Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 5. Атомная и ядерная физика (1121281), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Минимальная область изменения вектора (с, когорой можно ограничиться, чтобы представить любые колебания атомов решетки, называется зоной Бр ллюэпа. В частности, можно поступить так, чтобы точка 1е = 0 в пространстве волновых векторов была точкой зеркальной симметрии, '!'огда зону Вриллюэна называют основной. Вектор К (56.15) при любых целых числах пы пз, пз принято называть вектором обратной решетки. ЗАДАЧА Почему формула (56.14) не переходит в формулу (56.5) при М =- т? й 57. Фоиоиы и квазичастицы 1.
Внутреннее движение покоящегося тела может быть описано указанием движения каждой индивидуальной частицы, из которых состоит тело. Такой способ может быть назван индивидуальным описанием движения. Но возможен и коллективный способ, когда движение тела в целом рассматривается как резулшат наложения движений, в каждом из которых участвуют все частицы тела. Второй способ можег обладать преимуществом в тех случаях, когда частицы тела взаимодействуют друг с другом. Тогда разложение полного движения тела на составляющие коллективные движения может быть произведено так, чтобы каждое составляющее коллективное движение могло быть возбуждено в отдельности. Если возбужденное движение тела не очень интенсивно, то оно всегда может быть разложено на плоские монохроматические волны различных частот, распространяющиеся в теле в различных направлениях практически независимо друг от друга.
При увеличении интенсивности возбуждения наступают нелинейные явления. Однако й 57) 341 Фоионы и коазичастицм если отступления от линейности не очень значительны, то по-прежнему можно пользоваться разложением на плоские монохроматические волны, но между отдельными волнами возникает взаимодействие. Оба способа описания движения в классической физике принципиально равноправны. Но в квантовой физике преимущество отдается второму способу. Причина этого заключается в квантовании. Уже Дебай в теории теплоемкости твердого тела (см. 3 54) с успехом подверг квантованию энергию стоячих монохроматических волн, на которые может быть разложено движение тела. В вопросе о теилоемкости проводить дальнейшее разложение стоячих волы на бегущие нс обязательно, поскольку в этом случае интерес представляе г энергия гела в состоянии статистического равновесия, а, например, не его импульс, который для покоящегося тела равен нулю в любой момент времени.
Но при рассмотрении различных процессов в телах, даже прн наличии локального статистического равновесия, надо перейти к разложению движения на бегущие волны н к их квантованию. В соответствии с гипотезой де Бройля, подтвержденной опытными фактами, с каждой бегущей монохроматической волной связаны энергия и импульс, определяемые соотношениями й=йоз, р=М«, (57.1) введенными по аналогии с теорией фотонов. Волна, несущая энергию и импульс, определяемые формулами (57.1), в каком-то отношении ведет себя как частица. Частица, уподобляемая звуковой волне в вьииеуказанном смысле, называется фокона«и. Не надо вкладывать в представление о фононе нечто большее, чем то, что содержится в этом определении.
Фокин несет энергию н импульс, связанные с частотой волны о» и волновым вектором 1« посредством постоянной Планка 6. Но бессмысленно, например, говорить о форме и размерах фонона, представляя его каким-то маленьким шариком. Поэтому фонон называют не «частицей», а «квазичастицей», а его импульс — «квазиимпульсом». В пп. 3 и 4 будуг приведены дальнейшие соображения, оправдывающие эту терл«инологию. Строго определенные значения величины а«и 1«имеют только в случае неограниченных плоских волн. Реальное же существование имеют только пространстоенио ограниченные волны.
Реальным образом фонона является не бесконечная, а ограниченная волна, например волновой пакет. 2. Гипотеза фононов согласуется, например, с существованием звукового давления. Рассмотрим ради простоты изотропную сплошную среду (изотропное твердое тело, жидкость, газ), в которой распространяется монохроматическая плоская продольная звуковая волна, нормально падающая на плоскую границу твердого тела и поглощаемая им. Такая волна ежесекундно передает единице поверхности твердого тела импульс сХЙЙ, где с -- скорость звука, а д« вЂ” - число фононов в единице объема среды. Этот импульс и есть давление,'г., оказываемое звуком на тело.
Поскольку сплошная среда недиспергирующая, скорость звука в ней с совпадает с фазовой скоростью сф, = а«/Й. 342 Некоторые макроековичеекие квантовые явления (Гл. Ъ»П Поэтому (57.2) где е = Мйо» вЂ” обьемная плотность звуковой энергии, падающей на тело. Формула (57.2) справедлива и в общем случае нормального падения волны прн наличии отражения и прохождения. 'Галька в этом случае плотность энергии дается выражением е = (1 + г)14йо», где г — коэффициент отражения.
Полученные результаты согласуются с опытом и с тем, что дает классическая гидродинамика. 3. В изотропных твердых сплошных телах могут возбуждаться фононы двух типов — продольные и поперечные. В случае нзотропных сред частоты поперечных фононов определяются только длиной волны и не зависят от их поляризации. В кристаллах, помимо продольных и поперечных, могут возбуждаться и другие фононы, соответствующие различным частотам и типам поляризации колебаний. (Как правило, в кристаллах «продольные» и «поперечные» волны не являются строго продольными и строго поперечными.) Для всех таких фононов справедливы соотношения (57.1).
Только в этих случаях частота колебаний а» связана с волновым вектором 1« не обязательно линейной однородной зависимостью, как было при отсутствии дисперсии, а зависимостью более сложного вида а» = а»(к). 'Гакого рода зависимости называются дисперсио»тыми соотношениями. Они различны для различных фононов. Примерамн дисперсионных соотношений могут служить формулы (56.5) или (56.14), выведенные для одномерных цепочек атомов. Волновой вектор 1« волны в кристаллической решетке определен не однозначно., а с точностью до слагаемого, равного вектору обратной решетки (см. з 56, п.
