Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 5. Атомная и ядерная физика (1121281), страница 75
Текст из файла (страница 75)
В частности, нижнему индексу 1 соотвегствует нормальное (невозбужденное) состояние (и = 1, 1 = О, т~ = О). От наличия спина электрона мы временно отвлекаемся. Волновая функция обоих электронов в нулевом приближении представится произведением ф~(1)фь(2). Однако такая функция не удовлетворяет требованию тождественносги одинаковых частиц (электронов).
Если в ней поменять местами первый и второй электроны, то получится функция ф~~(1)ф~~(2), описывающая то же состояние атома: имеет место обменное вырождение (см. З' 46). Линейной суперпозицией обоих квантовых состояний получается множество мыслимых состояний одной и той же энергии. Из них из-за тождественности электронов могут реализоваться только состояния, описываемые симметричными и антисимметричными волновыми функциями ,~о(1 2) ~о(1),~0~2) +,~,0(1)~о(2) ~о11 2) ~о11),~ог2) ~о11)~о12) (49.15) Симметрия и антисимметрия функций (49.1ог) относится к операции, в которой электроны обмениваются своими местами, т.с.
аргументами в волновой функции, причем «местов характеризуется значениями только пространственных координат: спиновые координаты во внимание не принимаются. Между тем принцип антисимметрии волновых функций, которому должны подчиняться электроны, имеет в виду полные волновые функции, т.е. функции, зависящие не только от пространственных, но и от спиновых координат электронов. Здесь «место« электрона в волновой функции определяется не тремя, а чепгырьмл координатами. Поэтому обе неполные, г.е, пространственные функции (49.15), поскольку они удовлетворяют требованию неразличимости тождественных частиц, допустимы при квантовом описании состояния атома.
Это утверждение содержится также в первоначальной упрощенной формулировке принципа Паули. Последний исключает гакие состояния атома, в которых оба электрона имеют одинаковые четверки квантовых чисел и, 1, тп т„но не запрещает, чтобы у электронов были одинаковыми три квантовых числа при различии четвертых.
В частности, возможны состояния, у которых й = 1, когда оба электрона находятся в основном состоянии, которое характеризуется значениями квантовых чисел п = 1, 1 = О, т~ = О. Для такого состояния, понятно, из двух возможных функций (49.15) надо взять только симметричную, так как антисимметричная тождественно обращается в нуль В этом случае обменное вырождение отсутствует, [Гл. Ъ'1 Атомные системы со мпог ми электронами 304 а потому основному состоянию соответствует только одна волновая функция и один уровень энергии. Теперь каждое из выражений [49.15) можно принять в качестве нулевого приближения и по методу теории возмущений отыскать первое приближение.
Таким путем будут найдены две волновые функции, одна из когорых симметрична по координатам, а другая аигисимметрична. Их можно обозначить соответственно через 2[2,[1, 2) и ф,[1, 2) без верхнего индекса О. Состояние с антисиммегричной волновой функцией 2)2 [1, 2) называется ортосостоянием, а с симметричной волновой функцией уэ,[1,2) — парасостоянием. Таким образом, двух гелиев, как различных химических элементов, не существует. Орта- и парагелнй суть один и тот весе химичесгтй элелсент, но находящийся в различных квантовых состояниях. Тем самым объяснено происхождение двух систем термов и соответствующих спектральных переходов между ними.
Понятно, что такие переходы, если они сопровождаются излучением света, должны подчиняться правилам отбора, о которых говорилось в 8 39. 7. Знание волновых функций нулевого приближения позволяет вычислить по формуле (49.7) поправку к энергии атома в первом приближении. Эта формула предполагает, однако, что волновая функция нормирована к единице.
Поэтому и обе функции [49.15), симметричную и антисимметричную, надо предварительно нормировать. Обозначим соответствующие постоянные нормирующие множители через С, и С„. Для фактического проведения расчета, конечно, эти нормирующие множители надо вычислить. Мы не будем этого делать, так как нашей целью является только выяснение принципиальной физической сгпоропы вопроса, а для этого знания числовых значений С, и С„ не требуется. Однако различие С, и С, должно быть учтено. [Если бы С, и С„были одинаковы, то нормирующие множители можно было бы опустить, предполагая, что комбинации [49.15) уже нормированы.) Для состояний, описываемых симметричной волновой функцией, поправка к энергии равна 2 г 1, = [С,[ ~ф„— фг дт = [С,[ — [ф [ дтг дтз, [49.15) Г1 2 Г12 где Йт1 = 11х1 Йу1 11е1, Йтз = дх2 с[уз дез, а для состояний, описываемгях антисимметричной волновой функцией, 5 = [С„[2 ~ ф~* — 2)2~ дт = [С„[2 — [гр~[2 йт1 дтз.
[49.17) Г12 Г12 Подставив сюда значения волновых функций из [49.15) и выполнив умножение с учетом тождественности электронов, получим с'е — — [Се['[1к+ 1ов), йо — — [Со['[1к — 1ов), [49. 18) з 49) Атом гелия 305 где введены обозначения (49.19) г ,го~1)ООо»~1)ООо~2)ООо»~2) й Из формул (49.10) и (49.17) видно, что энергии Ф, и 11, существенно положительны. Величина 1, также существенно положительна, как это ясно из первой формулы (49.19). Таким образом, 1„ + 1., > О, 1. — !<в > О.
