Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 5. Атомная и ядерная физика (1121281), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Валентные электроны азимов решетки обобществлены. Для кристаллов характерна высокая твердостгч слабая электрическая проводимость у чистых образцов при низких температурах. Энергия связи кристаллической решетки у рассматриваемых кристаллов составляет примерно 700-1200 кДж/моль (170 — 280 ккал/моль). 4. Молекулярные кристаллы представляют собой слабо связанные агрегаты молекул. Связь обусловлена силами Ван-дер-Ваальса. К молекулярным кристаллам относятся почти все органические кристаллы н многие другие соединения.
Молекулярная связь является единственной связью у кристаллов, образованных из атомов инертных газов. У таких веществ, как Аг, СНя, энергия связи порядка 8 кДж/моль (2 ккал/моль). Для молекулярных кристаллон характерны низкие температуры плавления, кипения и возгонки, а также сильная сжимаемость. 3 56) Колебания атомов в одномерной прямолинейной цепочке 333 5. Связь в металлах осуществляется посредством электронов, находящихся между ионами кристаллической решетки, подобно тому как электроны осуществляют гомеополярную связь между ядрами в молекуле водорода.
Разумеется, невозможно провести детальный количественный расчет в такой многочастичной системе, какой является металл. Приходится довольствоваться качественными соображениями. К металлам относятся элементы, атомы которых содержат внешние недостроенные оболочки.
Электроны гаких оболочек сравнительно слабо связаны с атомными ядрами. Они могут переходить и действительно переходят от одного ядра к другому. Если даже на пути перехода электрона встречается потенциальный барьер, электрон может сравнительно легко преодолеть его туннельным способом. В результате ядра металла лишаются своих внешних оболочек. Их электроны не привязаны к индивидуальным атомам, а обобществлены, т. е. принадлежат всему кристаллу. Такие «свободные» электроны ведут себя подобно электронному газу. Из-за принципа Паули электроны не могут стоять на месте, а должны совершать оживленное движение электронный газ в металле находится в состоянии вырождения (см.
т. П, 3 82). Наличием свободных электронов объясняется высокая электрическая проводимость и теплопроводность металлов, специфический металлический блеск, особые механические свойства, позволяющие осуществлять ковку и штамповку. Каждый ион кристаллической решетки металла заряжен положительно.
Из-за этого между ионами действуют электрические силы отталкивания. Свободные электроны уравновешивают эти силы и удерживают ионы в положениях равновесия. Всякий раз, когда ион выходит из положения равновесия, легкие и быстрые свободные электроны пере- распределяются в пространстве так, что возникают силы, возвращающие ион в положение равновесия. Этим и обеспечивается устойчивость кристаллической решетки и самого металла. й 56. Колебания атомов в одномерной прямолинейной цепочке 1.
Для строгого обоснования допустимости и установления границ применимости сплошной модели твердого тела, использованной Дебаем в теории теплоемкости, надо, разумеется, рассмотреть задачу о колебаниях кристаллической решетки в последовательно атомистической постановке, как это сделали Борн и Карман. Рассмотрим эгот вопрос на примере одномерной прямолинейной цепочки атомов. Таким путем, конечно, мы не получим точных количественных результатов, пригодных для трехмерного тела, но сильно упростим исследование и в то же время сохраним самые существенные качественныс результаты. 2. Допустим сначала, что все атомы цепочки одинаковы и в положениях равновесия находятся на одинаковых расстояниях а друг от друга.
Учтем только силы, действующие на каждый атом цепочки, которые исходят от двух соседних атомов. Действием всех остальных за Некоторые макравквпичевкие квантовые лвленип ( Гл. Ъ'!! атомов пренебрежем. Такое упрощение называется прибл вкение»и блихсайи»их соседей. Пусть атомы могут испытывать только продольные смещения нз положений равновесия. Смещение п-го атома обозначим через с„. Относительное смещение соседних атомов (с„— с„1) будем считать малым по сравнению с «нос гоянной реп ~еткн» а. Прн смещении и-го атома относительно (и — 1)-го возникает сила Ет„ы действующая на него и направленная противоположно относительному смещению. При малых относительных смещениях ее можно считать квазиупругой, т.
е. положить равной где «коэффициент упругости»»г для рассматриваемой цепочки есть величина постоянная. Полная сила, действующая на атом, будет рт.— + рт-+ =- (с- — с-- ) — (с- — 4-+ ) = = »«(8п. 1 — 2б„+ б„»1), а уравнение движения имеет вид (56.1) тс„= »г(с„1 — 2с„+ с„»1), где т — масса атома. Нахождение общего решения уравнения (56.1) для очень большого числа атомов Г«очень трудная задача. Для нахождения частного решения рассмотрим прежде всего случай, когда % = оо, точнее, когда цепочка атомов бесконечно простирается в обе стороны. Цепочка обладает трансляционной симметрией, т.
