Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 5. Атомная и ядерная физика (1121281), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Нештрихованными величинами обозначены энергия и импульс фотона до, а штрихованными — после излучения или поглощения фонона. Второе уравнение умножим на с/п, возведем оба уравнения в квадрат, а затем почленно вычтем. Тогда, используя связь между энергией и импульсом, получим --д — З-. — 1) 8,„= 49ф йф„ып (-';.-)-= -'-— где  — угол между направлениями падающего и рассеянного фотонов. В последнем уравнении слева единицей в скобках можно пренебречь, а справа )Г,'~,, заменить на йф„„так как энергия фонона пренебрежимо мала. Сделав это и извлекая квадратный корень, получим 9„=*2п "йф э!и —, с 2' или о,.
В йф, — йф„, — — ~2п — '- йф, э|п —,. (57.8) Это соотношение — чисто классическое. При его выводе были использованы только законы сохранения энергии и импульса, а также связь между энергией и импульсом для света и звука, которая также является классической.
Переход от энергии к частоте производится уже с помощью квантовых соотношений йф =. Йы и 9„= Йыф „, причем существенно, что в обоих соотношениях постоянная Ь вЂ” одна и та же. В результате при квантовой интерпретации получается такая же формула о„ ы — ы' =- ~2п — — еоэ1п —, (57.9) с 2' как и в классической теории. Однако окончательный результат совершенно не зависит от числового значения постоянной Планка. В 58.
Энергетические зоны в твердых телах 1. В 8 100 т. !П было введено понятие об энергетических зонах в кристаллах. Это понятие существенно опирается на квантовые представления, о которых в т. 111 могли быть сообщены лишь предварительные сведения. Поэтому здесь мы опять вернемся к вопросу об энергетических зонах. Нас будет интересовать только принципиальная качественная сторона вопроса, а не точные количественные результаты, 5 58) Энергетические зоны в твердых телах 349 Н = Н! + Н2 (58. 1) где 6 0 Р 2 Йг= — — + — аг х, 2д дх! 2 И 2 2 Н2 = — — — г+ — !О Х 2 2 0 2' (58.2) Осцилляторы ведут себя независимо друг от друга.
Энергия каждого из них квантуется и равна бого(п + 1г!2). Энергия системы в целом равна сумме энергий обоих осцилляторов. Ввиду тождественности осцилляторов одна и та же энергия П системы может быть представлена ! .П ! П двумя способами; либо как П = П! + !",2, либо как П = 52 + Пг, В первом случае осциллятор 1 имеет энергию Пг, осциллятор П— энергию 52. Во втором случае полная энергия П та же, но энергией П! обладает осциллятор П, а энергией 52 — осциллятор 1.
Это значит, что энергетический уровень П системы осцилляторов двукратно вырожден. требующие сложных и громоздких вычислений. К тому же для реальных кристаллов при настоящем состоянии теории провести точные вычисггения невозможно. Мы вынуждены довольствоваться простейшими моделями и наглядными соображениями. Содержание этого параграфа полезно сопоставить с содержанием 9 100 т.
1П. Принципиально можно было бы поступить так, как это уже было намечено в т. П1, 9 100. Возьмем очень болыпое число тождественных атомов, удаленных друг от друга настолько далеко, что взаимодействие между ними очень мало и практически ни в чем не проявляется. В таком случае каждый из атомов ведет себя как изолированный. Ему свойственны определенные энергетические уровни. Система из д! удаленных агомов будет иметь те же уровни энергии, но каждый уровень повторится % раз.
Начнем теперь непрерывно сближать атомы. Появится взаимодействие между ними, в результате чего каждый первоначальный энергетический уровень станет как-то непрерывно смещаться. В конце концов из болыпого числа % атомов образуется кристалл. Проследив за эволюцией отдельных энергетических уровней, можно опроделить и энергетические уровни образовавшегося кристалла. Конечно, при большом числе 1У атомов провести эту программу практически невозможно. Но это можно сделать для случая двух атомов. Полученные резулывты можно будет использовать для ныяснения вопроса, как качественно будет вести себя и система из большого числа атомов. Более того, для дальнейшего упрощения можно заменить реальный атом мысленным лодномерным атомом», проще всего — гармоническим осциллятором.
Это фактически уже было сделано в 9 52 при выяснении природы молекулярных сил (см. также т. П1, 5 137). Повторим еще рвз полученные там результаты в форме, приспособленной для целей настоящего параграфа. 2. Пока осцилляторы раздвинуты достаточно далеко, гвмильтониан системы обоих осцилляторов, если сохранять обозначения з 52,представится в виде 350 Некоторые леакроекоиичеекие квантовые явления ( Гл. к'1! При сближении осцилляторов в гамильтониане системы Н = Нг + Нг — Лхгхз (58.3) появляется член — Лхгхз, учитывающий взаимодействие между ними.
Чгобы выяснить влияние этого члена, проще всего ввести нормальные координагы х1 4- хе х! х2 ч1 —; — ~ ча†'Гогда |амильтоннан системы преобразуется в (58.4) / 5'0' д,,Л / 5'0' 1, 21 ЛО,' 2 ''( ), 2дДО,,' 2 ''(' (58.5) где 2 2 Л 2 2 Л ы1 =ооо ооз = иоо+ (58.6) Р И Вид гамильтониана (58.5) показывает, что в нормальных координатах ог и от система совершает два независимых коллективных колебания с частотами еог и еоз. Можно сказать и иначе. Введение нормальных координат формально соответствует переходу к описанию движения системы осцилляторов посредством двух квазичастиц, гармонически колеблющихся с частотами ыг и ооз. Движение каждой квазичастицы описывает не движение отдельного осциллятора, а обоих осцилляторов вместе. Общее движение всой системы складывается из наложения движений обеих квазичастиц.