Величина 1 - также положительна, как показывает фактическое вычисление ее с использованием явных выражений волновых функций водородоподобных атомов. Таким образом, как видно из формул (49.18), энергетические уровни парасостояния лежат ниже зиергетических уровней ортосостояния. Поэтому норм льиым состоянием гелия является парасостояние.
Член 1„имеет наглядное классическое истолкование. Заряд одного электрона как бы <размазан» в пространстве с объемной плотностью рз = е~<Р~~(1)~~, а другого с объемной плотностью рг = е~ргь~(2)~~. Подынтегральное выражение в 1„имеет смысл потенциальной энергии отталкивания зарядов ре <1т1 и рг Йтг, а интеграл в целом потенциальной энергии взаимодействия обоих размазанных по пространству зарядов.
Член 1,о не имеет классического истолкования и является сугубо квантовым. Выражаясь образно, можно сказать, что 1 о появляется потому, что каждый электрон как бы одновремонно находится и в состоянии фы и в состоянии 1<„. Величина 1,о называется обменной энергией, о о а соотвегствующее ей взаимодействие — обменным взаимодействием.
Наличием обменной энергии и обьясняется понижение энергетических уровней парасостояния и понышение уровней ортосостояния. Не следует думать, что обменная энергия есть какой-то особый вид энергии. Она появляется только в результате принципиальной неразличимости двух квантовых состояний, из которых одно получается из другого в результате перестановки двух тождественных взаимодействующих частиц. Поэтому обменное взаимодействие специфично не только для кулоновских сил, а имеет место в системе любых тождественных частиц независимо от природы сил взаимодействия между ними. Например, обменное взаимодействие существует между нуклонами атомного ядра и проявляется в так называемом насыщении ядерныл сил.
Обменным взаимодействием объясняется явление ферромагнетизма. 8. Объясним теперь разделение спектральных терман атома гелия и соответствующих им спектральных линий на синглетные и триплетные. Для этого надо учесть наличие спинов у электронов. В нулевом приближении пространственная и спиновая части полной волновой функции разделяются, так что она может быть представлена в виде [Гл.
Ъ'1 Атомные системы со мног ми электронами 306 произведения пространственной и спиновой волновых функций. Ко- нечно, как и пространственные, спиновые волновые функции должны удовлетворять требованию либо симметрии, либо антисимметрии. По- этому спиновых функций может быть только четыре, а именно: з (О = ре(1)з е(2) ГГ, Г' = (о-(1)Ю-(2) Г4, ~Р(г( = (ээ(1)(о (2) + (о~.(2)(о (1) 'Ц, (э((' = р (1)Ю. (2) — р. (2)Ю. (1) 'И.. (49.20) Здесь спиновые функции, в отличие от пространственных, обозначены буквой (э. Значок -> у функции указывает, что проекция т, спина электрона на направление, выделяемое орбитальным моментом, равна +1(2, а минус означает, чтгэ она равна — 1(2. Это для наглядности отмечеею направлениями стрелок, поставленных справа у волновых функций. Первая симметричная функция (о, означает, что проек(ц ции т, свинов обоих электРонов Равны +1ег2, втоРаЯ (о, — что обе (з( они равны — 1(2.
В третьей симметричной функции ~рг проекции спи- 00 нов обоих электронов имеют противоположные знаки. Таким образом, в первых двух случаях полный спин обоих электронов будет 1, причем его проекции соответственно равны +1 и — 1. Но если полный спин равен 1,то его проекции на избранное направление могут иметь три значения: +1, — 1 и О.
'Гретий случай и осуществляется оставшейся симметричной волновой функцией (эб . Что касается антисимметричной спиновой функции (э~, ~, то ей соответствует проекция спина, равная нулю. А так как это единственная проекция, то полный спин в этом состоянии также равен нулю. Четыре спиновые функции (49.20) можно комбинировать с пространственными функциями гр, и 4э„чтобы получить полную волновую функцию. Однако, поскольку речь идет о системах двух электронов, полная волновая функция их должна быть антисимметрична относительно операции перестановки частиц в полной волновой функции, характеризующейся пространственными и спиновыми координатами. Этому условию удовлетворяют только четыре комбинации: уг( ~г(Э (э( ~гг(э у( (г(г„и у( (((э„.
От их нормировки, не играющей роли в разбираемом вопросе, можно отвлечься. Пока что речь шла только о комбинациях в нулевом приближении. Но и во всех последующих приближениях из-за симметрии энергии взаимодействия 2'е /гш возникают волновые функции того же типа симметрии. Первые три функции образуют триплет с полным спином 1 и его проекциями +1, — 1, О. Этому триплету соответствует ортосостояние. Его энергетические уровни и спектральные линии, подчиняющиеся правилам отбора, расщепляются на три подуровня 3 50) Химическая связь. Молекула водорода 307 и три компоненты из-за спин-орбитального взаимодействия. В этом состоянии атомы гелия имеют отличные от нуля магнитные моменты, а пгп ому в магнитном поле дают зеемановское расщепление. Волновая же функция уз,ф, описывает парасостояние.
В этом случае проекция полного спина равна нулю. А так как это синглетное состояние, то и полный спин в парасостоянии будет нуль. Атомы гелия в синглетном состоянии не имеют магнитных моментов, а потому не дают зеемановского расщепления. Что касается запрета интеркомбинаций, о котором было сказано в начале этого параграфа,то этот запрет связан с сохранением спина электронов при излучении, а потому нс является абсолютно жестким и допускает исключения (см. 3 39, п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
