Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 5. Атомная и ядерная физика (1121281), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Остальные электроны можно считать прочно связанными с атомными ядрами. Получается модель решетки из положительно заряженных ионов, которые рассматриваются неподвижными. Пространственно периодическое самосогласованное поле создается такими ионами и плавающими между ними валентными электронами. 2. В такой постановке рассмотрим задачу о виде стационарных одночастичных волновых функций электрона в кристалле и структуре энергетического спектра электрона, предполагая, что внешних силовых полей нет, а сама решетка простирается бесконечно во все стороны. Во избежание математических усложнений ограяичимся рассмотрением одномерного кристалла (т.е.
бесконечной прямолинейной цепочки одинаковых атомов, находящихся на постоянном расстоянии а друг от друга). Уравнение Шредингера для стационарных состояний в этом случае имеет вид 356 Неноторне манроекоиичеение квантовые явления [Гл. Ъ'П Исследуем общий вид решений уравнения Хилла, используя периодичность функции ге~(х).
В силу этой периодичности г г + ге (х + а)г)г(х + о) = , + гег(х)гр(х + а). дх~ дх Отсюда видно, что если функция Ф(х) есть решение уравнения Хилла, то функция Ф(х + а) будет также решением того же уравнения. Если юг(х) н г(гг(х) — какие-либо два произвольных линейно независимых решения уравнения Хилла, то общее решение его может быть представлено в виде Ф(х) = сгФг(х) + сгг(гг(х), где сг и сг произвольные постоянные. Докажем теперь, что среди решений уравнения Хилла существует такое решение Ф(х), что для любого хФ(х + а) = ЛФ(х), где Л— постоянная.
Если такое решение существует, то его, разумеется, также можно представить в виде Ф(х) = сгФг(х) + сгг(гг(х). (В этом случае говорят, что функции Фг(х) и Фг(х) образуют дгундагиегь талыгрю систему решений.) Тогда при х = 0 требования Ф(х + а) = = ЛФ(х) и Ф'(х + а) = ЛФ'(х) запишутся в виде сгФг(а) + сгФг(а) = Лсы с, Ф[(а) + сгфг(а) = Лег, или [фг(а) — Л]сг + Фг(а)сг = О, Фг(а)сг + [Фг(а) — Л]сг = О. Для совместности этих .линейных однородных уравнений (относитель- но сг и сг) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие гр,(а) — Л грг(а) =О, Ф[(а) Ф~(а) — Л (59.4) или Л вЂ” [ф,(а) + г(г~(а)]Л + [Фг(а)г)г',(а) — г)г~(а)фг(а)] = О.
Для упрощения вычислений выберем линейно независимые решения Фг(х) и Фг(х) так, чтобы они удовлетворяли условиям й 59) Зонноя структпу~ т и волны Блоха 357 Путем дифференцирования с учетом уравнения (59.2) нетрудно убе- диться, что Ст'едовательно, функция, стоящая в квадратных скобках, пос оян Ее значение найдется, если положить х = О. Тогда она обрагится в 1. Такое же значение эта функция будет иметь и при х = а. Введем, далее, обозначение Мт(а) + Мз(а) = 25.
Величина Л, разумеется, постоянна, поскольку используется однозначно определенное (фундаментальное) решение уравнения Хилла (59.2). Она называется постоянной Ляпунова (1857 — 1918). Ее значение определяется функцией гт, т, е, в конце концов параметром й, Теперь для определения Л получается квадратное уравнение Л вЂ” 21Л+ 1 = О. (59.5) Из него найдем два значения Л: Лтд = У х ъ~Т вЂ” 1.
(59.8) Тем самым определится не одно, а даже два решения уравнения (59.2): Фт (х) и Фз(х), обладающие требуемым свойством. (Случай равных корней мы исследовать не будем он может быть рассмотрен предельным переходом Лт — т Лз.) Решения Фт(х) и Фз(х) линейно независимы, и их удобно выбрать для представления общего решения в виде Ф = стФт(х) + сгФз(х). (59.7) Сами решения Фт(х) и Фз(х), конечно, не могут быть найдены, пока функция тс~(х) (т.е. в конце концов самосогласованное поле 11) неизвестна, а параметр й не фиксирован. Но это не мешает оперировать функциями Фт(х) и Фз(х) для установления общих свойств решений уравнения Хилла (59.2).
А интересующие нас свойства таких решений существенно зависят от величины постоянной Ляпунова 5. 3. Допусгим сначала, что постоянная! по модулю болыпе единицы; ~Ь~ > 1. Тогда оба корня Лт и Лз вещественны и по модулю один больше, а другой меньше единицы, так как Л, Лз = 1. Поэтому из уравнения Ф(х + а) = ЛФ(х) следует, что при х — т +со одна из функций Фт(х) или Фз(х) неограниченно возрастает, а при х — т †неограниченно возрастает другая.
В силу этого при ~Ь~ > 1 ни одно из решений Фт(х) и Фз(х), а следовательно,и произвольная линейная комбинация их с постоянными коэффициентами (59.7), не может быть волновой функцией электрона в кристалле. Это означает, что в кристалле не существует состояний с энергией (и для которых ~1 ~ > 1. Такие энергии образуют запрещенные онергетпичсскис зоны. Если же ~А~ ( 1,то можно положить 5 = сов Йа, гдето — постоянная. Тогда Лт,з = сов/та х тейп па = е~'~'. 358 Некоторые макроекопичеекие квантовые залепил (Гл. Ъ'П Следовательно, Фг з(х) = е+'" Ргд(х). Очевидно, с одной стороны, Фг з(х + а) = е™~+~) Р1 з(х+ а).