е. переходит сама в себя при сдвиге на любое целое число периодов а. Можно думать, что существует частное решение уравнения (56.1), отвечающее этому типу симметрии: все атомы совершают одинаковые гармонические колебания, но фазы этих колебаний сдвинуты на одну н ту же величину прн переходе от каждого атома к соседнему с ббльшим номером. Такое решение представляется бегущей монохроматичсской волной постоянной амплитуды лбм — ьп! (56.2) Особенность этой волны состоит в гом, что аргумент х может принимать только дискретные значения х„= па (и = ..., — 2, — 1, О, +1, +2,...). Если волновос число к' заменить на к = (2к/а)р, где р любое целое число, то колебания всех атомов цепочки не изменятся.
Поэтому, не нарушая общности, можно ограничить изменения й одним интервалом длины 2к/о, называемым зоной Бри люэна. В частности, интервал (56.3) — — <к<— в в называется основной зоной Бриллюэна (1889 — 1969). При положительных й волна бежит вперед (вправо), при отрицательных -- назад (вле- 1 56) Колебания агоомов в одномерной прямолинейной цепочке 335 во). При таких к длина волны Л (величина существенно положитель- ная) может изменяться в пределах (56.4) оо > Л > 2а. 'Таким образом, из-за дискретности структуры не имеет смысла говорить о распросгранении волн, длины которых меньше 2а.
Например, если положить Л = а, то в этом случае смещения всех атомов в каждый момент времени были бы одинаковы, т. е. цепочка перемещалась бы как целое. А это эквивалентно длине волны Л = оо, входящей в интервал (56.4). Найдом теперь условие, при котором волна (56.2) будет решением уравнения (56.1).
Для этого замечаем, что с„= — ее~с„. Подставляя это выражение в уравнение (56.1), найдем, что оно будет удовлетворено при условии ы~ = (2 — егьо — е сь ) = 2 (1 — совка). т т Ограничиваясь положительными значениями 1е, отсюда получаем ) . йо ы = 2у — сбп —, 1/т 2' (56.5) так как, конечно, частота ы существенно положительна. 3.
Фазовая скорость волны равна Г'.(.ю Й '1' т йа/2 (56.6) дм Гх йа и = — — = а)( -- сов — —. а'к )/ т 2 (56.7) При йа = и (т. е, нри Л = 2о,) она обращается в нуль. В этом случае волна не переносит энергию. Физическую причину этого легко уяснить при обращении к рис. 96. На нем стрелками представлены мгновенные Л = 2о Рис. 96 смещения атомов для случая, когда Л = 2а. В этом случае, как видно из рисунка, 4„1 = ~„+г — — — ~„, так что уравнение (56.1) принимает вид т(„= — 4х~„.
т. е. зависит от 15 а значит, и от Л. Следовательно, имеет место диспер- сия, почему формула (56.5) и называется дисперсиоююй. Групповая скорость волны равна ЗЗ9 Некоторые вганроекоаичеение квантовые явления ) Гл. Ъг!! Оно показывает, что в рассматриваемом случае атомы как бы не связаны, а изолированы и каждый из них совершает гармоническое колебание с частотой го = 2~м/т.
Фазы колебаний соседних атомов сдвинуты на х. Поскольку силы взаимодействия любых двух соседних атомов, а также их смещения в любой момент времени равны и противоположны, работа атома 1 над атомом 2 в точности равна работе атома 2 над атомом 1. Это значит, что в приближении ближайших соседей передачи энергии от атома к атому не происходит. Что касается фазовой скорости с, то при ка = к она будет =7= = Г йх,гав!гт Зависимость угловой частоты аг, а также фазовой и групповой скоростей от волнового числа й графически представлена на рисунках 97 и 98.
При малых 1г, т.е. для длинных волн, формула (56.5) переходит 0 вгг4 вгг2 Звгг4 г ва Рис. 97 О агг4 а/2 Зв/4 ва Рис. 98 как это и должно быть. Таким образом, в случае длинных волн (Л» а) частота колебаний может быть вычислена по формулам, относящимся к непрерывной модели цепочки. Даже в случае самых коротких волн (Л = 2а) ошибка, получаемая таким путем, не так уж велика: для аг в аг = йа~ггх,ггп = сопв1, а обе предельные скорости вырождаются в с = и = айаг~/т = сопв$. В этом случае дисперсия пропадает и цепочка ведет себя как сплошная среда. Поэтому значение скорости с = и может быть получено из формулы, которую дает теория упругости для скорости звука в стержне (см.
т. 1, з 81). Действительно, модуль Юнга Е для цепочки следует определить с помощью формулы Еа а г = Е߄— („г)/а, поскольку (б„— б„з),~а есть относительное растяжение цепочки. А так как сила натяжения равна г"„„ = х(с„— с„,), то Е = ха.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
