Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 5. Атомная и ядерная физика (1121281), страница 81
Текст из файла (страница 81)
У1! Таким образом, при низких температурах (х, » 1) б = 77Т4 (54. 11) где (54. 12) Для теплоемкости тела получаем !54.13) Сгг = дТ вЂ” — 407 Таким образом, теплоемхость кристаллической решетки вблизи абсолютпого ну я температур ме яется пропорционольпо гпретьей степени темггературы. Это захогг хубов, теоретически найденный Дебаем. Согласно этому закону при Т = 0 теплоемкость обращается в нуль в согласии с теоремой Нернста. Закон кубов Дебаяг вообще говоря, хорошо согласуется с опытом (см., впрочем, п.5 настоящего параграфа).
Конечно, надо помнить, что формула (54.11), как и закон кубов, относится только к теплоемкости кристаллической решетки. В случае металлов к теплоемкости решетки надо добавить теплоемкость свободных электронов, которая меняется пропорционально первой степени температуры г!см.
т. !1, з 85). 4. Для высоких температур (Бьг(ИТ « 1) формула (54.7) с учетом 154.3) приводит к правильному классическому выражению У = 31т' 'кТ. Этот результат, конечно, не следует из формулы (54.5), которая при высоких часготах неверна. Он является следствием того, что в классическом случае вид спектра частот нормальных колебаний вообще не играет никакой роли — важно только общее число таких колебаний, а оно правильно передается формулой (54.3).
Таким образом, формула (54.7) приводит к правильному результату как в области очень низких, так и в области очень высоких температур. Поэтому ее, как интерполяционную формулу, естественно распространить и на промежуточную область температур. Определим теперь значение аги,,к, пользуясь непрерывной моделью тела. На основании формулы (54.3) 2гг с 2гг с о о откуда (54. 14) где а постоянная решетки, определяемая соотношением 1г = ггга .
Минимальная длина упругой волны, соответствующая максимальной 3 54) Теория Дебая теилоемкости твердых тея 329 частоте ши„ , равна х грз 2лс /4ла яы (54.15) йю„„, 2лсй 3 1/а Й Йа 4л (54 16) Тогда формулу (54.8) для одного моля можно записать в виде то/т , т,~г 5=9н ее( —,) ), =Зяти( — ) ),, ее~и где В = Хя1е — универсальная газовая постоянная. Для высоких температур Т» То это выражение переходит в классическую формулу й = = 3геТ, т. е. получается закон Дюлонга и Пти. При температурах, много меньших дебаевской, получаегся формула (54 11) и закон кубов Дебая. Дифференцируя (54.17) по температуре, получаем интсрполяционную формулу Дебая для малярной теплоемкости твердого тела: , т,~т о = зя(12 й ), — —,). (ее1Е о В табл.б приведены значения дебаевских температур, вычисленные по формуле (54.16) и найденные из экспериментальной кривой теплоемкости.
На рис. 95 представлена теплоемкость как функция от- Таблица 6 Конечно, этот расчет дает только порядок действительных величин шив, и Л„„„, так как для таких коротких волн непрерывная модель твердого тела уже не может дать точные результаты. Введем «дебаевскую температуруи, определяемую формулой ззо Некоторые макроекоиичеекие квантовые явлении ( Гл. Ъ'1! ношения Т(Тп, вычисленная по формуле (54.18) (сплошная кривая); точки соответствуют экспериментальным данным для РЬ, КС! и С (алмаз).
х 2 777'о Рис. 95 5. Следует заметить, что изложенная теория Дебая справедлива только для кристаллов, построенных из часгиц, на внутреннее состояние которых температура практически не оказывает никакого влияния. В этом случае внутреннее строение частиц не проявляется в теплоемкости. В большинстве случаев указанному условию удовлетворяют кристаллы, построенные из атомов или ионов, у которых расстояние между нормальным и первым возбужденным уровнями велико по сравнению с ИТ. Однако у некоторых атомов и ионов нижние энергетические уровни расположены очень близко друг к другу.
Например, в кристаллическом сульфате гадолиния нижний энергетический уровень иона гадолиния состззит из восьми подуровней, расстояния между которыми соответствуют в температурной шкале дебаевской температуре 1,6 К. При очень низких температурах Т 7 К появляется добавочная теплоемкость, обусловленная возбуждением указанных подуровней. При столь низких температурах теплоемкость решетки весьма мала по сравнению с этой добавочной тсплоемкостью.
При Т = 1,6 К теплосмкость кристалла почти в 500 раз превышает теплоемкость кристаллической решетки. При дальнейшем понижении температуры теплоемкость кристалла, естественно, падает до нуля. В кристаллах, построенных из сложных молекул, может появиться теплоемкость, связанная с тепловым движением атомов или атомных групп внутри молекулы. В первом приближении можно считать, что колебания молекул внутри решетки не сказываются на их внугреннем состоянии. Тогда теплоемкость кристалла можно представить в виде С = Среа~ + Свнутр.