С другой стороны, ввиду (59.7а), Ф1 г(х+ а) = е~™аФг з(х) = е~г~1"т"~ Р (х) Следовательно, Р, г(х+ а) = Р, г(х), (59. 8) т.е. обе функции Рг(х) и Рз(х) периодичны с периодом а. Если еще учесть временной множитель е '~', то в отсутствие внешних силовых полей возможные полные волновые функции в кристалле можно представить в виде Ф|(х,г) = Р1(х)е Фг(х 1) = Рз(х)е Ц г а ~ (59.9) Эти волны описывают «свободное движение» электрона в кристалле, когда все действующие на него силы ограничены взаимодействиями с ионами кристаллической решетки и остальными электронами, а внешних силовых полей нет.
Они называются воли ми Блоха (р. 1905). В отличие от плоских волн де Бройля, распространяющихся в свободном пространстве, в волнах Блоха величины Рг(х) и Рз(х) не постоянны, а пространственно модулировапы, т. е, периодически меняются вдоль цепочки с периодом а. Иэ-за такой пространственной модуляции при Фг з(х+ а) = е~'~" Фг з(х), (59.7а) т. е, при изменении х на а модуль функции Ф(х) не изменяется. Меняется только ее фаза. Обе функции Фг(т) или Фз(х), а также их произвольная линейная комбинация с постоянными коэффициентами могу г быть решениями уравнения Пйредингера (59.1).
Поэтому возможны только такие значения энергии у, для которых модуль посгояниой Ляпунова меньше единицы. Они образуют разрешенные энергшпичсские зоны кристалла. Как и в предыдущем параграфе, мы пришли к эогшой структпуре энергетического спектра электрона в кристалле. В пределах каждой зоны энергия электрона меняется непрерывно. Это, конечно, связано с предположением о безграничности цепочки. Если бы цепочка была ограничена, то на ее концах должны были бы выполняться определенные граничные условия, которые бы и превратили непрерывный спектр зоны в ряд более или менее тесно расположенных линий. Для пояснения изложенного полезно рассмотреть модельную задачу 1, приводимую в конце этого параграфа. 4. Волновые функции Фг(х) или Фз(х) могут быть представлены в виде з 59) Зониая с»прук«пу~ » и волны Блоха 359 свободном распространении Ф-волн в кристалле величину йк называют квазиимпульсом электпронщ тогда как при движении элект1юна в свободном пространстве такая величина есть просто импульс.
В трехмерных кристаллах плоская волна Блоха имеет тот же вид, что и (59.9). Только Р(х) заменяется на функцию Р(г), обладающую той же пространственной периодичнос гью, что и сама решегка, а волновое число к на волновой вектор 1«, которому соответствует квазиимпульс Яс. 5. Выбором постоянной Ляпунова, а с ней и квазиимпульса 51с определяется (с точностью до постоянного множителя) волновая функция Блоха. Следовательно, определяется и энергия электрона Ф, которая входит в стационарное уравнение Шредингера в качестве постоянного параметра.
"1аким образом, в пределах каждой зоны допустимые значения энергии электрона могут быть представлены как функции квазиимпульса: (59.10) й = 5(р). Отсюда получается (59.11) ш = ш(/с), так как 5 = йш. Оба эти соотношения называются закон ми дисперсии электронных волн или электрона в кристалле. Законами дисперсии описывается взаимодейсгвие рассматриваемого электрона с ионами кристаллической решетки и со всеми остальными электронами (заряд которых «размазан» в прас гранстве) .
В плоской волне Блоха ( х» ) Р ( х ) е ( ь ~ «) (59.12) волновое число 1« определено не однозначно. Но причина этого иная, чем в случае акустической волны в кристаллической решетке, где неоднозначность связана с дискретностью значений, которые может прииимагпь координата х (см.
9 56). В волне же Блоха координата х меняется непрерывно. Зато «амплитуда» волны Р(х) является функцией х. Можно всегда изменить постоянную 1«и функцию Р(х) так, чтобы при этом волновая функция (59.12) осталась неизменной. С этой целью достаточно сделать замену к = к'+ 2кр(а, Р'(х) = Р(х)ею " ~', где р произвольное целое число. '1'огда (59.12) преобразуется в т.е. в волну с другой периодически меняющейся амплитудой Р (х) и другим волновым числом й'.
От такого преобразования физически ничего не изменится. Пользуясь указанной неоднозначностью,при рассмотрении движения электрона в какой-либо зоне волновое число к (волновой вектор 1с) можно выбрать так, чтобы его модуль принял наименьшее значение из всех возможных. Особый интерес представляет случай, когда 260 Некотпорые мокроокопичевкие квантовые явления ( Гл. Ъ'11 (59. 13) 6. Выделим какую-либо разрешенную зону и рассмотрим соотношения вблизи ее границ, за которыми следуют запрещенные зоны. На нижней границе зоны энергия й минимальна, а на верхней максимальна.
Значит, производная д(Е/др, а сией и усредненная скорость электрона на обеих границах зоны, обращается в нуль. Поэтому вблизи границы каждой зоны разложение й по степеням р = Йк может начаться только с квадратичного члена. Если энергию отсчитывать от края зоны, а квазиимпульсы в местах максимума или минимума считать равными нулю, то получится 6= р' 2т,ф ' (59.14) где (59.15) Величина т,ф называется эффективной массой электрона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
