Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 5. Атомная и ядерная физика (1121281), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Она, как правило, не совпадает с настоящей массой электрона гпь. На нижней границе зоны (минимум 6) эффективная масса т,ф полов«сительна, тогда как на верхней границе (максимум б) она отрицательна (рис. 105). В трехмерной кристаллической решетке роль величины 1/т,ф играет тензор д Р/др,др>з но сущность явлений, связанных с понятием эффективной массы, можно уяснить на одномерной модели, где масса т,ф является скалярам. Связь между энергией электрона и его квазиимпульсом вблизи границы зоны формально имеет такой же вид, что и связь между энергией и импульсом свободной частицы.
Это и дает основание в рассматриваемом случае называть величину т,ф эффективной массой, а квазиимпульс р во многих руководствах называют просто импульсом. Специфика усредненного движения электрона в периодической й « 2к/а.. а «амплитуда» Р(х) содержит постоянное слагаемое, значительно превосходящее все остальные слагаемые, быстро меняющиеся в пространстве. (Это, как будет видно из дальнейшего, имеет место при движении электрона, энергия которого находится вблизи одной из границ зоны.) В этом случае функция >Р станет волной постоянной амплитуды, на которую накладывается мелкая рябь, периодически повторяющаяся на каждом периоде решетки. При рассмотрении усредненного движения электрона от такой ряби можно отвлечься, т.е.
оперировать с электронной волной уже постоянной амплитуды, получающейся из Р(х) путем пространственного усреднения. Длина такой усредненной волны Л:— 2к>>й предполагается очень большой по сравнению с периодом решетки а. Можно построить пакет таких усредненных волн в узкой области Ьй. Тогда скорость усредненного двиэ>сгнил элвкгарона будет равна групповой скорости з 59) Зониая структура и волны Блоха 361 кристаллической решетке вблизи границы зоны заключается, однако, в том, что эффективная масса электрона может быть и положительной, и отрицательной. В силу этого вблизи нижней границы эоньс векторы у и р направлены одинаково, а вблизи верхней — про- тиввполвжно, как это видно из формулы (59.13) и рис.
105. 7. До сих пор предполагалось. что внешнего силового по- ля нет. Наложим теперь на кри- О р силл слабое постоянное электрическое поле. Оно в принципе Рис. 105 несколько сместит энергетические уровни н кристалле. Но так как эти уровни практически непрерывны, то никакого изменения в положении уровней внутри зоны не произойдет.
Могут только слегка сместиться границы самой зоны. Но в слабых полях этот эффект совсем не заметен и ни в чем не проявляется. Наложенное электрическое поле может, однако, вызвать изменения в заполнении энергетических уровней электронами. Это может произойти только тогда, когда по крайней мере некоторые энергетические уровни зоны заполнены ие целиком, а частично. Согласно принципу Паули на одном уровне может находиться не более двух электронов, спины которых направлены противоположно. Если зона заполнена целиком, то электроны могут только обмениваться состояниями, что в силу их тождественности физически ни в чем не проявляется.
Никакие движения электронов, связанные с их переходами из одного состояния в другое, невозможны. В этом случае при наложении электрического поля в кристалле и не возникнет электрического тока. В состоянии равновесия при отсутствии внешнего поля в частично заполненной зоне будут заполнены электронами все наиболее низкие энергетические уровни.
На каждом из них будут находиться два электрона с противоположно направленными спинами. При наложении электрического поля начнутся переходы из занятых состояний в свободные и возникнет электрический твк. Скорос"гь усредненного движения электрона при этом определяется выражением (59.13). Влияние кристалла на движение электрона уже учтено дисперсионной формулой (59.10). Но на электрон в электрическом поле Е действует еще внешняя сила Е = — еЕ. Изменение энергии электрона за время а1 под действием этой силы будет а1г = Еи ай Но в силу (59.10) а'1с = = (г1й(йр)ар = вар.
Приравнивая оба выражения, получаем ар = = г'йг, т.е. (59.16) Та жс формула получается и в трехмерном случае. Только скаляры р и Е следует заменить векторами р и У. 51олучи гся формула, вполне соответствующая классической. Дифференцирование же соотношения 362 Некоторые макроекопичеекие квантовые явления (Гл. М! (59.13) по времени дает и = (д21Г/др2)(др/д!), или на основании формул (59.15) и (59.16) т,фо = Е. (59. 17) 8. Рассмотрим специально случай, когда электроны заполняют почти всю зону. В этом случае ток связан с наличием свободных состояний вблизи верхней границы зоны (рис. 105 б), так что эффективная масса электрона отрицательна. Тогда согласно (59.17) ускорение электрона и направлено против действующей силы Е = еЕ, т.е.