6). В соответствии с этим и вектор р = »«к определен также неоднозначно. Но можно устранить эгу неоднозначность, если ограничить область изменения 1« основной зоной Бриллюэна, что мы и будем делать. Так однозначно определенный вектор р называется квавиимпульсом фонона. Самый фонон, поскольку ему свойственны признаки частицы, называется квавичастицей, о чем уже было сказано раныпе. Такой термин вводится, чтобы подчеркнут»и что квазичастнца не является «настоящей» частицей.
Квазичастицы вводятся н в других разделах физики. Так, кввзнчастицами являются фотоны в вакууме и в особенности в среде. Представление о них согласуется с такими явлениями, как интерференция, эффект Доплера, эффект Вавилова — Черенкова, изменение частоты света при распространении в гравитационном поле. Мы уже рассматривали эти явления с точки зрения существования квазнчастиц света, хотя и не пользовались самим термином «квазичастица». 4. В идеальной кристаллической решетке, свободной от посторонних примесей и лишенной различных дефектов (примесные атомы, атомы в междоузлиях, незаполненные узлы), плоская звуковая волна в линейном приближении должна распространяться бев затухания и рассеяния в стороны.
Линейное приближение означает, что разложение потенциальной энергии кристалла по степеням смещений атомов из положений равновесия обрывается на членах второй степени. Тогда й 57) Фвноны и квазичастиць» возникают волны с гармоническими колебаниями атомов, или фононы, не взаимодействующие друг с другом. При наличии членов высших степеней, если они достаточно малы Га это, как правило, имеет место всегда, пока решетка не разрушена, т. е, вплоть до температуры плавления), также можно говорить о распространении плоских волн, или фононов, в кристалле. Однако в этом случае наступает взаимодействие ра,»личных волн Г»1»ононов). Поскольку энергия и импульс фононов квантуются, такое взаимодействие носит характер столкновений, в которых происходит уничтожение старых и рождение новых фононов. Наличие в потенциальной энергии членов третьей степени приводит к столкновениям, в которых одновременно участвуют три фонона.
При наличии членов четвертой степени появляются столкновения четырех фононов и т. д. Фононы и вообще квазичастицы хорошо приспособлены для описания слабин коллективных возбуждений в телах. Между последовательными столкновениями фонон движется свободно, н если «длина свободного пробегая его достаточно велика по сравнению с постоянной кристаллической решетки, то возбужденное состояние кристалла можно в известном отношении рассматривать как фононный газ. При этом число фононов не сохраняется, что дает основание рассматривать их как бозе-частицы (бозоны). На рис.
101 графически изображены примеры возможных взаимодействий фононов. Фононы изображены стрелками, а факты их взаимодействия кружками. Рисунок 101 а соответствует распаду фонона а Рнс. 101 Г»., ы на два фонона Г»», а»» и Г»2, ы2. Рисунок 101 б изображает столкновение фононов Г»», ы» и Г»2, ыг, в результате которого возникает один фонон Г», а».
На рис. 101 в изображено столкновение двух фононов Г»», а»» и Г»2, а»2, завершающееся возникновением двух новых фононов Г»з, а»з и Г»4 Ф4. Г!ри взаимодействии фононов соблюдается закон сохранения зпергии. В щ»учае процесса, изображенного на рнс. 101 а, он записывается в виде йш = »»»а» + 1»ыг (57.3) и аналогично в других случаях. Однако закон сохранения квазиимпульса может и не соблюдаться. Причиной этого является неоднозначность волнового вектора Г», отмеченная выше. Действительно, разложим, например, вектор Г» на два вектора: Г» = Гс» + 1»2 (рис. 102).
Вектор Г» предполагается лежащим в основной зоне Бриллюэна, так что при нашем ограничении аГ» является квазиимпульсом. Но пред- 344 Некоторые макроекопичеекие квантовые явления ( Гл. «г11 положим, что составляющие векторы 1«' и 1«' (или по крайней мере один из них) настолько длинны, что они не умещаются в основной зоне Бриллюэна. Тогда, при нашем ограничении, векторы 6(сг и 6(сз не будут квазиимпульсами. Квазиимпульсы 61«з 1«' 1«' и 61«з получаются из них путем прибавления векторов вида 2кпК, где К вЂ” вектор обратной решетки (56.15), а и = О, х1, Например, для процесса, соответствующего рис.
101 а, следует писагь Рис. 102 Ыс~ + 61«а = 61«+ 2кК. (57.4) Если и = О, то в процессе взаимодействия фононов квазиимпульс сохраняется. Такие процессы называются нормальными. Если же п ~ О, то соответствующие процессы называются процессами переброса. Существование процессов переброса лишний раз оправдывает введение терминов «квазичастица» и «квазиимпульс» вместо простых терминов «частица» и «импульсы Конечно, соотношения вида (57.3) и (57.4) справедливы не только при взаимодействии фононов между собой, но и при взаимодействии их с другими частицами и квазичастицами, например с фотонами. Нри переводе на классический язык эти соотношения выражают законы интерференции волн, принцип Доплера н вообще законы изменения чаепеоты волн при различных процессах. Вот почему комбинационное рассеяние света, рассеяние Мандельштама — Ьриллюэна, эффект Вавилова — Черенкова, изменение частоты света при распросгранении в гравитационном поле и другие явления могут быть истолкованы как с волновой гочки зрения, чак и с помощью представления о квазичастицах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