Энергия первой квазичастицы представляется выражением Ьы1(и1 + 1/2), второй гиот(па + 1/2), причем оба эти уровня не вырождены. Таким образом, в резулшате взаимодействия происходит расщепление двукратно вырожденного энергетического уровня на два уровня с частотами иц и ыт. Общее число уровней остается неизменным. Все это можно было бы повторить без существенных затруднений для системы какого угодно числа тождественных гармонических осцилляторов. Задача сводится к введению нормальных координат, в которых кинетическая и потенциальная энергии системы одновременно приводятся к суммам квадратов. Такая процедура давно разрабоаана в линейной алгебре и широко применяется, например, в теории малых колебаний колебательных систем со многими степенями свободы. Вся система по-прежнему формально сводится к совокупносги независимых квазичастиц (гармонических осцилляторов) с различными собственнымн часготами.
Первоначально вырожденный уровень энергии расщепляется на несколько уровней, причем общее количество уровней при сближении удаленных осцилляторов остается неизменным. 3. Теперь можно вернуться к вопросу, поставленному в начале эгого параграфа: что следует ожидать прн сближении тождественных бесконечно удаленных атомов, если число их Ю не вообразимо велико? В исходном положении взаимодействия между атомами нет.
Поэтому кратность вырождения каждого энергетического уровня системы громадного числа атомов чудовищно велика. Сближение атомов включает й 58) Энергетические зоны в твердых телах взаимодействие между ними, и вырождение снимается. По аналогии с системой осцилляторов следует ожидать, что энергетические уровни системы атомов начинают расщепляться. В конечном положении, когда из атомов образуется кристалл, первоначально вырожденный энергетический уровень расщепляется на громадное число уровней. Вместо одного вырожденного уровня возникает громадное количество их., образующих полосу или энергетическую зону. Изложенное наглядно поясняет, как из отдельных уровней изолированных атомов возникает ванная структура энергии кристалла. Все сказанное без существенных изменений может быть распространено и на кристаллы, состоящие не из одинаковых, а из различных атомов (например, МаС1).
4. Взаимодействие атомов при их сближении проявляется прежде всего на электронах наруэ»сных оболочеК волновые функции которых сильно перекрываются. На внутренних электронах, волновые функции которых перекрываются незначительно, это взаимодействие сказывается гораздо слабее. Поэтому глубоко расположенные атомные уровни переходят в твердом теле в очень узкие полосы, а высоко расположенные уровни порождают значительно более широкие энергетические зоны. Самыми широкими оказываются зоны, соответствующие уровням валентньх электронов. По этой причине при нагревании твердых тел испускаются не линейчатые, а непрерывные оптические спектры.
Действительно, непускание линий оптического спектра ввиду их длинноволновости происходит при переходах между энергетическими уровнями крайней зоны, расстояния между которыми невелики, а сами уровни расположены непрерывно. В то же время в рентгеновских трубках с антикатодами из тяжелых металлов при достаточно высоких напряжениях наряду со сплошным излучением возбуждаются тонкие линии характеристического излучения, соответствующие переходам между узкими внутренними энергетическими зонами. Таким образом, энергетический спектр кристалла состоит из нескольких полос, и зываемых энергетическими зонами, каждая из которых возникает в результате расщепления энергетических уровней отдельных атомов из-за их взаимодействия.
В этом процессе расщепления участвуют главным образом валентные электроны, т. е. электроны наружных оболочек атомов. Из-за необычайно большого числа уровней, на которые расщепляются энергетические уровни изолированных атомов, энергия кристалла в пределах каждой зоны фактически меняется непрерывно.
Соседние энергетические зоны могут быть разделены промежутками конечной ширины. Энергия кристалла не может принимать значения, лежащие в этих промежутках. Они образуют «щели» в энергетическом спектре криствлла и называются запрещенными зонами. Все остальные зоны называются разрешенными. Но могут быть и такие случаи, когда соседние зоны вплотную примыкают или перекрываются друг с другом. Крайняя зона, которой соответствуют наивысшие уронни энергии, называется зоной проводимости. Более глубоко лежащие зоны, получающиеся из-за расщепления уровней валентных электронов, называются валгнтными зонами.
352 Некоторые макроокопичеокие квантовые явления (Гл. УИ б. Напомним и расширим теперь то, что было сказано в 5 100 т. П( относительно механизма прохождения электрического тока через кристалл. Все кристаллы разделяются на металлы, диэлектрики и полупроводники. Чтобы исключить влияние теплового движения, будем сначала предполагать, что темпера гура кристалла равна абсолютному нулю.
По принципу Паули на каждом энергетическом уровне может находиться не более двух электронов с противоположно направленными спинами. В равновесном состоянии будут заполнены электронами самые низкие энергетические уровни, а все вышележащие уровни окажутся свободными. В диэлектрике валентная зона целиком заполнена элекгронами, а лежащая выше зона проводимости, отделенная от нее энергетической щелью значительной ширины, совсем не содержит электронов. Поэтому в электрических полях (ыабее пробойного) диэлектрик не проводит электрического тока. В самом деле, при наложении постоянного внешнего электрического поля к гамильтониану кристалла добавляется малая поправка, соответствующая энергии кристалла во внешнем электрическом поле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