5 55) Типы связей игиомов в твердь х теяих Вклад, вносимый в теплоемкость внутренним движением, в некоторых случаях может быть довольно значительным. Например, теплоемкость, связанная с внутренними колебаниями в молекулах бензола, при Т 150 К составляет около 20% от теплоемкости решетки и достигает 80 % последней при Т = 270 К. 8 55. Типы связей атомов в твердых телах 1. В предыдущем параграфе при рассмотрении теплоемкости твердых тел мы отвлеклись от их внутренней атомистичсской структуры.
'Гак поступать, вообще говоря, уже нельзя во многих других вопросах физики твердого тела, некоторые из которых рассматриваются ниже. В твердых телах (кристаллах) атомы, молекулы или ионы совершают малые колебания около узлов соответствующей кристаллической решетки. Геометрические свойства кристаллических решеток -- их симметрия —. подробно изучаются в кристаллографии.
Кратко эти свойства были рассмогрены в гл. ХП второго тома. Содержание этой главы здесь повторяться не будет. Правильное расположение структурных элементов кристалла (атомов, ионов, молекул) в узлах кристаллической решетки, конечно, требует объяснения с атомистической точки зрения. Можно было бы думать, что такое об ьяснение требует решения уравнения 1Предингера (55.
1) Ньд = 1Гзр, в котором волновая функция ф зависит от координат всех ядер и электронов тела. Разумеется, это уравнение, как и всегда, имеет допустимые решения только для избранных значений энергии 1ъ Решение уравнения ГПрсдингера определило бы значения (ъ при которых тело должно быть кристаллом, а также структуру самой кристаллической решетки. Электроны, заполняющие пространство между атомными ядрами, необходимы для удержания сгруктурных элементов кристалла в положениях равновесия — в узлах кристаллической решетки.
В решении должны содержаться все возможные структуры кристаллических решеток. Оно должно охватывать все возможные фазовые переходы между ними, а также переходы в жидкое, а затем и газообразное состояние вещества. Однако нахождение точного решения уравнения 1Предингера макроскопического тела, содержащего громадное число переменных,— задача абсолютно невыполнимая. Она еще более сложна, чем аналогичная задача классической механики многих тел.
Более того, явный вид функции ьр макроскопического тела сам по себе и не представляет интереса. Это не исключает возможности и целесообразности исследования функции ф, не определяя ее явного вида, а непосредственно на основе самого уравнения 1Предингера — нахождение таких ее свойств, которые определяли бы наблюдаемые особенности макроскопических тел, в частности существование и структуру кристаллической решетки. Но в такой постановке задача никогда не рассматривалась. Более того, 332 Некоторые макроеконичеекие квантовые явлен я (Гл. УП не доказано, получились ли бы на этом пути ожидаемые и необходимые резулшаты. При рассмотрении структуры кристаллической решетки и сил, удерживающих атомы, молекулы или ионы в положениях равновесия, приходится широко опираться на опытные данные.
2. Различают ионные кристаллы, ковалентные кристал.лы, молекулярные кристаллы, металлы. Кристаллическая решетка ионных кристаллов состоит не из нейгральных частиц, а из положительных и отрицательных ионов, притягивающихся друг к другу. Ионы образуются в результате перехода электронов от одного атома к другому. Электронные оболочки ионов, как правило, соответствуют электронным оболочкам инертных газов. Распределение электронов вблизи каждого иона близко к сферичсски симметричному и слабо нарушается в области соприкосновения соседних ионов.
Типичными представителями ионных кристаллов могут служить !Х!аС1, 1!Е, К! и т.д, Ионные кристаллы характеризуются большими энергиями связи. Под этим вообще понимают работу, которую надо совершить, чтобы при абсолютном нуле разложить систему на составные части. В случае ионных кристаллов такими составными частями являются положительные и отрицательные ионы, из которых построена решетка.
Энергия связи решетки !Х!аС!, например, составляет 764 кДж/моль (183 ккал/моль). Эта величина примерно в 1,7 раза больше отнесенной к одному молю энергии связи ионов !У!ач и С! в молекуле !ч!аС1, если предположить, что в молекуле они находятся на том же расстоянии, что и ближайшие ионы в кристаллической решетке. Такого жо порядка энергии связи решеток аналогичных ионных кристаллов. Для ионных кристаллов характерна малая электрическая проводимость при низких температурах и хорошая проводимость прн высоких температурах. 3.
В ковалентных кристаллах (алмаз, кремний, германий и пр.), как и в молекуле водорода, связь гомеополярная, т.е. осуществляется обмытыми силами. Для таких кристаллов типично такоо строение решетки, при котором число ближайших атомов, окружающих рассматриваемый атом, равно валентности элемента. Рассматриваемые кристаллы обычно образуются из легких элементов средних столбцов периодической системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
