным импульсом, а последний при столкновениях сохраняется.
Энергия при столкновениях также сохраняется. При распаде фонона прежний фонон исчезает, а вместо него появляются два новых фонона, которые и переносят через кристалл те же энергию и импульс. При столкновении двух фононов они исчезают, передавая импульс и энергию образовавшимся двум новым фононам, которые также продолжают нести их через кристалл. Так происходит при трехфононных процессах. Аналогичное имеет место в столкновениях с одновременным участием четырех, пяти и более фононов. Таким образом, нормальные столкновения между фононами не могут замедлить передачу энергии или импульса через крисчэлл.
Если бы 346 Некоторые макроекопичеекие квантовые явления ( Гл. '»'!! все столкновения между фононами были нормальными, то теплопроводность бесконечной идеальной решетки была бы также бесконечной. Возникает вопрос, почему приведенные рассуждения неприменимы к теплопроводности газа, состоящего из обычных частиц (атомов и молекул), хотя в этом случае при столкновениях также соблюдаются законы сохранения энергии и импульса? Дело в том, что при столкновениях частиц обычного газа они не уничтожаются и не рождаются. Налетающая частица, сама не уничтожаясь, при столкновении передает импульс и энергию уже существующим, а не рождающимся вновь частицам.
Нри этом в газе нет переноса вещества, а передача энергии не полная. Энергия ударяющей час гицы в резуль гаге столкновения может и уменьшаться, и увеличиваться Но если в газе есть градиент температуры, то энергия «горячих» частиц преимущественно уменьшается, а «холодных» увеличивается. Благодаря этому в газе и возникает поток тепла, направленный в сторону более низкой температуры. Из приведенных рассуждений следует, что теплопроводность иде льного кристалла можегп быть связана только с такими столкновениями фотонов, которые сопровождаются процессами переброса, так как при этих столкновениях не соблюдается закон сохранения квазиимпульса. Значит, только эти столкновения и должны быть приняты во внимание при вычислении средней длины снободного пробега фонона, входящей в формулу (57.5). 8.
Впрочем, сами вычисления очень громоздки и не могут бьггь выполнены без подробных сведений о межатомных силах взаимодействия в кристалле, которыми для большинства кристаллов мы не располагаем. С этим связано неудовлетворительное состояние теории: есть четкие физические представления и методы расчета, которыми, однако, нельзя воспользоваться для получения окончательных количественных результатов. Мы ограничимся только краткими качественными соображениями. Вблизи абсолютного нуля температур, когда тепловых фононов практически нет, средняя длина свободного пробега фонона ограничивается размерами кристалла.
Здесь дело обстоит аналогично тому, что имеет место в случае ультраразреженных газов, когда длина свободного пробега молекулы велика по сравнению с размерами сосуда, в котором заключен гез (см. т. 11, з 95). !1олагая в формуле (57.5) Л = 1, где 1-- размеры кристалла, мы получим величину»е, которая будет характеризовать не только внутренние свойства кристалла,но будет зависеть и от его размеров, !1ри низких земпературах скорость и практически постоянна, а теплоемкость по теории Дебая пропорциональна Те,поэтому и теплопроводность кристалла будет также пропорциональна Т'«.
1!ри повышении температуры влияние размеров кристалла отойдет на второй план. Определяющими будут столкновения между фононами, сопровождающиеся процессами переброса. За счет этого, а также за счет увеличения теплоемкости произойдет и быстрое увеличение теплопроводности. В этой области температур величина Л, а с ней и теплопроводность м кристалла уже перестают зависеть от размеров кристалла, а становятся только его внутренними свойствами. В области 3 57) Фоионы и квазичастицы 347 высоких температур можно ожидать зависимости х 1/Т. Действительно, в этой области справедлив классический закон равномерного распределения кинетической энергии по степеням свободы, в силу которого энергии всех фононов становятся одинаковыми (не зависящими от частоты иг). Поэгому плотность фононов Ю пропорциональна плотности энергии, т.
е. Т, а теплоемкость С достигает классического предела, который не зависит от Т. Поэтому средняя длина свободного пробега фонона Л 1/А1, а с ней и теплопроводность х становятся пропорциональными 1)Т. 150 )- АьгОг Из изложенного ясно, что при повышении температуры теплопроводность диэлектрического кристалла должна проходить че- Tз рез максимум. Это отчетливо проявляется на 1)7 рис.103, где приведена экспериментальная кривая теплопроводности, полученная для искусственного сапфира (А1гОз).
Максилгум на кривых для различных веществ проявля- Рис. 103 ется не всегда так резко. Причиной этого являются примеси и дефекты кристаллической решетки, вносящие дополнительное теплосопротивление и уменыпающие ее теплопроводность. з 100 50 ЗАДАЧИ 1. Определить давление, оказываемое звуковой волной на границу раздела двух изотропных непоглощающих сплошных сред (рис. 104). Р е ш е н и е. Так как нормальные слагающие потока энергии по обе стороны границы раздела сред одинаковы, Жгесг соз ~р — А!г есг соэ ~р = гггесг сов гр, где Юг, Хг и Хг — числа падающих, отраженных и прошедших фононов в единице объема, сг и сг — скорости звука в средах ! и 2, е = Йаг — энергия фонона (одинаковая в обеих средах).
Вводя коэффициент отражения т =- !л'г/Хг, отсюда получим сл совал Мг = — — — (1 — т)№. сг соз г!г Рис. Р04 Искомое давление ЗР равно нормальной составляющей импульса, которую передает звук единице границы раздела сред: нв — Агргсг соэ Зг (Мгргсг сов гр №Ргсг соэ гг), г ,г г Так как сплошная среда не обладает дисперсией, то рс =- е. Поэтолгу, используя значения А!г и Хг, приведенные выше, и вводя плотность энергии падающей звуковой волны 3' = №е, получим ар=. й сов ггс13г)гП1 т т) сов ггсйф — (1 — т) сйп иг).
348 Некоторые микроскопические квинтовые явления (Гл. УП 2. Используя прсдставление о фононах, получить формулу для тонкой структуры Манделыптама — Бриллюэна (см. т. Ю, 5 99). Решение. Связь между энергией и импульсом для света в среде (фотона) и звука (фонона) имеет вид и'йф )ы. (57.7) где с — скорость света в вакууме, а о; — скорость звука (фонона) в среде. К таким же соотношениям приводит и классическая теория. Уравнения сохранения энергии и импульса при излучении и поглощении фонона: йз =Мйф бф ) Ре =ш(рф Рф ) где плюс перед скобками относится к излучению, а минус — к поглощению фонона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