по полю Е (е ( О). Электрон ведет себя как отрицательно гаряженн я частица, но с отрицательной массой т,ф. Но в точности так же будет вес«пи себя и воображаемая частица, у котпорой масси и заряд положительггы, Какие знаки приписать массе и заряду воображаемой частицы не имеет значения. Существенно только, чтобы они были одинаковы. Но электрон с положительным зарядом и положительной массой ведет себя в точности так же, как «дырка>, введенная в предыдущем параграфе. А так как число электронов, когорые принимают участие в электрическом токе, в точности равно числу вакантных мест (дырок) в зоне, то носителями тока формально могут считаться дырки. Тем самым становится понятным, почему коэффициент Холла, например, может иметь не только отрицательный знак, но и положительный (см. т.
11! З 98). 9. Заметим в заключение, что в идеальной кристаллической решетке с неподвижными ионами плоская волна Блоха распространялась бы без затухании. Электрическое сопротивление кристалла в таком случае было бы равно нулю. Тепловые колебания, дефекты и примеси приводят к рассеянию электронных волн, т.е. ограничивают длины свободного пробега электрона, с чем и связано возникновение электрического сопротивления. ЗАДАЧИ 1. Рассмотреть одномерную прямолинейную бесконечную кристаллическую решетку, моделируя потенциальную энергию (У(х) ступенчатой функцией, изображенной на рнс.
106. Найти разрешенные и запрещенные зоны для такой цепочки, задав значения а и У, характерные для атомных размеров. 0 а/2 а За/2 2а За/2 За к Рис. 106 з 59) Зоннал структпуро и волны Блоха Р е ш е н и е. На участках 1 примем потенциальную энергию равной нулю, а на участках 11 — постоянному значению О'.
Стационарное уравнение Шредингера с постоянной энергией й на участках 1 будег 1!2 у1 +х,ф=О, Ых (59 18) а на участках 11 1!~ ф г +хгФ=О., 11Х (59.19) где хг и хг — постоянные: 2т 1 2т ~1 2 1' ~2 2 ( 1* о ) ° 6 й Будем сначала предполагать, что й > 0 и й — У > О. Тогда хг и хг будут вещественными. Вез нарушения общности их можно считать положительными. В интервале (О, а/2) система фундаментальных решений представится функциями 1 О1 = совхгх, грг = зшхгх. Х1 Найдем теперь эти функции в интервале (а/2, а). В этом интервале предста- вим первую функцию в виде а! а! 41 =.
А соз хг (х — — ) + В яп хг ~ х — — ) . 2) 2) Неизвестные коэффициенты А и В найдутся из условий непрерывности функции 121(х) и ее производной 2)11~ (х) на границе интервала х = а/2. '1аким путем пшгучаем, что в интервале (а/2, а) хга / аА чг, хга, 1' а1 т1 (Х):.
ООв ООз х2 Х з1П з1П х2 Х 2 ~, 2) хг 2 2) Аналогично находим, что в том же интервале 1 хга 1' а'! 1 хга 1' а'! у12 (Х) = з!П сОз хг Х вЂ” -1- ООз з!П хг ) Х— хг 2 2) хг 2 ! 2) Для постоянной Ляпунова получается хга х2а 1 /хг х2 ! хга хга В =- соз, сЬ вЂ” — ~ — — — ) яп зЬ 2 2 21,хг хг) 2 2 (59.21) 1 хга хга 1 1' хг хг ! хга,, хга ь = — ~221(а) -1- Угг(а)~ = соз сов — — — -~- — ) Яп — Яп —. 2 2 2 21,хг хг) 2 2 (59.20) В случае, когда й > О, но 11 — ~У ( О, изменим обозначения, заменив прежнее хг на мнимую величину гхг, т.е. положим х,' = 2т(О' — 1')/6~.
Тригонометрические функции от мнимого аргумента следует заменить на гиперболические функции. Тогда форлгула (59.20) преобразуется: 364 Некоторые мокроскоиичсские квантовые явления ~Гл. Ъ'П Наконец, когда й < 0 и 11 — П < О, надо сделать вторую замену н1 -э 1нг (т. е. положить нг~ = — 2тг1/Ь~). Тогда н1а нэа 1 нг нэ м1а нэа Ь = сЬ сй — -р -~ — + — (вй — вп 2 2 21нэ н~( 2 2 (59.22) Формулы (59.20) — (59.22) имеют довольно сложный вид. Их исследование удобно проводить только графически на примерах.
Приведем числовой пример, полагая ориентировочно а = 2 10 в см, Н = 5 эВ. Соответствующая кривая для Л = Ь(К) приведена на рис. 107. На заштрихованных участках величина ~! , 'меныпе единицы. Эти участки в нашей модели являются разрешенными зонами. Светлые участки, где ~Х,~ > 1, соответствуют запрещенным зонам.
эВ Запрещенные зоны Рис. 107 2. Полюсы батареи соединены кристаллом, зона проводимости которого почти доверху заполнена электронами. В таком случае эффективная масса электрона отрицательна, и он движется через кристалл с ускорением в направлении электрического поля. Туда же будет направлена и средняя скорость электрона, так как до наложения поля средняя скорость была равна нулю. Иными словами, электрон движется через кристалл от анода к катоду.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
