Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 5. Атомная и ядерная физика (1121281), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Первое слагаемое есть функция только х, а потому оно не зависит от того, какие значения имеют у и 2. Если фиксировать д и 2, то последние два слагаемых в левой часги уравнения станут постоянными. Но тогда будет постоянным и первое слагаемое гЬ,"(х) /ф,(х). Такое же рассуждение можно провести и в отношении остальных двух слагаемых. Таким образом, должны выполняться уравнения гр.(х) " Ф (р) "' Ф (е) где й, Йъ, Й, — постоянные, удовлетворяющие соотношению ъг2 + ъг2 + ъс2 й2 (53.4) Все эти постоянные должны быть положительными; в противном случае нельзя удовлетворить граничным условиям, как зто будет ясно из дальнейшего. Общее решение первого уравнения (53.3) имеет внд г)з (х) = аяп 1с х+ Ьсозй х.
Постоянная Ь должна равняться нулю, так как в силу граничного условия уз (0) = Ь = О. Ераничное же условие на стенке х = 1 дает 1Ь (Л) = а яп Ье1 = О, так что яп Ь Л = О. Аналогичные соотношения имеют место и для Ьъ, й,. Следовательно, (53.5) где п, пю и, целые числа: п, и„, п, = 1,2,3,... (отрицательные значения нх не приводят к новым линейно независимым решениям, а значения п = пъ — — п, = 0 дают тривиальные решения гр = О, гро = О, г)г, = 0 и, следовательно, рг = 0). Таким образом, получается частное решение уравнения (53.1) гр = з|п 1с хяп Иъуяп й,х, (53.6) обращающееся в нуль на стенках сосуда.
Соответствующая волновая функция, зависящая от времени, представляет собой стоячую волну. Суперпозиция таких стоячих волн с постоянными амплитудами и будет общим выражением для волновой функции внутри сосуда. Каждой тройке целых чисел и„, пъ, пе соответствует одна стоячая волна, т.с. одно стационарное квантовое состояние частицы. 2.
Чтобы найти число г1У(й) стационарных состояний в интервале волновых чисел от 1е до Ь + г1Ьц вообразим пространственную кубическую решетку, ячейки которой являются кубиками со стороной х/Ь и объемом и 3/ Ьз. Тогда число г1Я(к) будет равно числу узлов в зазоре положительного октанта такой решетки, который заключен между 11* 324 Неквшврые макрвеквиичеекие квантовые явления ( Гл.
Ъ'!! сферами с радиусами а и й+ дй, т. е. отношению объема такого зазора к объему ячейки: 1 4яй ей \/й дй 8 ве/Л~ 2я (53.7) где г' = Лв — объем сосуда. Для электронов (и вообще частиц со спином 1/2) веяражение (53.7) следует удвоить, так как каждой пространственной волновой функции в этом случае соответствуют два спиновых сосгояния с прогивоположно ориентированными спинами. Для фотонов выражение (53.7) следует также удвоить, чтобы учесть возможность двух взаимно перпендикулярных поляризаций.
В этих случаях (53.8) е! ~ (р) е!е ф(р) е!р Й л (53.9) Можно также в качестве переменной принять энергию частицы Однако из-за различной связи энергии с импульсом в этом случае получаются различные выражения для электронов и для фотонов. Для электронов с' = р~/2д, 'м = ейз (53. 10) Для фотонов р = 6/с, (53.11) 9 54. Теория Дебая теплоемкости твердых тел 1. Как было показано в т.
!! (см. 8 69 и 85 указанного тома), применение квантовой теории позволило Эйнштейну уже в 1906 г. дать принципиальное объяснение падения теплоемкости твердых тел вблизи абсолютного нуля температур. Эйнштейн рассматривал твердое тело как совокупность Х независимых частиц (гармонических осцилляторов), колеблющихся около положений равновесия с одной и той же частотой ев. Средняя энергия, приходящаяся на одну степень свободы, Последняя формула, конечно, не может быть обоснована с помощью уравнения (53.1), так как уравнение П!редингера для фотонов неприменимо.
Однако она уже была выведена нами с помощью уравнений Максвелла при рассмотрении вопросов теплового излучения (см. т. !Ъ', 8 117). От волновых чисел можно перейти к импульсам, пользуясь формулой р = йй и, следовательно, е!р = бе!к. В этих переменных з 54) Теория Двбоя теплоемкости твердых твл 325 в этом случае определяется формулой Планка йы Я= — „1 т е (54. 1) эк вю е а=1 а=1 Число нормальных колебаний с частотами меньше оэ, конечно, дискретное, но оно очень велико и может быть аппроксимировано непрерывной функцией У(оз).
Число нормальных колебаний в интервале частот от оэ до оэ+с1оэ тоже очень велико, но может рассматриваться как дифференциал дЯ(оэ) той же функции. В указанном приближении предыдущую формулу можно заменить на о Гвт '~~(оэ)1 о (54. 2) в которой опущен член йоэ/2, представляющий нулевую энерги|о осциллятора.
Этот член надо учитывать в гех случаях, когда существенна амплитуда колебаний, например в случае зависимости рассеяния рентгеновских лучей от температуры. Но в вопросе о тсплоемкости нулевая энергия роли не играет, поскольку она не зависит от темперагуры. По этой причине она и опускаегся в дальнейшем. При высоких температурах формула (54.1) переходит в классическое выражение в = ИТ, а потому в вопросе о теплоемкости приводит к закону Дюлонга и Пти.
При низких температурах формула, полученная Эйнштейном, дает убывание теплоемкости с температурой, причем теплоемкость стремится к нулю в согласии с тем, что требует эмпирически установленная теорема Нернста. Однако согласие теории с опытом получается только качественное. Так, по формуле Эйнштейна вблизи абсолютного нуля теплоемкость твердого тела должна убывать с температурой по экспоненциальномузакону, тогда как опыт приводит к более медленному убыванию по сгпепеяиолву закону. Можно было думать, что такое расхождение теории с опытом связано не с принципиальными недостатками теории, а обусловлено грубостью примененной модели твердого тела.
В теории Эйнштейна осцилляторы считаются независимыми. Но будет гораздо ближе к действительности, если их рассматривать свлэапнылви. В таком случае в теле возбудится не колебав ие с одной частотой, а получится целый спектр частот ич. Число этих частот равно 3%, т.е. числу степеней свободы Х частиц, из которых состоит тело (конечно, среди этих частот могут быть и совпадающие). Если твердое гело рассмагривать как сисгему Х связанных частиц, совершающую нормальные гармонические колебания, то его средняя энергия определится по формуле 326 Некоторые макрвекваичеекие квантввые явления (Гл. 11!! в которой ыа„, означает максимальную частоту нормальных колеба- ний. Она определяется из соотношения (54.3) г( „мк) = 31У, х в=йТ вЂ”; —., е' — 1' (54.4) где введена безразмерная переменная х = аев(йТ.
График этой функции представлен на рис. 94. Из него видно, что в выражении (54.2) для средней энергии тела существенж ны члены, соответствующие толь- 1 е — 1 ко низким еастотам нормальных колебаний. Им соответствуют дли- 0,8 ны волн, большие по сравнению с постоянной кристаллической решетки. Это позволяет отвлечься от атомистической структуры тела 0,4 и рассматривать нормальные колебания в нем как стоячие инфразвуковые волны в упругой сплошной среде. Это — те же волны, которые — — Р~*УР 0 1 2 3 4 а = Пх/ЙТ тральных линий прн молекулярном рассеянии света (эффект МанРис.
04 дельштама — Бриллюэна, см, т, Гу', 3 99). Таким образом, существенные низкие собственные частоты тела могут быть вычислены методами теории упругости, в которой среда счичается сплошной. Выражение для е(Я(вг) может быть найдено нз дифференциальных уравнений теории упругости совершенно так же, как была выведена формула (53.7) для такой же величины в случае волн де Бройля. При этом надо только принять во внимание, что в твердом теле могут распространяться как продольные, так и поперечные звуковые волны.
В одном и том же направлении может распространяться только одна 0,6 0,2 так как общее число нормальных колебаний равно числу степеней свободы 3%. Таким образом, в квантовой теории задача нахождения средней энергии твердого тела сводится к определению собственных частот нормальных колебаний, тигда как в классической теории этого делать не требуется,так как по этой теории средняя энергия зависит только от общего числа степеней свободы.
2. Вычислением собственных частот колебаний кристаллической решетки применительно к теории теплоемкости занимались Борн и Карман (1881 — 1963). Это — очень трудная задача. Однако в вопросе о теплоемкости твердых тел при низких температурах она может быть сильно упрощена, что и было сделано Дебаем. !'ассмотрим среднюю энергию оспиллятора в, определяемую планковской формулой (54.1) как функцию абсолютной температуры Т. Для этого представим зту формулу в виде 3 54) Теория Дебвя теплвемквети твердых тел 327 Ъ'го дог ( 1 2 1 31'го дог 2 ) 3 + 3 / 2 3 ) 2»г 1,ез е, 3) 2х с 154.5) где 1' объем тела, сз скорость продольных, а сх скорость поперечных звуковых волн. Величина же с есть некоторая «средняя скорость», определяемая соотношением 3 1 2 — = — + —.
в з з. с сз ех 154.6) В этом выводе не учтена анизотропия упругих свойств кристаллов, проявляющаяся даже для кристаллов кубической системы. Тело считалось изотропным, и его упругие свойства характеризовались двумя постоянными, за которые, в частности, можно принять обе скорости звука сз и сх.
Но учет анизотропии малосуществен и вряд ли оправдан в рамках приближенного метода Дебвя. 3. Средняя энергия кристалла, согласно 1г54.2), будет равна »г — ЗЪ'5 ) ог~ дог 23.2ез ) 3 ~ "т о 154. 7) 533 533 или, вводя прежнее обозначение х =,, а также х„ х — т1гт ~ х дх 2 'с'5' ~ е* — 1' о (54.8) Для низких температур подынтегральное выражение при высоких частотах (х )) 1) очень мало. В этом случае точное определение верхнего предела х„„„, несущественно и его можно принять равным бесконечности,т.е.
— ЗЪ'в~7 ) хз дх 223~ 2хсй ~ е' — 1 о 154.9) Входящий сюда интеграл в точности совпадает с тем, который встре- чался при выводе закона Сгефана — Больцмана из формулы Планка 1см. т. 1Ч, 3 118). Он равен х дх 3 о 154.10) продольная звуковая волна определенной частоты. Поэтому для продольных волн формула 153.7) может быть сохранена без изменений 1разумеется, с заменой фазовой скорости волн дс Бройля на скорость звука). Поперечных же волн, распространяющихся с той же частотой и в том же направлении, может быть две. Поэтому в этом случае выражение (53.7) надо удвоить. Таким образом, 328 Некоторые макроскопические квантовые явления ) Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
